$Im(f)= O/ -> f$ è iniettiva?
Salve a tutti,
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
Gundam, non capisco cosa ti lascia così perplesso. Ti consiglio di non impelagarti troppo in tabelle di verità varie, e di ragionare "alla buona".
DEFINIZIONE.
Una funzione di dominio [tex]A[/tex] e codominio [tex]B[/tex] è per definizione un sottoinsieme [tex]F[/tex] di [tex]A \times B[/tex] con le seguenti due proprietà:
(1) Per ogni [tex]a \in A[/tex] esiste [tex]b \in B[/tex] tale che [tex](a,b) \in F[/tex],
(2) Se [tex]a \in A[/tex] e [tex]b,c \in B[/tex] sono tali che [tex](a,b),(a,c) \in F[/tex] allora [tex]b=c[/tex].
La notazione che si usa è [tex]F:A \to B[/tex], e invece di scrivere [tex](a,b) \in F[/tex] di solito si scrive [tex]F(a)=b[/tex].
Osservazione.
Ora è chiaro da (1) che se [tex]B[/tex] è vuoto allora anche [tex]A[/tex]dev'essere vuoto.
In altre parole non esistono funzioni [tex]A \to \emptyset[/tex] se [tex]A \neq \emptyset[/tex].
Invece se [tex]A[/tex] è vuoto allora [tex]F=\emptyset[/tex], e (1) e (2) sono automaticamente verificate, chiunque sia [tex]B[/tex].
DEFINIZIONE.
Una funzione di dominio [tex]A[/tex] e codominio [tex]B[/tex] è per definizione un sottoinsieme [tex]F[/tex] di [tex]A \times B[/tex] con le seguenti due proprietà:
(1) Per ogni [tex]a \in A[/tex] esiste [tex]b \in B[/tex] tale che [tex](a,b) \in F[/tex],
(2) Se [tex]a \in A[/tex] e [tex]b,c \in B[/tex] sono tali che [tex](a,b),(a,c) \in F[/tex] allora [tex]b=c[/tex].
La notazione che si usa è [tex]F:A \to B[/tex], e invece di scrivere [tex](a,b) \in F[/tex] di solito si scrive [tex]F(a)=b[/tex].
Osservazione.
Ora è chiaro da (1) che se [tex]B[/tex] è vuoto allora anche [tex]A[/tex]dev'essere vuoto.
In altre parole non esistono funzioni [tex]A \to \emptyset[/tex] se [tex]A \neq \emptyset[/tex].
Invece se [tex]A[/tex] è vuoto allora [tex]F=\emptyset[/tex], e (1) e (2) sono automaticamente verificate, chiunque sia [tex]B[/tex].
Martino provo ad esporti i miei dubbi.
Supponiamo che $A={1}$, cioè contiene un solo elemento, mentre $B={}=O/$, insomma è più vuoto del vuoto assoluto. Ora è intuibile che non posso collegare l'elemento $1 in A$ con nessun elemento di $B$, dato che questo non ne possiede e questo equivale a dire che non posso "creare" nessuna funzione. Va da se che non potrei neppure creare una coppia ordinata $(a,b)$ dato che $b$ latita.... Ok?
Ma se inverto la situazione, cioè $A={}=O/$ e $B={1}$, non ho lo stesso risultato di prima? Come faccio a mappare il niente di $A$ con $1 in B$? Anche ora, in teoria, non potrei formare una funzione perchè non posso creare questa coppia ordinata $(a,b)$.... Spero di essermi spiegato, altrimenti ci riprovo
Supponiamo che $A={1}$, cioè contiene un solo elemento, mentre $B={}=O/$, insomma è più vuoto del vuoto assoluto. Ora è intuibile che non posso collegare l'elemento $1 in A$ con nessun elemento di $B$, dato che questo non ne possiede e questo equivale a dire che non posso "creare" nessuna funzione. Va da se che non potrei neppure creare una coppia ordinata $(a,b)$ dato che $b$ latita.... Ok?
Ma se inverto la situazione, cioè $A={}=O/$ e $B={1}$, non ho lo stesso risultato di prima? Come faccio a mappare il niente di $A$ con $1 in B$? Anche ora, in teoria, non potrei formare una funzione perchè non posso creare questa coppia ordinata $(a,b)$.... Spero di essermi spiegato, altrimenti ci riprovo
No, perché adesso la condizione di funzione è "soddisfatta banalmente". Infatti devi controllare che per ogni elemento [tex]x \in A[/tex] esiste uno ed un solo elemento [tex]y \in B[/tex] tale che [tex](x,y) \in f[/tex]. Ma non c'è nessun elemento [tex]x \in A[/tex], quindi si conviene che la condizione sia soddisfatta.
Ok allora ricadiamo nel $a in A => b=f(a)$ che è vera anche se l'antecedente è falso e qualunque sia il conseguente (vero o falso).
Però questo non implica che esista la coppia $(a,b) in f$ seppure $a$ sia un "non elemento"?
Però questo non implica che esista la coppia $(a,b) in f$ seppure $a$ sia un "non elemento"?
"GundamRX91":
Però questo non implica che esista la coppia $(a,b) in f$ seppure $a$ sia un "non elemento"?
Sinceramente, non capisco cosa vuol dire.
"maurer":
No, perché adesso la condizione di funzione è "soddisfatta banalmente". Infatti devi controllare che per ogni elemento [tex]x \in A[/tex] esiste uno ed un solo elemento [tex]y \in B[/tex] tale che [tex](x,y) \in f[/tex]. Ma non c'è nessun elemento [tex]x \in A[/tex], quindi si conviene che la condizione sia soddisfatta.
Ho sottolineato la frase che mi interessa.
Quello che voglio capire è che si conviene che la condizione sia soddisfatta, ovvero che $f$ sia definita, perchè l'implicazione tra due proposizioni è comunque vera nonostante l'antecedente sia falso? Se la risposta è si, allora posso dire che la coppia ordinata $(x,y) in f$, anche se $x notin A$? A meno che l'errore sia proprio dire che $x notin A$, perchè in fondo l'insieme $A$ è definito come $A={x|x != x}$, quindi la coppia $(x,y)$ avrebbe ancora senso....
Sono stato chiaro?
"GundamRX91":
Quello che voglio capire è che si conviene che la condizione sia soddisfatta, ovvero che $f$ sia definita, perchè l'implicazione tra due proposizioni è comunque vera nonostante l'antecedente sia falso?
Sì.
"GundamRX91":
Se la risposta è si, allora posso dire che la coppia ordinata $(x,y) in f$, anche se $x notin A$?
No. Per definizione [tex]f \subset A \times B = \emptyset[/tex]. Se [tex](x,y) \in f[/tex] allora [tex]x \in A[/tex].
"maurer":
[quote="GundamRX91"]
Quello che voglio capire è che si conviene che la condizione sia soddisfatta, ovvero che $f$ sia definita, perchè l'implicazione tra due proposizioni è comunque vera nonostante l'antecedente sia falso?
Sì.
"GundamRX91":
Se la risposta è si, allora posso dire che la coppia ordinata $(x,y) in f$, anche se $x notin A$?
No. Per definizione [tex]f \subset A \times B = \emptyset[/tex]. Se [tex](x,y) \in f[/tex] allora [tex]x \in A[/tex].[/quote]
Ok adesso è chiaro. L'errore che facevo era considerare proprio che $x notin A$ per il fatto che $A=O/$, quindi non riuscivo a "costruirmi" una coppia $(x,y)$ con $x$ che non apparteneva a nessuno
Ok.
Comunque, come dovresti sapere, il prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi è non vuoto se e solo se ciascun fattore è non vuoto (e questo asserto è equivalente all'assioma della scelta).
Comunque, come dovresti sapere, il prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi è non vuoto se e solo se ciascun fattore è non vuoto (e questo asserto è equivalente all'assioma della scelta).
Si, infatti $A times O/ = O/$ e $A_1 times A_2 times A_3 times ... times A_n={(a_1,a_2,...,a_n)| a_i in A_i, i in {1,2,3,...,n}}$
Vale anche se il prodotto non è finito, però.
Se non sbaglio in questo caso il prodotto cartesiano è definito come la produttoria di insiemi:
$prod_{i in I} A_i = {x | x =(x_i|i in I), AAi in I, x_i in A_i}$
può andare?
$prod_{i in I} A_i = {x | x =(x_i|i in I), AAi in I, x_i in A_i}$
può andare?
Non che sia la migliore definizione. La più formale è
[tex]\prod_{i \in I} A_i := \{f \colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i \mid f(i) \in A_i\}[/tex]
e adesso dovrebbe anche essere evidente l'equivalenza con l'assioma della scelta.
Cioè, le due definizioni sono praticamente la stessa, a patto che tu mi giuri che quando scrivi [tex]x[/tex] pensi ad una funzione...
[tex]\prod_{i \in I} A_i := \{f \colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i \mid f(i) \in A_i\}[/tex]
e adesso dovrebbe anche essere evidente l'equivalenza con l'assioma della scelta.
Cioè, le due definizioni sono praticamente la stessa, a patto che tu mi giuri che quando scrivi [tex]x[/tex] pensi ad una funzione...
Devo ammettere di non averlo inteso propriamente come funzione, ma come n-pla ordinata definita dagli $i$-elementi degli $A_i$ insiemi.... 
"GundamRX91":
Devo ammettere di non averlo inteso propriamente come funzione, ma come n-pla ordinata definita dagli $i$-elementi degli $A_i$ insiemi....
E che cos'è una n-upla?
Un elenco ordinato di elementi di un insieme?
"GundamRX91":
Un elenco ordinato di elementi di un insieme?
E che cos'è un elenco ordinato?
$(a_1,a_2,a_3,...,a_n,a_(n+1),...)$ insomma una lista di elementi in cui posso dire qual'è il primo, il secondo, il terzo ... l'ennesimo elemento della lista.
Non va, continui ad usare termini non definiti (in questo caso lista). WiZaRd ti sta invitando a riflettere su quale sia la definizione rigorosa di n-pla... ed io aggiungo il mio, di invito a riflettere su questa cosa.
(Quello che dici è corretto a posteriori - modulo il ragionamento che ti stiamo chiedendo di fare - ma solo grazie al teorema di Zermelo, altro equivalente all'assioma della scelta)
(Quello che dici è corretto a posteriori - modulo il ragionamento che ti stiamo chiedendo di fare - ma solo grazie al teorema di Zermelo, altro equivalente all'assioma della scelta)
Ok, scusate, non avevo colto il suggerimento di Wizard. Ci penso e poi rispondo. Per ora ringrazio
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