$Im(f)= O/ -> f$ è iniettiva?
Salve a tutti,
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
E' la definizione che danno quelli che sono rimasti al calcolo tensoriale del 1870... Grazie a dio la matematica ha fatto un po' di progressi negli ultimi 140 anni! E' equivalente, beninteso. Solo che non si capisce una mazza e fare i conti è un delirio!
lui ci disse che un tensore è una specie di array con più di 2 dimensioni.... mhà!
"killing_buddha":Prima di chiedermi se sia o meno iniettiva, mi chiedo se sia o meno una funzione.
anche io penso che non sia una funzione..
Meno male che non sono arrivato qui, piuttosto.. brrr!
Perché? Perché?
Immagino, perché non è un punto su cui avere delle incertezze... 
Immagino anche che molte incertezze "svaniscano" con l'esperienza, che per me, forse, significa fare tanti esercizi e sperare che il cervello regga....tra lavoro, famiglia e studio dormo talmente poco che dubito di essere realmente vivo, viste le occhiaie 
Sì. Comunque è giusto che noi che siamo un po' più veterani di voi vi facciamo vedere dove sbagliate un po' "senza mezzi termini". In effetti, quello è un errore grave, da risolvere alla radice. Più che altro perché si tratta semplicemente di applicare la definizione di funzione che non è nulla di trascendente! 
Salve a tutti,
almeno siamo riusciti a riprendere l'argomento, in modo tale che non sia definitivamente, o solamente in parte, off topic
Cordiali saluti
almeno siamo riusciti a riprendere l'argomento, in modo tale che non sia definitivamente, o solamente in parte, off topic
Cordiali saluti
Per scusarmi con Garnak e per riprendere alcuni concetti volevo verificare che una funzione
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
$=>$
$f$ iniettiva implica che $X=O/$, quindi $f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2, AAx_1,x_2 in X$, ma dato che
$f(x_1)=f(x_2)=x_O/$ allora $x_1=x_2=x_O/$ da cui la tesi $X=O/$ (abuso di notazione: con $x_O/$ indico un elemento nullo)
$Leftarrow$
$X=O/ => f$ iniettiva. Siano $x_1,x_2 in X$ e $x_1!= x_2$, allora $f(x_1) != f(x_2)$, condizione falsa
in quanto, dal passo precedente, si ha che $x_1=x_2=x_O/$ che implica $f(x_1)=f(x_2)$ da cui l'iniettività di $f$.
Che dite, può funzionare?
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
$=>$
$f$ iniettiva implica che $X=O/$, quindi $f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2, AAx_1,x_2 in X$, ma dato che
$f(x_1)=f(x_2)=x_O/$ allora $x_1=x_2=x_O/$ da cui la tesi $X=O/$ (abuso di notazione: con $x_O/$ indico un elemento nullo)
$Leftarrow$
$X=O/ => f$ iniettiva. Siano $x_1,x_2 in X$ e $x_1!= x_2$, allora $f(x_1) != f(x_2)$, condizione falsa
in quanto, dal passo precedente, si ha che $x_1=x_2=x_O/$ che implica $f(x_1)=f(x_2)$ da cui l'iniettività di $f$.
Che dite, può funzionare?
Salve GundamRX91,
scusarti di chè? Anzi, è stata una splendida discussione con argomentazioni tra di loro collegate.... Un'ottima discussione comunque!
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Per scusarmi con Garnak .......
scusarti di chè? Anzi, è stata una splendida discussione con argomentazioni tra di loro collegate.... Un'ottima discussione comunque!
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Per scusarmi con Garnak e per riprendere alcuni concetti volevo verificare che una funzione
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
Quindi se fosse \(X \neq \varnothing\) l'applicazione non risulterebbe iniettiva?
Se fosse \(X \neq \varnothing\) la corrispondenza considerata non sarebbe proprio un'applicazione.
Mi ero momentaneamente dimenticato di questo post...
Quindi se fosse \(X \neq \varnothing\) l'applicazione non risulterebbe iniettiva?
Se fosse \(X \neq \varnothing\) la corrispondenza considerata non sarebbe proprio un'applicazione.[/quote]
Pensavo che l'avessimo chiarito migliaia di post fa! A quanto pare no...
"WiZaRd":
[quote="GundamRX91"]
Per scusarmi con Garnak e per riprendere alcuni concetti volevo verificare che una funzione
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
Quindi se fosse \(X \neq \varnothing\) l'applicazione non risulterebbe iniettiva?
Se fosse \(X \neq \varnothing\) la corrispondenza considerata non sarebbe proprio un'applicazione.[/quote]
Pensavo che l'avessimo chiarito migliaia di post fa! A quanto pare no...
"WiZaRd":
[quote="GundamRX91"]
Per scusarmi con Garnak e per riprendere alcuni concetti volevo verificare che una funzione
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
Quindi se fosse \(X \neq \varnothing\) l'applicazione non risulterebbe iniettiva?
Se fosse \(X \neq \varnothing\) la corrispondenza considerata non sarebbe proprio un'applicazione.[/quote]
$f$ non esiste se $X != O/$ e $Y = O/$
mentre se $X = O/$ e $Y != O/$, oppure $Y = O/$, allora $f$ esiste ed è unica e viene anche chiamata applicazione vuota e denotata con $O/$ stesso.
"maurer":
Mi ero momentaneamente dimenticato di questo post...
[quote="WiZaRd"][quote="GundamRX91"]
Per scusarmi con Garnak e per riprendere alcuni concetti volevo verificare che una funzione
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
Quindi se fosse \(X \neq \varnothing\) l'applicazione non risulterebbe iniettiva?
Se fosse \(X \neq \varnothing\) la corrispondenza considerata non sarebbe proprio un'applicazione.[/quote]
Pensavo che l'avessimo chiarito migliaia di post fa! A quanto pare no...
[/quote]Scusami maurer, evidentemente ci sono cose che non ho ben capito...
Se ne hai voglia, potresti chiarire l'argomento? Grazie
"GundamRX91":
$f$ non esiste se $X != O/$ e $Y = O/$
mentre se $X = O/$ e $Y != O/$, oppure $Y = O/$, allora $f$ esiste ed è unica e viene anche chiamata applicazione vuota e denotata con $O/$ stesso.
Il punto è questo: se l'immagine di un'applicazione è vuota, allora il suo dominio è per forza l'insieme vuoto. Non c'è molto da spiegare... è semplicemente la definizione di funzione: se il dominio non fosse vuoto conterrebbe almeno un elemento, il quale dovrebbe essere mappato su un elemento del codominio (e quindi dell'immagine della funzione), assurdo perché l'immagine è vuota per ipotesi.
Invece c'è sempre un'unica mappa [tex]\emptyset \to Y[/tex] per ogni insieme [tex]Y[/tex]. Questo è importante perché ci dice che [tex]\mathbf{Set}[/tex] ha un oggetto iniziale. Mi sapete dire se [tex]\mathbf{Set}[/tex] ha un oggetto finale?
Maurer possiamo fare un passo indietro?
Partiamo da quello che ho scritto: $f$ non esiste se $X != O/$ e $Y = O/$.
Allora, siccome sappiamo che $f sube X times Y$ e, in questo caso, $f sube X times O/ = O/$ ho però il problema di dover mappare un elemento qualsiasi del dominio con uno del codominio, che però è vuoto, quindi $f$ non può esistere per questo motivo.
Invece se $X=O/$ e $Y!=O/ vv Y=O/$ allora $f$ esiste e si denota $O/$.
Anche in questo caso $f sube X times Y$, ovvero $f sube O/ times Y=O/$, solo che in questa situazione non devo mappare nulla in quanto il dominio non contiene elementi e, a prescindere che il codominio contenga o meno degli elementi, questo non inficia la definizione di funzione.
E' corretto il ragionamento?
Partiamo da quello che ho scritto: $f$ non esiste se $X != O/$ e $Y = O/$.
Allora, siccome sappiamo che $f sube X times Y$ e, in questo caso, $f sube X times O/ = O/$ ho però il problema di dover mappare un elemento qualsiasi del dominio con uno del codominio, che però è vuoto, quindi $f$ non può esistere per questo motivo.
Invece se $X=O/$ e $Y!=O/ vv Y=O/$ allora $f$ esiste e si denota $O/$.
Anche in questo caso $f sube X times Y$, ovvero $f sube O/ times Y=O/$, solo che in questa situazione non devo mappare nulla in quanto il dominio non contiene elementi e, a prescindere che il codominio contenga o meno degli elementi, questo non inficia la definizione di funzione.
E' corretto il ragionamento?
La prima parte del ragionamento va bene; per la seconda, cioe' che esiste un'unica funzione dal vuoto a qualcosa, e precisamente la funzione vuota, puoi ricordarti che se le premesse di una asserzione sono false, allora l'implicazione e' vera (in simboli, se $p$ e' falsa, $p\Rightarrow q$ e' vera). L'esercizio vero consta del capire dove salta fuori questo utile fatto nella definizione di funzione.
Si per il significato logico dell'implicazione dovrei esserci (infatti $P => Q$ è falsa solo quando l'antecedente è vero è il conseguente è falso, mentre negli altri casi è sempre vera).
Ok, quindi come uso questo nella definizione di funzione? Allora partiamo dalla definizione di funzione: siano $A$ e $B$ due insiemi, si definisce $f$ funzione da $A$ in $B$ un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A times B$ tale che $AAa in A, EE!b in B$ tale che $b=f(a)$, ovvero $(a,b) in f$.
Diciamo che dovrei capire chi è $P$ e chi è $Q$, vero?
Ok, quindi come uso questo nella definizione di funzione? Allora partiamo dalla definizione di funzione: siano $A$ e $B$ due insiemi, si definisce $f$ funzione da $A$ in $B$ un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A times B$ tale che $AAa in A, EE!b in B$ tale che $b=f(a)$, ovvero $(a,b) in f$.
Diciamo che dovrei capire chi è $P$ e chi è $Q$, vero?
@GundamRX91
Il mio "richiamo" è stato motivato dal fatto che tu hai scritto
e nel momento in cui scrivi una cosa del genere stai implicitamente sostenendo che un'applicazione che abbia come insieme delle immagini l'insieme vuoto possa essere o meno iniettiva a seconda che rispettivamente il suo dominio sia o meno l'insieme vuoto ma che, in ogni caso, sia che il dominio sia l'insieme vuoto sia che il dominio non sia l'insieme vuoto, la corrispondenza considerata sia e resti un'applicazione. Era questo l'errore che ci tenevo a sottolineare.
Se ritieni che questo sia il punto da chiarire, basta notare che \(\forall a \in A, \exists ! b \in B \mid (a,b) \in f\) è l'abbreviazione di \(\forall x ((x \in A) \implies (\exists ! b \mid b \in B \land (a,b) \in f))\)...
Il mio "richiamo" è stato motivato dal fatto che tu hai scritto
"GundamRX91":
Per scusarmi con Garnak e per riprendere alcuni concetti volevo verificare che una funzione
$f: X -> Y$ il cui insieme delle immagini $Imf= O/$ è iniettiva se e solo se $X=O/$.
e nel momento in cui scrivi una cosa del genere stai implicitamente sostenendo che un'applicazione che abbia come insieme delle immagini l'insieme vuoto possa essere o meno iniettiva a seconda che rispettivamente il suo dominio sia o meno l'insieme vuoto ma che, in ogni caso, sia che il dominio sia l'insieme vuoto sia che il dominio non sia l'insieme vuoto, la corrispondenza considerata sia e resti un'applicazione. Era questo l'errore che ci tenevo a sottolineare.
"GundamRX91":
...siano $A$ e $B$ due insiemi, si definisce $f$ funzione da $A$ in $B$ un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A times B$ tale che $AAa in A, EE!b in B$ tale che $b=f(a)$, ovvero $(a,b) in f$.
Diciamo che dovrei capire chi è $P$ e chi è $Q$, vero?
Se ritieni che questo sia il punto da chiarire, basta notare che \(\forall a \in A, \exists ! b \in B \mid (a,b) \in f\) è l'abbreviazione di \(\forall x ((x \in A) \implies (\exists ! b \mid b \in B \land (a,b) \in f))\)...
Wizard ora ho capito. In effetti non avevo colto quello che volevi intendere.
Bene, allora provo a definire l'implicazione in questo modo:
posto $P=(AAa|a in A)$, $Q=(EE!b |b in B ^^(a,b) in f)$ e $V=vero,F=falso$
la tavola di verità di $P => Q$ è
1) se $P=V ^^ Q=V$ allora $P=>Q$ è vera
2) se $P=V ^^ Q=F$ allora $P=>Q$ è falsa
3) se $P=F ^^ Q=V$ allora $P=>Q$ è vera
4) se $P=F ^^ Q=F$ allora $P=>Q$ è vera
Il caso 1) è verificato per $A!=O/$ e $B!=O/$, quindi $f$ esiste.
Il caso 2) è verificato per $A!=O/$ e $B=O/$, quindi $f$ non esiste per i motivi detti in precedenza.
Il caso 3) è verificato per $A=O/$ e $B!=O/$, quindi $f$ esiste ($f$ potrebbe essere una funzione costante, o sbaglio?)
Il caso 4) è verificato per $A=O/$ e $V=O/$, quindi $f$ esiste ed è $O/$ stessa.
E' corretto, oppure sono ancora in alto mare???
Bene, allora provo a definire l'implicazione in questo modo:
posto $P=(AAa|a in A)$, $Q=(EE!b |b in B ^^(a,b) in f)$ e $V=vero,F=falso$
la tavola di verità di $P => Q$ è
1) se $P=V ^^ Q=V$ allora $P=>Q$ è vera
2) se $P=V ^^ Q=F$ allora $P=>Q$ è falsa
3) se $P=F ^^ Q=V$ allora $P=>Q$ è vera
4) se $P=F ^^ Q=F$ allora $P=>Q$ è vera
Il caso 1) è verificato per $A!=O/$ e $B!=O/$, quindi $f$ esiste.
Il caso 2) è verificato per $A!=O/$ e $B=O/$, quindi $f$ non esiste per i motivi detti in precedenza.
Il caso 3) è verificato per $A=O/$ e $B!=O/$, quindi $f$ esiste ($f$ potrebbe essere una funzione costante, o sbaglio?)
Il caso 4) è verificato per $A=O/$ e $V=O/$, quindi $f$ esiste ed è $O/$ stessa.
E' corretto, oppure sono ancora in alto mare???
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