$Im(f)= O/ -> f$ è iniettiva?
Salve a tutti,
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
(la risposta la trovi già nei miei post precedenti 
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Non so dove arriverò, comunque provo a partire dalla definizione di coppia ordinata (definizione di Kuratowsky):
$(a,b)={{a},{a,b}}$
dove il primo elemento della coppia ordinata corrisponde all'elemento $a$ dell'insieme ${a}$ e il secondo elemento della coppia ordinata corrisponde al secondo elemento dell'insieme ${a,b}$. Bisogna fare attenzione però al fatto che un insieme non è definito dall'ordine dei suoi elementi (${a,b}={b,a}$), quindi per secondo elemento si intende ${a,b}\\{a}={b}$, in questo modo "rimane" il secondo elemento della coppia ordinata in questione.
A questo punto posso definire una terna ordinata come:
$(a,b,c)={{a},{a,b},{a,b,c}}$
e una quaterna ordinata come:
$(a,b,c,d)={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$
e così via. A questo punto se indico con $I={1,2}$ un insieme indice e con $A_1 = {a}$ e $A_2 = {a,b}$, posso definire una funzione:
$f : I -> A_1 uu A_2$, dove $AAi in I$, $f(1)=a in A_1$ e $f(2)=b in A_2$
se $I={1,2,3}$ allora la funzione è definita come $f:I -> A_1 uu A_2 uu A_3$, dove $AAi in I$, $f(1)=a in A_1$ e $f(2)=b in A_2$ e $f(3)=c in A_3$
Generalizzando il tutto, posto $I$ l'insieme indice, allora la funzione diventa $f:I -> uuu_{i in I} A_i$ tale che $f(i)=a_i in A_i$, e tutto questo mi ricorda qualcosa....
$(a,b)={{a},{a,b}}$
dove il primo elemento della coppia ordinata corrisponde all'elemento $a$ dell'insieme ${a}$ e il secondo elemento della coppia ordinata corrisponde al secondo elemento dell'insieme ${a,b}$. Bisogna fare attenzione però al fatto che un insieme non è definito dall'ordine dei suoi elementi (${a,b}={b,a}$), quindi per secondo elemento si intende ${a,b}\\{a}={b}$, in questo modo "rimane" il secondo elemento della coppia ordinata in questione.
A questo punto posso definire una terna ordinata come:
$(a,b,c)={{a},{a,b},{a,b,c}}$
e una quaterna ordinata come:
$(a,b,c,d)={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$
e così via. A questo punto se indico con $I={1,2}$ un insieme indice e con $A_1 = {a}$ e $A_2 = {a,b}$, posso definire una funzione:
$f : I -> A_1 uu A_2$, dove $AAi in I$, $f(1)=a in A_1$ e $f(2)=b in A_2$
se $I={1,2,3}$ allora la funzione è definita come $f:I -> A_1 uu A_2 uu A_3$, dove $AAi in I$, $f(1)=a in A_1$ e $f(2)=b in A_2$ e $f(3)=c in A_3$
Generalizzando il tutto, posto $I$ l'insieme indice, allora la funzione diventa $f:I -> uuu_{i in I} A_i$ tale che $f(i)=a_i in A_i$, e tutto questo mi ricorda qualcosa....
Ottimo. A me sta bene spiegato così!
Non so se WiZaRd ha qualcosa da aggiungere, per me è perfetto! XD
Non so se WiZaRd ha qualcosa da aggiungere, per me è perfetto! XD
Davvero? 
Sì, di che ti stupisci?
Combinando questo con il teorema di Zermelo di cui ti parlavo puoi recuperare l'idea di "lista" anche quando l'insieme indice è generico.
Poi bada bene che ci sono n+1 ragioni per cui non è sempre conveniente indicizzare un prodotto con un insieme bene ordinato e magari si è interessati invece ad indicizzarlo solo su un insieme parzialmente ordinato, ma questa è un'altra storia.
Combinando questo con il teorema di Zermelo di cui ti parlavo puoi recuperare l'idea di "lista" anche quando l'insieme indice è generico.
Poi bada bene che ci sono n+1 ragioni per cui non è sempre conveniente indicizzare un prodotto con un insieme bene ordinato e magari si è interessati invece ad indicizzarlo solo su un insieme parzialmente ordinato, ma questa è un'altra storia.
Pensavo di non aver capito nulla
Una cosa però è certa, ho un sacco da studiare!!!
Grazie per tutto
PS. per gli altri "input" ho preso nota
Una cosa però è certa, ho un sacco da studiare!!!
Grazie per tutto
PS. per gli altri "input" ho preso nota
Sì, prendi nota, credo che per un po' l'ultimo commento ti resterà oscuro. Le due ragioni principali sono:
1) calcolare il limite di reti al posto di quello di successioni;
2) l'analogo "strutturale" del punto precedente, ovvero calcolare i limiti diretti (di, ad esempio, gruppi).
1) calcolare il limite di reti al posto di quello di successioni;
2) l'analogo "strutturale" del punto precedente, ovvero calcolare i limiti diretti (di, ad esempio, gruppi).
Uhm...io non ho capito benissimo come si fa a costruire una "lista" completa con il teorema di Zermelo.
Citando Wikipedia:
Citando Wikipedia:
Every element s, except a possible greatest element, has a unique successor (next element), namely the least element of the subset of all elements greater than s. Every subset which has an upper bound has a least upper bound. There may be elements (besides the least element) which have no predecessor.
[xdom="Martino"]Ragazzi, cerchiamo di non andare troppo OT. Se volete parlare di prodotto cartesiano e sequenze per favore aprite un nuovo argomento. Grazie.[/xdom]
Non molto da aggiungere se non che, una volta assodata che una n-upla la possiamo costruire o con gli insiemi o con le funzioni, bisogna badare bene di non cadere nel tranello che anche la coppia ordinata sia definibile come funzione. Le funzioni sono di per sé coppie, quindi non possiamo definire una coppia con ciò che la coppia crea.
Ho capito. Grazie anche a te per l'aiuto
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