Gruppi - alcuni esercizi dell'Herstein.

[Kashaman]

Poco tempo fa ho acquistato l'Herstein per voler approfondire lo studio dell'algebra.
Vi pongo alla vostra attenzione alcune risoluzioni di alcuni quesiti.Riguardano i gruppi. Fatemi sapere cosa ne pensate.
Esercizio 1 Dimostrare che se G è un gruppo abeliano, allora per ogni coppia di elementi $a,b in G$ e per tutti gli interi $n$, $(a*b)^n=a^n*b^n$
risoluzione :

Per ipotesi ho che $G$ è abeliano. Considero $a,b in G$ .
Ho che $a^n*b^n= a*a^(n-1)*b*b^(n-1)=(G-abeliano) = (a*b)*a^(n-1)*b^(n-1)=$
$(a*b)*(a*a^(n-2)*b*b^(n-2))={G-abeliano} = (a*b)^2*(a^(n-2)*b^(n-2))$. Iterando questo ragionamento per altre $n-2$ volte, si giunge a dimostrare che $a^n*b^n=(a*b)^n$. La tesi. Giusto?

Esercizio 2
Sia $G$ un gruppo nel quale $(a*b)^2=a^2*b^2$. Mostrare che $G$ è abeliano.
risoluzione :

Si ha che $(a*b)^2= a*b*a*b$(1)
e che $a^2*b^2=a*a*b*b$ (2)
Per ipotesi $(a*b)^2=a^2*b^2 => a*b*a*b=a*a*b*b => ${ cancellando} $b*a=a*b$. Ciò prova che $G$ è abeliano. Che ne dite?

Esercizio 3
Mostrare che in $S_3$ vi sono quattro elementi che soddisfano l'equazione $x^2=e $(1) e tre che soddisfano l'equazione $y^3=e$(2).
risoluzione.

Sia $\sigma in S_3$
se $\sigma^2=e => o(\sigma)=2$. Cioè tutti i $2-cicli$ di $S_3$ che ne sono $3$. In più anche l'identità. Quindi risulta provata la parte (1).
Se $\sigma^3=e=> o(\sigma)=3$ cioè tutti i $3-cicli $ di $S_3$. Che ne sono 2. In più anche l'identità. Quindi è provata anche la 2.

esercizio 4
Se $G$ è un gruppo finito. Allora esiste $N>0$ tale che $AA a in G , a^N=e$
risoluzione

Sia $G= {e,a,a^2,.......,a^(n-1)}$ un gruppo. E sia $x in G$. Essendo $G$ un gruppo, $EE i>0 in ZZ : x^i$ è il simmetrico di $x$ in $G$. Cioè tale che $x*x^i = x^(i+1)=e$. Scelto $N=i+1>0$ . Si ha la tesi.

Ciao fatemi sapere, spero di non aver scritto tante cavolate

[jitter1]

Ok, ora mi pare tutto chiaro, anche se forse espresso un po' diversamente. Grazie Marco e Vict.