Gruppi - alcuni esercizi dell'Herstein.

[Kashaman]

Poco tempo fa ho acquistato l'Herstein per voler approfondire lo studio dell'algebra.
Vi pongo alla vostra attenzione alcune risoluzioni di alcuni quesiti.Riguardano i gruppi. Fatemi sapere cosa ne pensate.
Esercizio 1 Dimostrare che se G è un gruppo abeliano, allora per ogni coppia di elementi $a,b in G$ e per tutti gli interi $n$, $(a*b)^n=a^n*b^n$
risoluzione :

Per ipotesi ho che $G$ è abeliano. Considero $a,b in G$ .
Ho che $a^n*b^n= a*a^(n-1)*b*b^(n-1)=(G-abeliano) = (a*b)*a^(n-1)*b^(n-1)=$
$(a*b)*(a*a^(n-2)*b*b^(n-2))={G-abeliano} = (a*b)^2*(a^(n-2)*b^(n-2))$. Iterando questo ragionamento per altre $n-2$ volte, si giunge a dimostrare che $a^n*b^n=(a*b)^n$. La tesi. Giusto?

Esercizio 2
Sia $G$ un gruppo nel quale $(a*b)^2=a^2*b^2$. Mostrare che $G$ è abeliano.
risoluzione :

Si ha che $(a*b)^2= a*b*a*b$(1)
e che $a^2*b^2=a*a*b*b$ (2)
Per ipotesi $(a*b)^2=a^2*b^2 => a*b*a*b=a*a*b*b => ${ cancellando} $b*a=a*b$. Ciò prova che $G$ è abeliano. Che ne dite?

Esercizio 3
Mostrare che in $S_3$ vi sono quattro elementi che soddisfano l'equazione $x^2=e $(1) e tre che soddisfano l'equazione $y^3=e$(2).
risoluzione.

Sia $\sigma in S_3$
se $\sigma^2=e => o(\sigma)=2$. Cioè tutti i $2-cicli$ di $S_3$ che ne sono $3$. In più anche l'identità. Quindi risulta provata la parte (1).
Se $\sigma^3=e=> o(\sigma)=3$ cioè tutti i $3-cicli $ di $S_3$. Che ne sono 2. In più anche l'identità. Quindi è provata anche la 2.

esercizio 4
Se $G$ è un gruppo finito. Allora esiste $N>0$ tale che $AA a in G , a^N=e$
risoluzione

Sia $G= {e,a,a^2,.......,a^(n-1)}$ un gruppo. E sia $x in G$. Essendo $G$ un gruppo, $EE i>0 in ZZ : x^i$ è il simmetrico di $x$ in $G$. Cioè tale che $x*x^i = x^(i+1)=e$. Scelto $N=i+1>0$ . Si ha la tesi.

Ciao fatemi sapere, spero di non aver scritto tante cavolate

[j18eos]

Come può essere \(n=1\) ed \(n>1)? Correggi!

[Kashaman]

"j18eos":

Come può essere \(n=1\) ed \(n>1)? Correggi!

corretto l'errore era nella traccia

[Leonardo891]

Ok j18eos! Vediamo cosa sono riuscito a combinare con il punto 4!

"Herstein, pagina 80 numero 10":Sia \(\displaystyle o(G)=pq \), \(\displaystyle p> q \) primi, dimostrare:
[list=1][*:1p0i5ant]\(\displaystyle G \) ha un sottogruppo di ordine \(\displaystyle p \) e uno di ordine \(\displaystyle q \).[/*:m:1p0i5ant]
[*:1p0i5ant]Se \(\displaystyle q \nmid p-1 \), \(\displaystyle G \) è ciclico.[/*:m:1p0i5ant]
[*:1p0i5ant]Dati due primi \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle q \), \(\displaystyle q \mid p-1 \), esiste un gruppo non abeliano di ordine \(\displaystyle pq \).[/*:m:1p0i5ant]
[*:1p0i5ant]Due gruppi non abeliani di ordine \(\displaystyle pq \) sono isomorfi.[/*:m:1p0i5ant][/list:o:1p0i5ant]

Punto 4

Anche per questo esercizio sono costretto a usare pesantemente le proprietà del prodotto semidiretto. Se qualcuno ritiene che ciò possa essere evitato sarò felice di ascoltarlo.

Siano \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle G' \) due gruppi non abeliani di ordine \(\displaystyle pq \).
Grazie al punto 1 esistono sottogruppi \(\displaystyle A, B \le G \), \(\displaystyle A', B' \le G' \) tali \(\displaystyle o(A)=o(A')=p \), \(\displaystyle o(B)=o(B')=q \), uno tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) è normale in \(\displaystyle G \) ed uno tra \(\displaystyle A' \) e \(\displaystyle B' \) è normale in \(\displaystyle G' \).
Mi limito ora al gruppo \(\displaystyle G \), tanto per \(\displaystyle G' \) è lo stesso.
Supponiamo \(\displaystyle A \) normale in \(\displaystyle G \).
Voglio dimostrare che \(\displaystyle G= A \rtimes B \): basta dimostrare che l'inclusione \(\displaystyle B \to G \) composta con la proiezione \(\displaystyle G \to G/A \) è un isomorfismo ma ciò è banale perché sia \(\displaystyle B \) che \(\displaystyle G/A \) sono gruppi ciclici di ordine primo \(\displaystyle q \).
Si consideri l'omomorfismo \(\displaystyle \varphi \colon B \to \text{Aut}(A) \) tale che \(\displaystyle b \varphi \colon A \to A \) è tale che \(\displaystyle (b\varphi)(a)=b a b^{-1} \) (spero che le notazioni si capiscano): grazie all'iniettività di \(\displaystyle \varphi \) (\(\displaystyle B \) è semplice) si ottiene \(\displaystyle o(B)=o(\varphi(B)) \mid o(\text{Aut}(A)) \) cioè \(\displaystyle q \mid (p-1) \).
Se si fosse supposto \(\displaystyle B \) normale in \(\displaystyle G \), si sarebbe ottenuto \(\displaystyle p \mid (q-1) \), il che è chiaramente assurdo.
Quindi è realmente \(\displaystyle A \) ad essere normale in \(\displaystyle G \).
Come viene chiaramente spiegato nell'articolo di Wikipedia, per determinare a meno di isomorfismo un prodotto semidiretto non bastano i due sottogruppi ma serve anche l'omomorfismo \(\displaystyle \varphi \) che realizza il prodotto tra i due sottogruppi.
Nel nostro caso \(\displaystyle A \cong A' \) e \(\displaystyle B \cong B' \). Restano da esaminare gli omomorfismi \(\displaystyle \varphi \) e \(\displaystyle \varphi' \) (denisco \(\displaystyle \varphi' \) come \(\displaystyle \varphi \)). Entrambi appartengono ad un sottogruppo di ordine \(\displaystyle q \) di un gruppo di automorfismi di ordine \(\displaystyle p-1 \), cioè ad un gruppo ciclico di ordine primo \(\displaystyle q \). Qui forse ho finito l'esercizio e forse no: posso dire che sono funzioni "isomorfe"? Che si comportano allo stesso modo? Entrambe hanno ordine \(\displaystyle q \) e agiscono su un gruppo ciclico di ordine \(\displaystyle p-1 \). Come formalizzare tutto questo? Ho l'impressione che mi manchi un po' di teoria.

@Kashaman
Guarda che \(\displaystyle n \) è fissato e non puoi scegliertelo tu! Inoltre deve essere \(\displaystyle n > 1 \) altrimenti l'esercizio è una banalità. Prova a correggere.

EDIT: la dimostrazione del punto 4 è sbagliata. Ne propongo un'altra a pagina 8 di questo topic.

[Kashaman]

scusate , avevo male interpretato la traccia. quella originale è questa. pagina 68.
Sia $G$ un gruppo abeliano finito di ordine $o(G)$ e supponiamo che l'intero $n$ sia primo con $o(G)$.
dimostrare che ogni $g in G$ si può. scrivere come $g=x^n$ per $x in G$.

ho seguito il suggerimento di Herstein considerando questa applicazione $\phi (y)=y^n$ devo mostrare che è un isomorfismo di $G$ su $G$.
Allora ho provato che $xy in G : f(xy)=(xy)^n=x^ny^n=f(x)f(y)$ , questo perché $G$ è abeliano.
Poi avevo pensato di vedere il nucleo di questa applicazione.
ho considerato $x in G$ generico
$x in Kerf <=> f(x)=x^n=e$
ora quella relazione è vera se $o(x)|n$ (1).
Io ora so che $o(X)|o(G)$ (2) e $M.C.D(n, o(G))=1$ (3)
e che quindi da 1) , 2) e 3) segue che $(o(X),n)=1$ ma poiché $o(X)|n$ segue allora che $o(x)=1$ e pertanto essendo $e$ l'unico elemento di $G$ di periodo $1$ segue che $x^n=e => x=e$ e che $Kerf={e}$. Pertanto $f$ risulta essere un isomorfismo.

fatto ancora tanti inquacchi?

[Leonardo891]

Riguardo il punto 4 su cui mi scervellavo: forse si potrebbe intendere l'isomorfismo tra le due funzioni in senso categoriale e vedere quindi il prodotto semidiretto come un funtore che associa ad una tripla data da due gruppi e un morfismo di gruppi un altro gruppo.

@Kashaman

"Kashaman":$x in Kerf <=> f(x)=x^n=e$
ora quella relazione è vera se $o(x)|n$ (1).

È vera se e solo se!

"Kashaman":Io ora so che $o(X)|o(G)$ (2) e $M.C.D(n, o(G))=1$ (3)
e che quindi da 1) , 2) e 3) segue che $(o(X),n)=1$ ma poiché $o(X)|n$ segue allora che $o(x)=1$

Scusa ma ricordi la definizione di \(\displaystyle \text{MCD} \)? Se sì, non fai prima a dire: poiché \(\displaystyle o(x) \) divide sia \(\displaystyle n \) che \(\displaystyle o(G) \) allora divide il loro massimo comun divisore che è \(\displaystyle 1 \), quindi \(\displaystyle o(x)=1 \).
Perché la \(\displaystyle x \) è diventata maiuscola, inoltre?

"Kashaman":$Kerf={e}$. Pertanto $f$ risulta essere un isomorfismo.

Ricordati che l'iniettività e la suriettività di una funzione si coimplicano solo se l'insieme è finito (o se la dimensione è finita, parlando di spazi vettoriali)! In generale non è vero: basta prendere la funzione che raddoppia ogni numero naturale positivo.

Scusa Kashaman ma dato che stai agli inizi con l'algebra, perché non cominciare studiando un libro più semplice dell'Herstein?

[Kashaman]

"Leonardo89":
@Kashaman
[quote="Kashaman"]$x in Kerf <=> f(x)=x^n=e$
ora quella relazione è vera se $o(x)|n$ (1).

È vera se e solo se!
[/quote] hai ragione.

Scusa ma ricordi la definizione di \(\displaystyle \text{MCD} \)? Se sì, non fai prima a dire: poiché \(\displaystyle o(x) \) divide sia \(\displaystyle n \) che \(\displaystyle o(G) \) allora divide il loro massimo comun divisore che è \(\displaystyle 1 \)
quindi \(\displaystyle o(x)=1 \).

giusto, sono un genio nel complicarmi la vita.

Perché la \(\displaystyle x \) è diventata maiuscola, inoltre?

errore di battitura.

"Kashaman":$Kerf={e}$. Pertanto $f$ risulta essere un isomorfismo.

Ricordati che l'iniettività e la suriettività di una funzione si coimplicano solo se l'insieme è finito (o se la dimensione è finita, parlando di spazi vettoriali)! In generale non è vero: basta prendere la funzione che raddoppia ogni numero naturale positivo.

ma infatti lo so. Forse non sono stato chiaro nella dimostrazione. Io avevo come ipotesi che $G$ era finito . Ma non
ho specificato come giustamente mi fai notare il perché di questa

"Kashaman":$Kerf={e}$. Pertanto $f$ risulta essere un isomorfismo.

[/quote].

ciao e grazie

[Kashaman]

Scusa Kashaman ma dato che stai agli inizi con l'algebra, perché non cominciare studiando un libro più semplice dell'Herstein?

hai ragione, ma questo esercizio non mi sembra non alla mia portata. in più mi serviva dimostrarlo perché si tratta di una generalizzazione di un tema d'esame che ho incontrato svolgendole.
recitava così

sia f : ZZ_210 -> ZZ_210$ applicazione definita ponendo $AAx in ZZ_210 : f(x) = x^53$
dire se per restrizione e corestrizione alle unità di $ZZ_210$ $f$ è un automorfismo delle unità di $ZZ_210$

sbagliare al primo colpo una dimostrazione, oppure fornire una imprecisa, penso sia normale dato che non è nemmeno un'anno che studio matematica. Se fossi già bravo(e molto probabilmente non lo sarò mai) , non posterei milioni di post in cerca d'aiuto. Poi mettici che sto studiando praticamente da autodidatta , il corso non l'ho seguito, perché
1) il corso era alla mattina alle 8
2) non sono in sede e abito a un paese che dista circa 150 km dalla mia università
3 ) dal mio paese non ci sono treni prima delle 6 e 30 e quindi mi è praticamente impossibile arrivare senza un'ora di ritardo a lezione. (mi trovo bene quando le lezioni sono alle 9).
La mia non è capocciaggine, è solo voglia , sete, di sapere e se incontro una generalizzazione di un problema, mi sembra una bella sfida affrontarla. Anche se il più delle volte, essendo un cesso, cado in errori sciocchi.
Comunque accetto il tuo punto di vista, hai ragione, ma semplicemente quell'esercizio ha suscitato enormemente il mio interesse.

[Leonardo891]

Mi spiace per la tua situazione Kashaman.
Ora, a parte l'esercizio di cui sopra, ti ribadisco il mio consiglio: proprio perché sei agli inizi (e tutti ci siamo stati, non demoralizzarti) studia su un libro più semplice dell'Herstein che ti introduca più agevolmente e con più dettagli alla materia.
Il libro di Herstein è fantastico, ma la sua politica è quella di insegnare a nuotare alle persone buttandole in acqua dove non toccano: se non affogano, significa che hanno imparato a nuotare.
Riguardo al testo in spoiler, non si legge niente.

[Kashaman]

qui , quarto post

[Kashaman]

il problema è anche che l'herstein delle volte mi da delle risposte che delle volte altri libri non riescono a darmi.
Ad esempio con esso ho scoperto l'insieme HK e il "metodo per calcolare il suo ordine" che è un utile strumento per risolvere un quesito di questo tipo(7 - post)

[Leonardo891]

A quali altri libri ti riferisci Kashaman?

[Kashaman]

l'altro in mio possesso, il piacentini - cattaneo

[Leonardo891]

Ti consiglio le dispense di Giulio Campanella, qui, alle voci "Algebra 1" e "Algebra 2".

[Kashaman]

[j18eos]

@Leonardo89 Per amore dell'algebra, studia i prodotti semidiretti di gruppi da un libro e non da wikipedia.en Purtroppo, oltre a non averli capiti bene, confondi troppi aspetti degli stessi in un miscuglio dove non si distingue "la testa dalla coda".

Ti suggerisco Rotman - An introduction to theory of groups.

[Leonardo891]

Penso che j18eos abbia ragione: tentando di dimostrare il punto 4 ho fatto un mezzo casino.
Ho dato un'occhiata al Rotman (bel libro!) inoltre ho trovato molto utili due dispense: questa e, soprattutto, quest'altra.
Nonostante quanto dica j18eos, continuo a trovare utile la pagina di Wikipedia sui prodotti semidiretti.

Provo a ridimostrare il punto 4.

"Herstein, pagina 80 numero 10":Sia \(\displaystyle o(G)=pq \), \(\displaystyle p> q \) primi, dimostrare:
[list=1][*:3gunsnon]\(\displaystyle G \) ha un sottogruppo di ordine \(\displaystyle p \) e uno di ordine \(\displaystyle q \).[/*:m:3gunsnon]
[*:3gunsnon]Se \(\displaystyle q \nmid p-1 \), \(\displaystyle G \) è ciclico.[/*:m:3gunsnon]
[*:3gunsnon]Dati due primi \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle q \), \(\displaystyle q \mid p-1 \), esiste un gruppo non abeliano di ordine \(\displaystyle pq \).[/*:m:3gunsnon]
[*:3gunsnon]Due gruppi non abeliani di ordine \(\displaystyle pq \) sono isomorfi.[/*:m:3gunsnon][/list:o:3gunsnon]

Punto 4

Siano \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle G' \) due gruppi non abeliani di ordine \(\displaystyle pq \).
Grazie al punto 1 esistono sottogruppi \(\displaystyle A, B \le G \), \(\displaystyle A', B' \le G' \) tali \(\displaystyle o(A)=o(A')=p \), \(\displaystyle o(B)=o(B')=q \), uno tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) è normale in \(\displaystyle G \) ed uno tra \(\displaystyle A' \) e \(\displaystyle B' \) è normale in \(\displaystyle G' \).
Mi limito ora al gruppo \(\displaystyle G \), tanto per \(\displaystyle G' \) è lo stesso.
Supponiamo \(\displaystyle A \) normale in \(\displaystyle G \).
Voglio dimostrare che \(\displaystyle G= A \rtimes_\varphi B \) (prodotto semidiretto interno): basta dimostrare che l'inclusione \(\displaystyle i \colon B \to G \) composta con la proiezione \(\displaystyle p \colon G \to G/A \) è un isomorfismo: supponiamo \(\displaystyle A=b^t (ip) = b^t A \). Si ha, allora, \(\displaystyle b^t \in A \) e, poiché \(\displaystyle A \cap B = (e) \) (segue subito dalla struttura ciclica di \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \)), si ottiene \(\displaystyle b^t=e \) quindi \(\displaystyle ip \) è iniettiva. Dato che \(\displaystyle o(B)=o(G/A)<\infty \) si ottiene subito la suriettività di \(\displaystyle ip \) quindi \(\displaystyle ip \) è un isomorfismo.
L'omomorfismo \(\displaystyle \varphi \colon B \to \text{Aut}(A) \) è definito così: \(\displaystyle b \varphi= \varphi_b\colon A \to A \) è tale che \(\displaystyle a \varphi_b =b a b^{-1} \): grazie all'iniettività di \(\displaystyle \varphi \) (\(\displaystyle B \) è semplice) si ottiene \(\displaystyle o(B)=o(\varphi(B)) \mid o(\text{Aut}(A)) \) cioè \(\displaystyle q \mid (p-1) \).
Se si fosse supposto \(\displaystyle B \) normale in \(\displaystyle G \), si sarebbe ottenuto \(\displaystyle p \mid (q-1) \), il che è chiaramente assurdo.
Quindi è realmente \(\displaystyle A \) ad essere normale in \(\displaystyle G \).
Definisco \(\displaystyle \mathcal{G} := \mathbb{Z}_p \rtimes_\psi \mathbb{Z}_q \) (prodotto semidiretto esterno) dove \(\displaystyle \psi \colon \mathbb{Z}_q \to \text{Aut}(\mathbb{Z}_p) \) è definito così: \(\displaystyle [1]_q \psi = \psi_{[1]_q} \colon \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p\) è tale che \(\displaystyle [1]_p \psi_{[1]_q} = [r]_p \) dove \(\displaystyle [r]_p \) è uno dei \(\displaystyle q \) elementi tali che \(\displaystyle [r]_p^q=[1]_p \). L'esistenza di questo \(\displaystyle [r]_p \) è assicurata dalla struttura ciclica del gruppo moltiplicativo di \(\displaystyle \mathbb{Z}_p \) e dal fatto che \(\displaystyle q \mid p-1 \).
Esiste \(\displaystyle \theta_b \) tale che \(\displaystyle a \varphi_b = b a b^{-1} = a^{\theta_b} \).
Notare che, poiché, \(\displaystyle \varphi_b^q =1_A\) si ha \(\displaystyle a = a ^{\theta_b^q} \) quindi \(\displaystyle \left[ \theta_b^q \right]_p=[1]_p \).
È risaputo che esiste un isomorfismo tra \(\displaystyle B \), gruppo ciclico di ordine primo \(\displaystyle q \), ed il gruppo degli esponenti \(\displaystyle \theta_b \), \(\displaystyle b \in B \) che, in effetti, è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{Z}_q \). Decido di scegliere come generatore \(\displaystyle b \) di \(\displaystyle B \) un elemento tale che \(\displaystyle [\theta_b]_p=[r]_p \).
Si deve controllare che \(\displaystyle \psi \) sia ben definita. Sia \(\displaystyle [c_1]_q=[c_2]_q \). Devo dimostrare che \(\displaystyle [c_1]_q \psi =[c_2]_q \psi \Leftrightarrow [c_1-c_2]_q \psi =1_{\mathbb{Z}_p} \Leftrightarrow \psi_{[1]_q}^{c_1-c_2} =1_{\mathbb{Z}_p} \Leftrightarrow [r^{c_1-c_2}]_p =[1]_p \) il che è vero perché \(\displaystyle q \mid (c_1 -c_2) \).

Per completare la dimostrazione basta dimostrare che \(\displaystyle G \cong \mathcal{G} \cong G' \). Naturalmente è sufficiente dimostrare che \(\displaystyle G \cong \mathcal{G} \).

Bisogna ricordare che, per le proprietà del prodotto semidiretto, per ogni \(\displaystyle g \in G \) esistono degli unici \(\displaystyle a^s \in A \) e \(\displaystyle b^t \in B \) tali che \(\displaystyle g=a^s b^t \).
Definisco \(\displaystyle \gamma \colon G \to \mathcal{G} \) tale che \(\displaystyle \gamma (g)=(_p, [t]_q) \). È banale osservare che \(\displaystyle \gamma \) è ben definita e biunivoca.
Resta solo da dimostrare che \(\displaystyle \gamma \) è un omomorfismo, cioè che per ogni \(\displaystyle g_1=a^{s_1} b^{t_1} , g_2=a^{s_2} b^{t_2}\) vale \(\displaystyle \gamma(g_1 g_2)=\gamma(g_1 ) + \gamma(g_2) \).

Si ha \(\displaystyle \gamma(g_1 g_2)= \gamma(a^{s_1} b^{t_1} a^{s_2} b^{t_2} )= \gamma(a^{s_1} b^{t_1} a^{s_2} b^{- t_1} b^{t_1}b^{t_2} ) =\gamma \left(a^{s_1} \left( a^{s_2} \varphi_{b^{t_1} } \right) b^{t_1}b^{t_2} \right) = \)

\(\displaystyle = \gamma(a^{s_1} a^{s_2 \theta_b^{t_1}} b^{t_1}b^{t_2} ) = ([s_1+s_2 \theta_b^{t_1}]_p, [t_1+t_2]_q) =([s_1+s_2 r^{t_1}]_p, [t_1+t_2]_q)= \)

\(\displaystyle = \left([s_1]_p+ \left( [s_2]_p \psi^{t_1}_{[1]_q} \right), [t_1+t_2]_q \right) = \left([s_1]_p+ \left( [s_2]_p \psi_{[t_1]_q} \right), [t_1+t_2]_q \right) =\)

\(\displaystyle = ([s_1]_p, [t_1]_q ) + ([s_2]_p, [t_2]_q ) = \gamma(g_1 ) + \gamma(g_2) \)

Spero che questa volta sia tutto a posto e che non ci siano errori!

[j18eos]

"Leonardo89":...Nonostante quanto dica j18eos, continuo a trovare utile la pagina di Wikipedia sui prodotti semidiretti...

Ma è un vizio attribuirmi parole che non ho scritte; sono in dovere di smentirti: condivido anche io l'opinione che quella pagina di wikipedi.en sia scritta bene, è solo che con te (così mi è sembrato) non ha funzionato a dovere!

Per quanto riguarda l'esercizio, aspetta domani che mi ricarico le batterie.

[Leonardo891]

"j18eos":Ma è un vizio attribuirmi parole che non ho scritte; sono in dovere di smentirti: condivido anche io l'opinione che quella pagina di wikipedi.en sia scritta bene, è solo che con te (così mi è sembrato) non ha funzionato a dovere!

Ok, errore mio, ho estrapolato erroneamente parole che, in effetti, non avevi pronunciato.

"j18eos":Per quanto riguarda l'esercizio, aspetta domani che mi ricarico le batterie.

Strano: non conosco batterie che impiegano più di 48 ore per ricaricarsi!

[j18eos]

Me n'ero dimenticato, chiedo scusa!

Che significa \(b^t(ip)\)?

[Leonardo891]

"j18eos":Me n'ero dimenticato, chiedo scusa!

Che significa \(b^t(ip)\)?

Scusa in effetti è un po' criptica come notazione. Herstein scrive le funzioni a destra della variabile. \(b^t(ip)\) vuol dire applicare all'elemento \(\displaystyle b^t \) prima la funzione \(\displaystyle i \) e poi la funzione \(\displaystyle p\).
Il problema è che non sempre nel post mi sono ricordato di ciò e, qualche volta, ho riusato la notazione standard analitica per abitudine.