Gruppi - alcuni esercizi dell'Herstein.
Poco tempo fa ho acquistato l'Herstein per voler approfondire lo studio dell'algebra.
Vi pongo alla vostra attenzione alcune risoluzioni di alcuni quesiti.Riguardano i gruppi. Fatemi sapere cosa ne pensate.
Esercizio 1 Dimostrare che se G è un gruppo abeliano, allora per ogni coppia di elementi $a,b in G$ e per tutti gli interi $n$, $(a*b)^n=a^n*b^n$
risoluzione :
Esercizio 2
Sia $G$ un gruppo nel quale $(a*b)^2=a^2*b^2$. Mostrare che $G$ è abeliano.
risoluzione :
Esercizio 3
Mostrare che in $S_3$ vi sono quattro elementi che soddisfano l'equazione $x^2=e $(1) e tre che soddisfano l'equazione $y^3=e$(2).
risoluzione.
esercizio 4
Se $G$ è un gruppo finito. Allora esiste $N>0$ tale che $AA a in G , a^N=e$
risoluzione
Ciao fatemi sapere, spero di non aver scritto tante cavolate
Vi pongo alla vostra attenzione alcune risoluzioni di alcuni quesiti.Riguardano i gruppi. Fatemi sapere cosa ne pensate.
Esercizio 1 Dimostrare che se G è un gruppo abeliano, allora per ogni coppia di elementi $a,b in G$ e per tutti gli interi $n$, $(a*b)^n=a^n*b^n$
risoluzione :
Esercizio 2
Sia $G$ un gruppo nel quale $(a*b)^2=a^2*b^2$. Mostrare che $G$ è abeliano.
risoluzione :
Esercizio 3
Mostrare che in $S_3$ vi sono quattro elementi che soddisfano l'equazione $x^2=e $(1) e tre che soddisfano l'equazione $y^3=e$(2).
risoluzione.
esercizio 4
Se $G$ è un gruppo finito. Allora esiste $N>0$ tale che $AA a in G , a^N=e$
risoluzione
Ciao fatemi sapere, spero di non aver scritto tante cavolate
Risposte
I primi 3 esercizi mi sembrano buoni.
L'ultimo però no: tu assumi che $G$ sia ciclico, è infatti generato dalle potenze di $a$. Ma un gruppo finito non è necessariamente ciclico (considera il gruppo di Klein ad esempio).
Poi il tuo intero $i$, dipende dalla scelta dell'elemento $a$, mentre l'esercizio chiede di determinare un $N$ naturale che vada bene per tutti.
Potresti provare a sfruttare il teorema di Lagrange - se puoi usarlo-. Inoltre prova a pensare concretamente a chi può essere quel $N$.
L'ultimo però no: tu assumi che $G$ sia ciclico, è infatti generato dalle potenze di $a$. Ma un gruppo finito non è necessariamente ciclico (considera il gruppo di Klein ad esempio).
Poi il tuo intero $i$, dipende dalla scelta dell'elemento $a$, mentre l'esercizio chiede di determinare un $N$ naturale che vada bene per tutti.
Potresti provare a sfruttare il teorema di Lagrange - se puoi usarlo-. Inoltre prova a pensare concretamente a chi può essere quel $N$.
Ci ripenserò questa notte. Ad un primo occhio, mi verrebbe da dire che $N=|G|$.
Conoscendo il libro di Herstein sottolineo il suggerimento di mistake (che saluto 
) e ti rispondo col neologismo nì, e guarda caso puoi capirlo con quel simpatico gruppo che è \(A_4\)!
) e ti rispondo col neologismo nì, e guarda caso puoi capirlo con quel simpatico gruppo che è \(A_4\)!
Ciao j18eos 
Comunque che quel $N$ sia valido è facile provarlo e quindi direi che va bene. Potresti pensare anche di trovare il più piccolo $N$. Pensa a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
PS Armando, sinceramente non ho capito perché prendi $S_3$.
Comunque che quel $N$ sia valido è facile provarlo e quindi direi che va bene. Potresti pensare anche di trovare il più piccolo $N$. Pensa a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
PS Armando, sinceramente non ho capito perché prendi $S_3$.
Corretta la svista, non avevo letto il simbolo "\(\forall\)"!
Se dovessi pensare a $N$ come il più piccolo $N>0 | a^N=e$, allora $N$ altro non è che il periodo di $a$.
penserei che dovrei semplicemente mostrare
che se $G$ è finito , allora ogni elemento di $G$ è periodico di periodo finito.
Proviamo a passetti.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Provo per $G$ ciclico.
Sia $G$ un gruppo ciclico, $G$ finito. E supponiamo che gli elementi $ {a,a^2,a^3,.....,a^n}$ stanno in $G$.
Essendo $G$ finito, esistono allora per qualche $i,j in NN$ tali che $a^i=a^j$. Supponiamo allora che $i>j$.
Allora se $a^j in G => a^(-j) in G$, da cui , moltiplicando ambo i membri si ha che $a^(i-j)=e$. Quindi essendo $i-j > 0$. Posto $N=i-j$ , la tesi.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
provo per $G$ abeliano.
Supponiamo che $G$ sia finito, e supponiamo che $ {a_1,a_2,.....,a_n} sube G$. Sia ora $g in G$.
Considero l'applicazione $pi : G -> G $ definita da $AA a in G f(a)=ga$. $\pi$ è una bigezione.
Infatti se $a_i , a_k in G$. $ i, k in {1,...........n}$.
$\pi(a_i)=\pi(a_k)=> ga_i=ga_k => a_i=a_k$ (ciò prova $\pi$ ingettiva). Ma essendo $\pi$ applicazione tra insiemi equipotenti , segue che $\pi$ è bigettiva. Segue allora che $G=Im\pi={\pi(a_1),......,\pi(a_n)}={ga_1,..........,ga_n,}$.
In particolare
$ a_1*a_2*......*a_n=(ga_1)*(ga_2)*.......(ga_n) => a_1*a_2*......*a_n= (a_1*a_2*......*a_n)g^n => g^n=1_G$. Ciò prova che $g$ è periodico ed ammette periodo finito $N$.
..............................................................................................................
Per $G$ non abeliano, non vedo molte alternative.
Comunque grazia a Mistake e J per i vostri graditi consigli!
penserei che dovrei semplicemente mostrare
che se $G$ è finito , allora ogni elemento di $G$ è periodico di periodo finito.
Proviamo a passetti.
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Provo per $G$ ciclico.
Sia $G$ un gruppo ciclico, $G$ finito. E supponiamo che gli elementi $ {a,a^2,a^3,.....,a^n}$ stanno in $G$.
Essendo $G$ finito, esistono allora per qualche $i,j in NN$ tali che $a^i=a^j$. Supponiamo allora che $i>j$.
Allora se $a^j in G => a^(-j) in G$, da cui , moltiplicando ambo i membri si ha che $a^(i-j)=e$. Quindi essendo $i-j > 0$. Posto $N=i-j$ , la tesi.
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provo per $G$ abeliano.
Supponiamo che $G$ sia finito, e supponiamo che $ {a_1,a_2,.....,a_n} sube G$. Sia ora $g in G$.
Considero l'applicazione $pi : G -> G $ definita da $AA a in G f(a)=ga$. $\pi$ è una bigezione.
Infatti se $a_i , a_k in G$. $ i, k in {1,...........n}$.
$\pi(a_i)=\pi(a_k)=> ga_i=ga_k => a_i=a_k$ (ciò prova $\pi$ ingettiva). Ma essendo $\pi$ applicazione tra insiemi equipotenti , segue che $\pi$ è bigettiva. Segue allora che $G=Im\pi={\pi(a_1),......,\pi(a_n)}={ga_1,..........,ga_n,}$.
In particolare
$ a_1*a_2*......*a_n=(ga_1)*(ga_2)*.......(ga_n) => a_1*a_2*......*a_n= (a_1*a_2*......*a_n)g^n => g^n=1_G$. Ciò prova che $g$ è periodico ed ammette periodo finito $N$.
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Per $G$ non abeliano, non vedo molte alternative.
Comunque grazia a Mistake e J per i vostri graditi consigli!
Scusami, sarà l'ora tarda, ma non capisco cosa stai cercando di provare. Forse che $a^(o(a))=1$ e che $o(a)$ è il più piccolo?
Ma questo lo sappiamo.
L'esercizio però ti chiede di trovare un $N$ che vada bene a prescindere da $a$, cioè che valga per ogni elemento del gruppo $G$, ma che sia indipendente da questo -cioè, detto banalmente, non devi cambiarlo se cambi l'elemento che consideri-
Quindi devi trovare $N$ tale che per ogni $a in G$ risulti $a^N=1$.
Prima hai detto $o(G)$, ed è corretto; infatti per ogni elemento $a in G$ risulta $a^(o(G))=1$ e questo si vede facilmente con il th. di Lagrange. $o(G)$ è il più piccolo intero che soddisfa la richiesta dell'esercizio (cioè valere per tutti gli elementi di $G$)? Ti ho invitato a pensare a $ZZ_2 \times ZZ_2$ e ti invito a farlo anche ora se hai ben chiara la traccia
Ma questo lo sappiamo.
L'esercizio però ti chiede di trovare un $N$ che vada bene a prescindere da $a$, cioè che valga per ogni elemento del gruppo $G$, ma che sia indipendente da questo -cioè, detto banalmente, non devi cambiarlo se cambi l'elemento che consideri-
Quindi devi trovare $N$ tale che per ogni $a in G$ risulti $a^N=1$.
Prima hai detto $o(G)$, ed è corretto; infatti per ogni elemento $a in G$ risulta $a^(o(G))=1$ e questo si vede facilmente con il th. di Lagrange. $o(G)$ è il più piccolo intero che soddisfa la richiesta dell'esercizio (cioè valere per tutti gli elementi di $G$)? Ti ho invitato a pensare a $ZZ_2 \times ZZ_2$ e ti invito a farlo anche ora se hai ben chiara la traccia
Mhh, osservando $ZZ_2XZZ_2$ ho notato che escluso l'elemento $(0,0)$ tutti gli altri elementi hanno periodo $2$ sebbene $Card(ZZ_2XZZ_2)=4$ . Quindi il nostro più piccolo $N | N*a=0$ (uso la notazione additiva)in questo caso, sarebbe $2$ .
Quindi mi par di capire che ovviamente $o(G)$non l'$N$ più piccolo tale che valga quella relazione.
Riprovo a darne una risoluzione. Vediamo se ho capito (uso la notazione moltiplicativa.)
Sia $G$ un gruppo. $G$ finito. $G={a_1,a_2,......,a_n}$ .Considero ${ o_1,o_2,o_3,......,o_n}$ l'insieme degli ordini degli elementi di $G$.
Posto $k = m.c.m(o_1,o_2,......,o_n)$ si verifica facilmente che $AA a_i in G$ : $a_i^k=1_g$.
Proprio perché per definizione , $AA i { 1,2,...,n} : o_i | k$ e che quindi
$a_i^k=a_i^(o_i*q)= (a_i^(o_i))^q=1_G$ .
Meglio cosi?
Mi rendo conto che forse prima ho detto un po delle assurdità
Quindi mi par di capire che ovviamente $o(G)$non l'$N$ più piccolo tale che valga quella relazione.
Riprovo a darne una risoluzione. Vediamo se ho capito (uso la notazione moltiplicativa.)
Sia $G$ un gruppo. $G$ finito. $G={a_1,a_2,......,a_n}$ .Considero ${ o_1,o_2,o_3,......,o_n}$ l'insieme degli ordini degli elementi di $G$.
Posto $k = m.c.m(o_1,o_2,......,o_n)$ si verifica facilmente che $AA a_i in G$ : $a_i^k=1_g$.
Proprio perché per definizione , $AA i { 1,2,...,n} : o_i | k$ e che quindi
$a_i^k=a_i^(o_i*q)= (a_i^(o_i))^q=1_G$ .
Meglio cosi?
Mi rendo conto che forse prima ho detto un po delle assurdità
Esatto, bravo
Ora è giusto.
Ora è giusto.
Yuppiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Ce ne ho messo di tempo, ma ce l'ho fatta.
Ce ne ho messo di tempo, ma ce l'ho fatta.
Pongo in esame altri due quesiti.
Esercizio 5
Mostrare che se ogni elemento di un gruppo $G$ coincide con il proprio inverso, allora $G$ è abeliano.
svolgimento
Esercizio 6
Se $G$ è un gruppo di ordine pari. Provare che esiste in $G$ un elemento $a!=e $ tale che $a^2=e$
che ne pensate?
Esercizio 5
Mostrare che se ogni elemento di un gruppo $G$ coincide con il proprio inverso, allora $G$ è abeliano.
svolgimento
Esercizio 6
Se $G$ è un gruppo di ordine pari. Provare che esiste in $G$ un elemento $a!=e $ tale che $a^2=e$
che ne pensate?
Sono di fretta; però nella 5) non ho capito perchè $a*b=b*a$ e poi $(a*b)*b=b*(b*a)$? Cioè hai moltiplicato a destra un membro e sinistra l'altro? Se è così, non è legittimo.
Esercizio 6); in verità non mi convince moltissimo. La restrizione che fai -cioè che gli inversi di $K$ siano tutti contenuti in $K$, mi pare restrittiva. Non credo sia corretto.
O quanto meno è scritto un po' male e non si capisce perché debba funzionare.
Purtroppo ora sto uscendo e non ho pensato a possibili soluzioni alternative (sempre se le tue non sono corrette). Ci penserò poi.
PS Soluzione semplice per il $6$:
E' una cosa che m'è venuta al volo mentre ti rispondevo. Andrebbero forse sistemati i dettagli -tipo assicurarsi che $a^k$ non sia identico e quindi mostrare che esiste almeno un elemento che risponde a questa proprietà - e potrebbe anche non esser giusto, ma magari è un'idea
Esercizio 6); in verità non mi convince moltissimo. La restrizione che fai -cioè che gli inversi di $K$ siano tutti contenuti in $K$, mi pare restrittiva. Non credo sia corretto.
O quanto meno è scritto un po' male e non si capisce perché debba funzionare.
Purtroppo ora sto uscendo e non ho pensato a possibili soluzioni alternative (sempre se le tue non sono corrette). Ci penserò poi.
PS Soluzione semplice per il $6$:
E' una cosa che m'è venuta al volo mentre ti rispondevo. Andrebbero forse sistemati i dettagli -tipo assicurarsi che $a^k$ non sia identico e quindi mostrare che esiste almeno un elemento che risponde a questa proprietà - e potrebbe anche non esser giusto, ma magari è un'idea
Per quanto riguarda l'esercizio 5.Ho ragionato cosi .(magari ho sbagliato a ricopiare)
Sfrutto il fatto che $AA x in G : x*x=e$
debbo alla fine provare per l'abelianità che $AA a,b in G : a*b=b*a$.
e faccio cosi
$a*b=b*a=>a*(a*b) = a*(b*a) => (a*a)*b= (a*b)*a => b=(a*b)*a => b*a=(a*b)*a*a=> b*a=(a*b)*(a*a)$
$=> b*a=a*b$ ha qualche senso?
Per l'esercizio 6, mi convinci abbastanza. Forse la tua è una soluzione molto più semplice della mia. (poi vediamo di aggiustarla un po meglio, stasera ti dico bene le mie motivazioni.)
Se ho ben capito, te hai intenzione di far cosi.
Supponiamo che $G$ sia finito e che $|G|=2k, k in NN$ .
Prendiamo $a in G, a!=e$. Essendo $G$ un gruppo, tutte le potenze $a^k in G$.
Di conseguenza $(a^k)^2 in G$.
Verifichiamo che $a^(2k)=e$.
Sia$o(a^k) $ l'ordine di $a^k $ in $G$.
Per il teorema di Lagrange, $o(a^k)| o(G)=2k => o(G)=o(a^k)*q , q in ZZ$.
Da cui , $a^(2k)=a^(o(a^k)*q)=(a^o(a^k))^q = e^q=e$ . La tesi.
Sfrutto il fatto che $AA x in G : x*x=e$
debbo alla fine provare per l'abelianità che $AA a,b in G : a*b=b*a$.
e faccio cosi
$a*b=b*a=>a*(a*b) = a*(b*a) => (a*a)*b= (a*b)*a => b=(a*b)*a => b*a=(a*b)*a*a=> b*a=(a*b)*(a*a)$
$=> b*a=a*b$ ha qualche senso?
Per l'esercizio 6, mi convinci abbastanza. Forse la tua è una soluzione molto più semplice della mia. (poi vediamo di aggiustarla un po meglio, stasera ti dico bene le mie motivazioni.)
Se ho ben capito, te hai intenzione di far cosi.
Supponiamo che $G$ sia finito e che $|G|=2k, k in NN$ .
Prendiamo $a in G, a!=e$. Essendo $G$ un gruppo, tutte le potenze $a^k in G$.
Di conseguenza $(a^k)^2 in G$.
Verifichiamo che $a^(2k)=e$.
Sia$o(a^k) $ l'ordine di $a^k $ in $G$.
Per il teorema di Lagrange, $o(a^k)| o(G)=2k => o(G)=o(a^k)*q , q in ZZ$.
Da cui , $a^(2k)=a^(o(a^k)*q)=(a^o(a^k))^q = e^q=e$ . La tesi.
Insomma tu vuoi provare l'abelianità di \(G\) partendo dall'abelianità... 
Ti fornisco l'incipit: \(a;b\in G\Rightarrow a\cdot b\in G\) quindi che puoi fare?
Ti fornisco l'incipit: \(a;b\in G\Rightarrow a\cdot b\in G\) quindi che puoi fare?
Aspetta, forse ci sono! J18eos mi sei provvidenziale.
basta applicare la definizione di gruppo.
$Siano a,b in G $
Per la chiusura di $G$ si ha che ovviamente $a*b in G => (a*b)^-1 in G$.
In un gruppo si ha che $(a*b)^-1=b^-1*a^-1$.
Per ipotesi in particolare segue che $a*b=(a*b)^-1=b^-1*a^-1$ . Ora poiché $b^-1=b , a^-1=a$ segue che.
$a*b=b*a => G$ abeliano!
Funziona?
basta applicare la definizione di gruppo.
$Siano a,b in G $
Per la chiusura di $G$ si ha che ovviamente $a*b in G => (a*b)^-1 in G$.
In un gruppo si ha che $(a*b)^-1=b^-1*a^-1$.
Per ipotesi in particolare segue che $a*b=(a*b)^-1=b^-1*a^-1$ . Ora poiché $b^-1=b , a^-1=a$ segue che.
$a*b=b*a => G$ abeliano!
Funziona?
Sì funziona, addirittura hai accorciato la dimostrazione che avevo in mente: complimenti! 
Solo una piccola finezza, quando parli di "chiusura" in questo contesto intendi la chiusura di una struttura algebrica rispetto alle operazioni definite sul suo sostegno, in un contesto topologico ciò si potrebbe confondere con altre tipologie di chiusure; te lo dico per il tuo futuro da matematico
OUT OF SELF Non scrivere J18eos
quel giorno scelsi di proposito la j minuscola perché la maiuscola non mi piace =_=
Solo una piccola finezza, quando parli di "chiusura" in questo contesto intendi la chiusura di una struttura algebrica rispetto alle operazioni definite sul suo sostegno, in un contesto topologico ciò si potrebbe confondere con altre tipologie di chiusure; te lo dico per il tuo futuro da matematico
OUT OF SELF Non scrivere J18eos
quel giorno scelsi di proposito la j minuscola perché la maiuscola non mi piace =_=
"Kashaman":
basta applicare la definizione di gruppo.
$Siano a,b in G $
Per la chiusura di $G$ si ha che ovviamente $a*b in G => (a*b)^-1 in G$.
In un gruppo si ha che $(a*b)^-1=b^-1*a^-1$.
Per ipotesi in particolare segue che $a*b=(a*b)^-1=b^-1*a^-1$ . Ora poiché $b^-1=b , a^-1=a$ segue che.
$a*b=b*a => G$ abeliano!
Alternativamente: $a=a^{-1}$ significa $a^2 = 1$ per ogni $a \in G$, quindi
$ abab = (ab)^2 =1 = a^2 b^2 = a a b b $
cancellando $a$ a sinistra e $b$ a destra ottieni $ba=ab$
"j18eos":
Sì funziona, addirittura hai accorciato la dimostrazione che avevo in mente: complimenti!
Di preciso cosa avevi in mente j?
"j18eos":
Solo una piccola finezza, quando parli di "chiusura" in questo contesto intendi la chiusura di una struttura algebrica rispetto alle operazioni definite sul suo sostegno, in un contesto topologico ciò si potrebbe confondere con altre tipologie di chiusure; te lo dico per il tuo futuro da matematico
Grazie mille! ne terrò conto in futuro!
"j18eos":
OUT OF SELF Non scrivere J18eos
sorry XD
@ Perplesso.
Ancora più semplice, grande perplesso !
ringrazio tutti.
Evito di aprire un'altro post , dato che l'argomento è strettamente legato al tema trattato.
Ho alcuni dubbietti riguardo la caratterizzazione dei sottogruppi.
Dalle dispense ho questo teoremino :
Th
Sia $G $ un gruppo . $H sube G$.
$H AA x,y in G : x*y^-1 in G$
dim
La prima implicazione è scontata. Passo alla seconda.
(verifico che $e_G in H$)
Le dispense recitano cosi.
Poiché $H$ è non vuoto, allora esiste $x in H$ di conseguenza $e=x*x^-1 in H$ ( domanda, con questa implicazione, non si sotto intende che $x^-1 in H$?)
(verifico che $x^-1 in H$)
Poiché $e in H$ . Segue che $x^-1=e*x^-1 in H$.
Per ultimo si ha che $y^-1 in H => (y^-1)^-1 = y in H => x*y in H$ (chiusura).
Non mi è chiaro molto il primo punto. Non capisco perché $e=x*x^-1 in H$. Sembra quasi che si sottointentenda che $x^-1 in H$.
------------
Bazzicando sul Herstein ho trovato quest'altro, che mi sembra più chiaro sotto il punto di vista dimostrativo, più semplice.
Caratterizzazione II
Sia $G$ un gruppo. $H sube G$.
$H 1- AA x,y in H : xy in H 2- a in H => a^-1 in H$.
dim
$=>$ ovvia.
l'altra implicazione si poggia sul fatto che per ipotesi $H$ è chiuso. Che se $*$ in $G$ è associativa, allora sicuramente lo è anche su $H$.
La seconda ipotesi dice che ogni elemento di $H$ ha un inverso.
E quello che rimane da verificare è che $e in H$ ma ciò è ovvio perché $a*a^-1 = e$.
Domanda : le due sono perfettamente equivalenti?
Ho fatto qualche errore di comprensione nella prima (rispettivamente nella seconda)?
Ho alcuni dubbietti riguardo la caratterizzazione dei sottogruppi.
Dalle dispense ho questo teoremino :
Th
Sia $G $ un gruppo . $H sube G$.
$H
dim
La prima implicazione è scontata. Passo alla seconda.
(verifico che $e_G in H$)
Le dispense recitano cosi.
Poiché $H$ è non vuoto, allora esiste $x in H$ di conseguenza $e=x*x^-1 in H$ ( domanda, con questa implicazione, non si sotto intende che $x^-1 in H$?)
(verifico che $x^-1 in H$)
Poiché $e in H$ . Segue che $x^-1=e*x^-1 in H$.
Per ultimo si ha che $y^-1 in H => (y^-1)^-1 = y in H => x*y in H$ (chiusura).
Non mi è chiaro molto il primo punto. Non capisco perché $e=x*x^-1 in H$. Sembra quasi che si sottointentenda che $x^-1 in H$.
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Bazzicando sul Herstein ho trovato quest'altro, che mi sembra più chiaro sotto il punto di vista dimostrativo, più semplice.
Caratterizzazione II
Sia $G$ un gruppo. $H sube G$.
$H
dim
$=>$ ovvia.
l'altra implicazione si poggia sul fatto che per ipotesi $H$ è chiuso. Che se $*$ in $G$ è associativa, allora sicuramente lo è anche su $H$.
La seconda ipotesi dice che ogni elemento di $H$ ha un inverso.
E quello che rimane da verificare è che $e in H$ ma ciò è ovvio perché $a*a^-1 = e$.
Domanda : le due sono perfettamente equivalenti?
Ho fatto qualche errore di comprensione nella prima (rispettivamente nella seconda)?
"Kashaman":
[quote="j18eos"]Sì funziona, addirittura hai accorciato la dimostrazione che avevo in mente: complimenti!
Di preciso cosa avevi in mente j?[/quote] Avevo in mente la dimostrazione di perplesso; vedrò quest'ultimo esercizio a mente fresca.
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