Varie disequazioni irrazionali

[kioccolatino90]

salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$

[giammaria2]

L'esercizio è giusto. Quanto al tuo dubbio, hai usato il fatto che $a>0$ più volte, senza neanche rendertene conto. Supponi che $a$ sia negativo, e per evitare di confonderti poni $a=-b$, con $b$ positivo. Il dominio diventa $x<=-2b uuux>=2b$, che non è quello da te indicato. Anche altri punti andrebbero modificati ma non sto ad esaminarli tutti; uno che balza agli occhi è che, con $a$ negativo, da $2ax>5a^2$ si ricava $x<5/2a$

[kioccolatino90]

"giammaria":Quanto al tuo dubbio, hai usato il fatto che $a>0$ più volte, senza neanche rendertene conto.

ti riferisci a quando nel sistema ho messo $x-a>=0$?

"giammaria":Supponi che $a$ sia negativo, e per evitare di confonderti poni $a=-b$, con $b$ positivo. Il dominio diventa $x<=-2b uuux>=2b$, che non è quello da te indicato.

sembrerebbe lo stesso, tu ti riferisci al fatto che: $x<=-2-b uuu x>=+2-b$, quindi $x<=+2b uuu x>=-2b$ ma non mi trovo con te, cioè se $a=-b$ andando a sostituire al posto di $a$ mi esce così....

[giammaria2]

"domy90": tu ti riferisci al fatto che: $x<=-2-b uuu x>=+2-b$, quindi $x<=+2b uuu x>=-2b$

No, non era questo che intendevo. Con la sostituzione indicata il dominio diventa
$x^2-4b^2>=0=>x<=-2b uuu x>=2b$
o, se preferisci tornare ad $a$, $x<=+2a uuu x>=-2a$
A prima vista può sembrare strano e sbagliato, ma se $a$ è negativo lo è anche $+2a$, mentre $-2a$ è positivo.
Cose analoghe anche in altri punti ( non in quello della tua prima domanda) e lo vedi facilmente se fai la sostituzione indicata e provi a risolvere il tutto pensando alla lettera $b$; comunque non è indispensabile. Ad esempio, se ben ricordo (per controllare dovrei voltare pagina, e non è facile farlo mentre si scrive), ad un certo punto dovevi risolvere il sistema
${(x Con $a$ positivo, la soluzione è $x

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[kioccolatino90]

un attimo stò facendo confusione...
allora con la sostituzione indicata si trova che il dominio è proprio quello che indichi: $x<=-2b uuu x>=+2b$...e ci sono fin qui...

ora hai scritto:

"giammaria":o, se preferisci tornare ad $a$, $x<=+2a uuu x>=-2a$

in pratica quando l'ho calcolato al''inizio io mi trovo $x<=-2a uuu x>=2a$ (però con $a>0$);
non hai cambiato il segno cioè hai detto: io so che se $a$ è negativo e lo è anche $x<=+2a$ ed $x>=-2a$ è positivo...

quindi da quello che ho capito io il dominio con $a>0$ è lo stesso di quello con $a<0$? vero?

[giammaria2]

In entrambi i casi il dominio è $x<=-2|a|uuu x>=2|a|$ (il simbolo attorno ad $a$ è poco visibile, ma indica il valore assoluto), ma se non metti il valore assoluto i due domini sono diversi: ti basta vedere che le due scritte che riporti non sono uguali fra loro.

[kioccolatino90]

cioè queste due: $x<=-2a uuu x>=2a$; $x<=+2a uuu x>=-2a$?

[giammaria2]

Sì

[kioccolatino90]

però se scrivi: $x<=-2a uuu x>=2a$ con $a>0$; $x<=+2a uuu x>=-2a$ con $a<0$?

[giammaria2]

Così è giusto: l'ipotesi $a>0$ data dal libro ti permetteva di limitarti alla prima scrittura.

[kioccolatino90]

però se il libro avesse dato come ipotesi $a<0$ la seconda scrittura sarebbe stata corretta?

[@melia]

"domy90":però se il libro [size=75]avrebbe[/size] dato come ipotesi $a<0$ la seconda scrittura [size=75]era[/size] corretta?

avesse, sarebbe stata

[giammaria2]

A parte la sgrammaticatura, la riaposta è sì, sarebbe stata corretta.

[kioccolatino90]

ah ok...... la grammatica proprio che non mi entra...
meglio la matematica!!!!!!

[kioccolatino90]

Chiedo scusa se continuo a postare ogni tanto in argomenti lontani, ho un piccolo dubbio se ad esempio ho $2sqrt(x^2+3)<=5x+2$ il due davanti la radice lo posso togliere quando vado risolvere la disequazione $(2sqrt(x^2+3))^2<=(5x+2)^2$ e quindi diventa $x^2+3<=(5x+2)^2$????

[giammaria2]

Non puoi toglierlo perché non si semplifica con niente; puoi invece elevarlo a quadrato ottenendo $4(x^2+3)<=(5x+2)^2$. Naturalmente, avendo introdotto anche le limitazioni legate al C.E. ed ai segni.

[kioccolatino90]

"giammaria":[...] Naturalmente, avendo introdotto anche le limitazioni legate al C.E. ed ai segni.

si si, non l'ho specificato per pigrizia, scusami.............

[kioccolatino90]

chiedo scusa ma come può essere che $1/(sqrt(e^x(1-x^2)))>=0$ è sempre positiva? non è positiva in tutti punti del dominio?

il dominio è $e^x(1-x^2)>0 rarr -1
risolvo la disequazione:
il numeratore è sempre positivo....

il denominatore è positivo quando: $sqrt(e^x(1-x^2))>0 rarr e^x(1-x^2)>0$ e cioè $-1

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[giammaria2]

Effettivamente la tua grandezza è positiva solo nel suo dominio; sarebbe bene specificarlo sempre ma a volte è sottinteso per brevità.
Il tuo ragionamento è inutilmente lungo: purché esista, una radice quadrata è sempre positiva (o nulla, ma nel tuo caso va escluso perché è a denominatore). Infatti $sqrt(x^2)=|x|$ e non $=x$.

[kioccolatino90]

ok grazie mille ora ho capito....!!!!!!!!!!!!!!!!

[kioccolatino90]

chiedo scusa ho un esercizio ma non avendo il risultato non so se ho fatto bene.......

la disequazione irrazionale è: $-2x-5-2sqrt2sqrt(-x^2-5x)>=0$ è uguale a: $2sqrt2sqrt(-x^2-5x)<=-2x-5 rarr$ $ {(-x^2-5x>=0),(-2x-5>=0),((2sqrt2sqrt(-x^2-5x))^2<=(-2x-5)^2 ):} rarr$ ${(-5<=x<=0),(x<=-5/2),(8(-x^2-5x)<=(4x^2+20x+25) ):} rarr$ ${(-5<=x<=0),(x<=-5/2),(-8x^2-40x-4x^2-20x-25<=0 ):} rarr$ ${(-5<=x<=0),(x<=-5/2),(12x^2+60x+25>=0 ):} rarr $ ${(-5<=x<=0),(x<=-5/2),(x<=(-15-5sqrt6)/6 uuu x>=(-15+5sqrt6)/6):} rarr -5<=x<=(15+-5sqrt6)/6$?