Varie disequazioni irrazionali

[kioccolatino90]

salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$

[kioccolatino90]

cioè volevo dire per trovare l'intervallo devo studiare solo il segno del valore assoluto oppure anche quello di $x-2$?

[hee136]

Perchè $x-2$ ?

[giammaria2]

La tua disequazione è $sqrt f(x)>x-2$ e tu sai che per risolverla devi distinguere a seconda del segno di $x-2$, che quindi ci interessa. Ci interessa anche quello di $x-1$ perchè c'è il suo valore assoluto: di qui il mio suggerimento di considerare i tre intervalli che ho indicato.

[kioccolatino90]

ma per risolverla non si deve fare l'unione dei due sistemi?
cioè quello che non capisco è come si trova si fa trovare l'intervallo $x<1, 12$... si si è studiato il segno del valore assoluto e di $x-2$?

[giammaria2]

In matematica talvolta capita che un problema possa essere risolto non solo col metodo tradizionale, ma anche utilizzando una scorciatoia; quella che suggerivo era appunto una scorciatoia. Comunque, lasciamola stare e usiamo il metodo tradizionale: devi fare l'unione di due sistemi (li chiamo sistemi A1 e A2 per distinguerli da altri successivi), e cioè
${(x-2>=0), (x^2-x+4|x-1|>(x-2)^2):}uuu{(x-2<0),(x^2-x+4|x-1|>=0):}
Consideriamo la seconda disequazione di A1:
$x^2-x+4|x-1|>x^2-4x+4 =>3x-4+4|x-1|>0$
Per risolverla devi distinguere a seconda del segno di $x-1$ e quindi fare
${(x-1>=0), (3x-4+4(x-1)>0):}uuu{(x-1<0), (3x-4-4(x-1)>0):}$
Risolvi questi due sistemi, unisci i loro risultati e poi torni al sistema A1, mettendo al posto della seconda disequazione il risultato così trovato. Risolvi il sistema A1.
Stesso lavoro per il sistema A2, poi unisci i risultati di A1 e A2.

Per A1 si poteva anche prendere una scorciatoia (impraticabile per A2), ma mi sembra che ti piacciano poco e la nomino solo per evitare critiche da altri.
Mi viene però un dubbio: sai perchè bisogna impostare i due sistemi A1 e A2, o ti limiti ad applicare una regola?

[kioccolatino90]

"giammaria":
Per A1 si poteva anche prendere una scorciatoia (impraticabile per A2), ma mi sembra che ti piacciano poco[...]

cioè non è che non mi piacciono, anzi se c'è un metodo più veloce è meglio, è che non l'ho capita....

"giammaria":Mi viene però un dubbio: sai perchè bisogna impostare i due sistemi A1 e A2, o ti limiti ad applicare una regola?

principalmente mi limito ad applicare la regola....

[giammaria2]

"domy90": principalmente mi limito ad applicare la regola....

Ed è per questo che finora non mi capivi; provo a spiegartelo, poi rileggi i miei interventi passati: penso che ti saranno più chiari.
Il tutto si basa su due fatti: 1) una radice quadrata indica un numero positivo (o nullo; non ripeterò questa parentesi ma ricorda che è sempre sottintesa); 2) si può elevare a quadrato una diseguaglianza solo quando si ha la certezza che i due membri sono entrambi positivi (se per esempio tu avessi 3>-5, che è vera, e la elevassi a quadrato otterresti 9>25, che è falsa).
Pensiamo ora alla disequazione $sqrt (f(x))>x-2$: il primo membro è positivo, ma non sappiamo il segno del secondo, e allora dobbiamo distinguere due casi.
Nel primo caso $x-2$ è positivo (o nullo: il caso dell'uguale a zero va considerato e lo si può indifferentemente conglobare nel primo o nel secondo caso; io l'ho fatto subito per non dimenticarlo): allora tutto è positivo e si può elevare a quadrato, ottenendo il sistema
${(x-2>=0), (f(x)>(x-2)^2):}$
Nel secondo caso $x-2$ è negativo, e allora la radice, che è positiva, gli è maggiore. Ad una condizione: che la radice sia calcolabile, cioè che il radicando non sia negativo; in altre parole, che si sia nel dominio. Ottengo il sistema
${(x-2<0),(f(x)>=0):}$
Poichè vanno bene sia il primo che il secondo caso, unisco i loro risultati.
Una nota: nel primo caso non ci si preoccupa del dominio: abbiamo imposto che $f(x)$ sia maggiore di un quadrato, quindi certo non sarà negativo.

Se questa spiegazione ti è chiara, ti rendi conto da solo che quello che importa è il segno di $x-2$; la presenza del valore assoluto rendeva importante anche quello di $x-1$. Di qui il mio suggerimento di distinguere in tre intervalli: nel primi due (quello prima di 1 e quello fra 1 e 2) il membro $x-2$ è negativo e si applica il ragionamento del secondo caso; nel terzo intervallo è invece positivo e il ragionamento è quello del primo caso.

[kioccolatino90]

Ah ho capito, la radice è sempre positiva, quello che importa e che non sappiamo, è il segno di $x-2$ e da quì considerare l'unione dei due sistemi....
visto che si basa tutto su $x-2$ ne dobbiamo considerare il segno, ma abbiamo anche un valore assoluto e si deve tenere conto anche il segno di quest'ultimo...da qui il tuo suggerimento.... si deve fare una regola dei segni fra $x-1$ e $x-2$...oppure studiare separatamente i due casi (io credo questa)?...
E poi per ciascuno degli intervalli, si riscrive la disequazione tenendo conto dei segni, e si risolve unendo tutte le soluzioni...?

[giammaria2]

Credi bene: si devono studiare separatamente i tre intervalli, applicando in ciascuno il caso che lo riguarda, e si risolve unendo tutte le soluzioni.

[kioccolatino90]

Allora io l'ho risolta, vediamo se ho fatto bene...:

$sqrt(x^2-x+4|x-1|)>x-2$ il dominio è: $D:{AA x in RR}$
$x-1>0 rarr x>1$
$x-2>0 rarr x>2$ (ottengo i tre intervalli $x<1$, $<1x<1$ e$x>2$)

ora studio separatamente i tre intervalli e si ha:

*$x<1$:
${sqrt(x^2-x-4(x-1))> -(x-2)} rarr {(x-2<0),(x^2-x-4x+4>=0):} rarr {(x<2),(x<=1uuux>=4):} rarr x<=1$

*$1 ${sqrt(x^2-x+4(x-1))> -(x-2)} rarr {(x-2<0),(x^2-x+4x-4>=0):} rarr {(x<2),(x<=-4uuux>=1):} rarr x<=4uuu 1<=x<2$

*$x>2$
${sqrt(x^2-x+4(x-1))>x-2} rarr {(x-2>=0),(x^2-x+4x-4>x^2-2x+4):} rarr {(x>=2),(x>8/5):} rarr x>=2$

unisco le tre soluzioni e ottengo $AA x in RR$... secondo il libro si trova.... è ordinato e chiaro? oppure non si capisce? e soprattutto è fatto bene o salto qualcosa?

[giammaria2]

C'è molto di giusto, ma anche qualche errore. In primo luogo, il fatto che $x-2$ sia negativo non ti autorizza a cambiarlo di segno: resta così com'è e ti limiti a pensare "questo è un numero negativo". Inoltre il ragionamento, per ogni intervallo, è "siamo in questo intervallo e (cioè $^^$) c'è la seguente disequazione": in altre parole, devi mettere a sistema l'intervallo con la disequazione. Il tuo primo caso viene così modificato:
${(x<=1),(sqrt(x^2-x-4(x-1))>x-2):} rarr {(x<=1),(x^2-x-4x+4>=0):} rarr {(x<=1),(x<=1uuux>=4):} rarr x<=1$
In modo analogo si modificano i casi successivi; questo cambia la conclusione del secondo caso.
Avrai notato che ho aggiunto un uguale nella prima disequazione: questo perchè i casi x=1 e x=2 vanno considerati e il modo più semplice per farlo è mettere qualche uguale, facendoli rientrare in uno dei tuoi intervalli. Io ho fatto rientrare x=1 nel primo intervallo, ma avrei anche potuto mettere l'uguale nel secondo intervallo; volendo, lo si può mettere in entrambi, ma almeno un uguale ci deve essere.

[kioccolatino90]

ok quindi dovevo fare:
$sqrt(x^2-x+4|x-1|)>x-2$ il dominio è: $D:{AA x in RR}$
$x-1>0 rarr x>1$
$x-2>0 rarr x>2$ ($x<1$, $12$)

studio separatamente i tre intervalli e si ha:

*$x<1$:
${(x<=1),(sqrt(x^2-x-4(x-1))>x-2):} rarr {(x<=1),(x^2-x-4x+4>=0):} rarr {(x<=1),(x<=1uuux>=4):} rarr x<=1$

*$1 ${(1x-2):} rarr {(1=0):} rarr {(1=1):} rarr 1
*$x>2$:
${(x>=2),(sqrt(x^2-x+4(x-1))>x-2):} rarr {(x>=2),(x^2-x+4x-4>x^2-2x+4):} rarr {(x>=2),(x>8/5):} rarr x>=2$

unisco le tre soluzioni e ottengo $AA x in RR$...
domanda: ma quando vado a studiare gli intervalli e indico dove mi trovo come ad esempio ho fatto io [*$x<1$:] per un maggior ordine devo mettere gli uguali anche qua? oppure basta che lo faccio nel sistema ?....

[giammaria2]

Sì. per un maggior ordine devi mettere gli uguali anche lì: quelli sono i titoli di quello che segue ed è bene che titolo e trattazione siano coerenti ra loro (non solo in matematica).

[kioccolatino90]

ok, chiarissimo....poi ne ho una simile, però non so se il ragionamento si può fare anche con questa, io non credo...
l'esercizio è: $|x+1|>sqrt(x|x-1|)$ il dominio è $D:{x|x-1|>=0}$ cerco il segno $+$ da $x>=0$ e $|x-1|>=0 rarr D:{x>=0}$
la svolgo normalmente applicando la regola:
$sqrt(x|x-1|)<|x+1|$ $rArr$ ${(D),(|x+1|>0),((sqrt(x|x-1|))^2<(|x+1|)^2):} rarr {(D),(AA x !=-1),(x|x-1| ora della terza disequazione del sistema dovrei considerare quando il valore assoluto è negativo e quando è positivo...

$|x^2-x|-x^2-2x-1<0 rArr {(x^2-x>=0),(x^2-x-x^2-2x-1<0):} uuu {(x^2-x<0),(-x^2+x-x^2-2x-1<0):} rarr {(x<=0 uuu x>=1),(x<-1/3):} uuu {(0

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[giammaria2]

In generale le scritte $x|x-1|$ e $|x^2-x|$ non sono uguali fra loro (hanno valore diverso se x è negativo). Nel tuo caso lo sono, perché il dominio dice che x non è negativo, ma è comunque un passaggio da evitare perché complica le cose. Conviene invece risolvere l'ultima disequazione considerandola nella forma $x|x-1| Inoltre mi sembra che nel punto in cui scrivi "mai" avresto dovuto scrivere "sempre": sai perché?

[kioccolatino90]

"giammaria":In generale le scritte $x|x-1|$ e $|x^2-x|$ non sono uguali fra loro (hanno valore diverso se x è negativo). Nel tuo caso lo sono, perché il dominio dice che x non è negativo, ma è comunque un passaggio da evitare perché complica le cose.

cioè perchè complica le cose? quindi non avrei dovuto calcolare il Dominio in questo caso?

"giammaria":
Conviene invece risolvere l'ultima disequazione considerandola nella forma $x|x-1|

non devo fare la moltiplicazione...ma poi $x$ che fine fa? cioè non viene più considerata?

"giammaria":
Inoltre mi sembra che nel punto in cui scrivi "mai" avresto dovuto scrivere "sempre": sai perché?

Ah si ho sbagliato perchè quando ho moltiplicato per $-1$ non ho cambiato di segno la disequazione......

[giammaria2]

Il dominio viene calcolato esattamente come hai fatto; la moltiplicazione incriminata figura solo nei calcoli successivi. Questi vanno modificati così:
$x|x-1|-x^2-2x-1<0 rArr {(x-1>=0),(x^2-x-x^2-2x-1<0):} uuu {(x-1<0),(-x^2+x-x^2-2x-1<0):} rArr ...$

[kioccolatino90]

"giammaria":... .Nel tuo caso lo sono, perché il dominio dice che x non è negativo, ma è comunque un passaggio da evitare perché complica le cose.

a cosa ti riferivi quando hai detto così?

[giammaria2]

Confronta il mio ultimo intervento con i tuoi calcoli: la mia disequazione $x-1>=0$ è più semplice della tua $x^2-x>=0$.

[kioccolatino90]

ah, si giusto ottengo due risultati....mentre la tua è una sola ed è sbrigativa.....
Se è possibile vorrei tornare un attimo all'esercizio precedente, volevo chiedere: ma la scorciatoia è solo per il sistema A1? cioè io sono arrivato al punto:

$sqrt(x^2-x+4|x-1|)>x-2$ il dominio è: $D:{AA x in RR}$
$x-1>0 rarr x>1$
$x-2>0 rarr x>2$ ($x<1$, $12$)

studio separatamente i tre intervalli e si ha:

*$x<=1$:
${(x<=1),(sqrt(x^2-x-4(x-1))>x-2):} rarr {(x<=1),(x^2-x-4x+4>=0):} rarr {(x<=1),(x<=1uuux>=4):} rarr x<=1$

*$1 ${(1x-2):} rarr {(1=0):} rarr {(1=1):} rarr 1
*$x>=2$:
${(x>=2),(sqrt(x^2-x+4(x-1))>x-2):} rarr {(x>=2),(x^2-x+4x-4>x^2-2x+4):} rarr {(x>=2),(x>8/5):} rarr x>=2$

unisco le tre soluzioni e ottengo $AA x in RR$... fino a qua pensavo che era finita anchè perchè il risultato me lo porta a pensare però poi rileggendo il messaggio:

"giammaria":In matematica talvolta capita che un problema possa essere risolto non solo col metodo tradizionale, ma anche utilizzando una scorciatoia; quella che suggerivo era appunto una scorciatoia. Comunque, lasciamola stare e usiamo il metodo tradizionale: devi fare l'unione di due sistemi (li chiamo sistemi A1 e A2 per distinguerli da altri successivi), e cioè
${(x-2>=0), (x^2-x+4|x-1|>(x-2)^2):}uuu{(x-2<0),(x^2-x+4|x-1|>=0):}
Consideriamo la seconda disequazione di A1:
$x^2-x+4|x-1|>x^2-4x+4 =>3x-4+4|x-1|>0$
Per risolverla devi distinguere a seconda del segno di $x-1$ e quindi fare
${(x-1>=0), (3x-4+4(x-1)>0):}uuu{(x-1<0), (3x-4-4(x-1)>0):}$
Risolvi questi due sistemi, unisci i loro risultati e poi torni al sistema A1, mettendo al posto della seconda disequazione il risultato così trovato. Risolvi il sistema A1.
Stesso lavoro per il sistema A2, poi unisci i risultati di A1 e A2.

Per A1 si poteva anche prendere una scorciatoia (impraticabile per A2), ma mi sembra che ti piacciano poco e la nomino solo per evitare critiche da altri.
Mi viene però un dubbio: sai perchè bisogna impostare i due sistemi A1 e A2, o ti limiti ad applicare una regola?

e precisamente l'ultimo pezzo, ho pensato che quello che ho scritto di sopra fosse solo il sistema A1 e quindi non era ancora finito...