Varie disequazioni irrazionali

[kioccolatino90]

salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$

[@melia]

"domy90":
$x^3+26x>64-48x-12x^2-x^3$

Hai sbagliato il segno di $x^2$, mettendo il segno esatto viene Ruffini con l'uno.

[kioccolatino90]

il dominio va bene?

[@melia]

Sì, trattandosi di radice cubica il dominio è tutto l'asse reale.

[kioccolatino90]

ok, grazie mille, poi ho il libro che mi da come soluzioe di una disequazione: $(3sqrt10)/10$ a me come risultato esce: $sqrt(9/10)$ evidetemete ha usato una trasformazione o una proprietà delle irrazionali...la disequazioe è: $root(4)(x^4-10x^2+9)>x$....
io ho fatto:
$root(4)(x^4-10x^2+9)>x$ $rarr D:{x^4-10x^2+9>=0 rArr (x+1)(x-1)(x^2-9)>=0 rArr x<-3 uuu -13}$

${(D),(x<0):} uuu {(x>=0),((root(4)(x^4-10x^2+9))^4>(x)^4):}$ $rarr {(D),(x<0):} uuu {(x>=0),(x<-sqrt(9/10) uuu x>sqrt(9/10)):}$

credo che è giusto devo solo trasformare quel modo di scrivere....

[Paolo902]

"domy90":ok, grazie mille, poi ho il libro che mi da come soluzioe di una disequazione: $(3sqrt10)/10$ a me come risultato esce: $sqrt(9/10)$

E' giusto.

Infatti $(3sqrt10)/10 = sqrt(9/10)$.

E' sufficiente portare fuori dalla radice il 9 e razionalizzare. Quindi ti chiedo: sai che cosa vuol dire razionalizzare?

[kioccolatino90]

ora che ci penso se mi chiedi il sigificato e l'utilità non ti saprei rispondere...

[Paolo902]

La faccio semplice.

In sostanza, ai matematici non piace dividere per "una cosa che non finisce". Credo tu sappia che, ad esempio, $sqrt(2)$ è un numero non esprimibile sotto forma di frazione (tali numeri si chiamano irrazionali). Ebbene, se prendi una calcolatrice e provi a calcolarti $sqrt 2 approx 1,41$ NON trovi alcuna regolarità (periodica) nelle sue cifre decimali.

Quindi, ecco, è un po' bruttino scrivere $1/sqrt2$, ti pare? Sarebbe come dire prendi una torta e dividila in 1,41.... parti uguali!
Per evitare questo spiacevole effetto, si ricorre alla proprietà invariantiva (moltiplicando o dividendo per una stessa quantità non nulla il dividendo e il divisore il risultato della divisione non cambia): quindi (dimmi se sei d'accordo)

$1/sqrt2=1/sqrt2*sqrt2/sqrt2$

Se fai i conti a secondo membro trovi $1/sqrt2=sqrt2/2$. Mi chiederai: "Eh be'? Adesso ho la radice sopra: che cosa cambia?".
Effettivamente sì, adesso la radice è a numeratore, ma è tutta un'altra cosa a livello estetico, benchè nella sostanza il "numero" sia lo stesso.

Hai capito?

[kioccolatino90]

ok, capito.... procedendo per gradi porto fuori il nove e ottengo: $sqrt(9/10) rarr sqrt(3^2/10) rarr 3*sqrt(1/10) rarr 3*sqrt1/sqrt10 rarr 3*1/sqrt10$?
poi razionalizziamo: $3*1/sqrt10= 3*1/sqrt10*sqrt10/sqrt10= (3sqrt10)/10$, giusto? ho fatto bene?

[@melia]

È giusto. Hai fatto bene.

[kioccolatino90]

non mi trovo con il risultato, cioè io unisco i due sistemi:
$root(4)(x^4-10x^2+9)>x$....
risoluzione:
$root(4)(x^4-10x^2+9)>x$ $rarr D:{x^4-10x^2+9>=0 rArr (x+1)(x-1)(x^2-9)>=0 rArr x<=-3 uuu -1<=x<=1 uuu x>=3}$

${(D),(x<0):} uuu {(x>=0),((root(4)(x^4-10x^2+9))^4>(x)^4):}$ $rarr {(D),(x<0):} uuu {(x>=0),(x<-sqrt(9/10) uuu x>sqrt(9/10)):}$ $rarr {(D),(x<0):} uuu {(x>=0),(x<-(3sqrt10)/10 uuu x>+(3sqrt10)/10):}$ $rArr x<=-3 uuu -1<=x<0 uuu x>+(3sqrt10)/10$

e non mi trovo poichè il libro come risultato porta: $x<=-3 uuu -1<=x<+(3sqrt10)/10$....

[giammaria2]

Da $x^4-10x^2+9>x^4$ si ricava $-sqrt(9/10)

Cita

Segnala

[kioccolatino90]

ecco non avevo cambiato il verso della disequazione....
poi ho: $root(4)(x^2-8)>sqrtx$ il dominio è $D:{(x^2-8>=0),(x>=0):} rarr {(x<=-2sqrt2 uuu x>=+2sqrt2),(x>=0):} rarr D:{x>=+2sqrt2}$
ora si dovrebbe elevare ma le radici hanno indice diverso, questo cambia procedimento oppure è lo stesso?

[giammaria2]

Il procedimento è lo stesso: elevi alla quarta, e in generale al m.c.m. degli indici. L'elevazione ad esponente pari è lecita perchè entrambi i membri sono positivi.

[kioccolatino90]

cioè così: $(sqrt(x^2-8))^4>(sqrtx)^4$?

[giammaria2]

Sì, quindi ...

[kioccolatino90]

quindi viene: $x^2-8>x^2 rarr -8>0 rarr mai$

[giammaria2]

Giusto.

[kioccolatino90]

poi se ho: $sqrt(x^2-4a^2)>x-a$ con $a>0$ come si procede? il dominio si calcola lo steso vero?

[giammaria2]

S', certo. Se chiedi conferma per ogni passaggio che fai, i tuoi esercizi esigono un tempo molto lungo; nel tuo esclusivo interesse, ti suggerirei di svolgerne almeno una discreta parte prima di postare.

[kioccolatino90]

ok.... ho cercato di svolgerlo sembrava più difficile....ho fatto:

$sqrt(x^2-4a^2)>x-a$ $rArr$ $D:{x^2-4a^2>=0} rarr (x-2a)(x+2a)>=0 rarr x<=-2a uuu x>=+2a$

${(D),(x-a<0):} uuu {(x-a>=0),((sqrt(x^2-4a^2))^2>(x-a)2):}$ $rarr {(D),(x=a),(x^2-4a^2>x^2-2ax+a^2):}$ $rarr$ ${(D),(x=a),(+2ax>+5a^2 ):}$ $rarr$ ${(D),(x=a),(x>5/2a ):}$ $rarr$ le $x$ soluzione sono: $x<=-2a uuu x>5/2a$;
però ora che ci penso il fatto che $a>0$ che il libro mi ha voluto dare in più è solo un' informazione o serve in qualche calcolo, cioè a me non è servito mentre l'ho svolta, non ne ho proprio tenuto conto....si deve fare qualche considerazione?