Varie disequazioni irrazionali

[kioccolatino90]

salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$

[@melia]

"domy90":salve a tutti ho la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$

E fino a qua tutto bene, poi dici che "razionalizzi"? Diciamo che elevi al quadrato, ma questo si può fare solo se i due membri hanno lo stesso segno. La radice per sua definizione è sempre $>=0$, mentre il secondo membro $-1$ è sempre negativo, quindi non si può elevare alla seconda.
Ragioniamo sulla disequazione: una radice quadrata, quando esiste, è sempre $>=0$, se è $>=0$ è sicuramente anche $> -1$, quindi la disequazione è verificata quando la radice esiste, cioè per $x>=1/4$

[kioccolatino90]

ok grazie sei stata chiarissima....
poi ho quest'altra: $sqrt(4-x^2)>0$ il dominio è: $x<=-2 uuu x>=2$
ora se elevo al quadrato ambo i membri mi esce la stessa cosa solo che 2 e -2 non sono incluse come soluzioni della diseq., ora quale delle 2 devo considerare come soluzione finale.... io direi quella del dominio ma non mi vorrei sbagliare....

[@melia]

Quando $x=+-2$ la radice si annulla, infatti $sqrt(4-(+-2)^2)=0$. Tu vuoi che la tua radice si annulli? Mi pare di no, quindi $x< -2 vv x> 2$

[kioccolatino90]

ma in questo caso si deve sempre procedere normalmente oppure no?

[giammaria2]

Attenzione: il dominio è $-2<=x<=2$

[@melia]

"giammaria":Attenzione: il dominio è $-2<=x<=2$

Ovviamente giammaria ha ragione, quindi la soluzione è $-2

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[kioccolatino90]

poi ho: $0>=sqrt(2-3x)$ io l'ho scritta come $sqrt(2-3x)<=0$ ma elevando mi esce $x>=2/3$ invede dovrebbe uscire $x=2/3$

[@melia]

"domy90":poi ho: $0>=sqrt(2-3x)$ io l'ho scritta come $sqrt(2-3x)<=0$ ma elevando mi esce $x>=2/3$

che intersecato con la condizione di esistenza $x<=2/3$ dà come soluzione $x=2/3$

[kioccolatino90]

perchè?

[Gi81]

Tu hai $sqrt(2-3x)<=0$
Per prima cosa hai delle condizioni di esistenza da porre, ovvero $2-3x>=0 rArr x<=2/3$
Poi passi alla risoluzione: elevi al quadrato e hai $2-3x<=0 rArr x>=2/3$
Pertanto c'è un solo punto che sta sia nella soluzione che nella condizione di esistenza, ovvero $2/3$
Dunque $S={2/3}$

[kioccolatino90]

poi ho un dubbio.....
ho quest'altra: $sqrt(1-3x)<=-5$
come mi è stato spiegato prima la radice deve soddisfare la condizione che detta il dominio, ora seguendo lo stesso ragionamento: ho che il dominio $x<=1/3$ ora questa disuguaglianza è soddisfatta per $x<=1/3$???

[DelCrossB]

"domy90":poi ho un dubbio.....
ho quest'altra: $sqrt(1-3x)<=-5$
come mi è stato spiegato prima la radice deve soddisfare la condizione che detta il dominio, ora seguendo lo stesso ragionamento: ho che il dominio $x<=1/3$ ora questa disuguaglianza è soddisfatta per $x<=1/3$???

In realtà no: il valore restituito in output da una radice è sempre $ >= 0 $. Pertanto $ \not\exists x \in \mathbb{R} $ che verifica la disequazione.

[kioccolatino90]

ok, quindi se ci fosse stato: $sqrt(1-3x)>=-5$ come soluzione si prendeva quella del dominio e cioè: $x>=1/3$???

[Gi81]

Esattamente... in generale, se tu hai
$sqrt(f(x))>=-5 $ (o, comunque, qualunque numero negativo), la soluzione è data dal dominio...
Infatti, per ogni valore del dominio, $f(x)>=0$,
dunque $sqrt(f(x))$ non solo esiste ma è maggiore o uguale a $0$,
pertanto è anche maggiore o uguale di $-5$ (e di qualunque altro numero negativo)

Inoltre, in modo assolutamente simmetrico, puoi dire che ogni volta che hai
$sqrt(f(x))<=-5 $ (o, comunque, qualunque numero negativo), la soluzione è l'insieme vuoto

[kioccolatino90]

quindi da come hai detto se ho: $sqrt(3-2x)+3>0$ ho che il dominio è: $D:{x<=3/2}$ riscrivendo la disequazione ho: $sqrt(3-2x)>(-3)$, quindi la soluzione è data dal dominio $S=x<=3/2$...

[kioccolatino90]

scusatemi se ve lo chiedo sempre, ma è meglio essere sicuri: posso postare altri esercizi?

[kioccolatino90]

Buon pomeriggio a tutti, posto un esercizio se va bene... l'esercizio è: $sqrt(x^3-10x+21x)<2sqrt3$ il dominio è $D:{x(x^2-10x+21)>=0} rarr x>=0 uuu x<=1 uuu x>=9$ $rArr$ $D:{0<=x<=1 uuu x>=9}$

svolgimento: $(sqrt(x^3-10x+21x))^2<(2sqrt3)^2 rarr x(x^2-10x+21)<12 rarr x(x^2-10x+21)-12<0$ non so come procedre, avrei voluto portare il -12 in parentesi ma non so se si può fare....

[giammaria2]

"domy90": ... il dominio è $D:{x(x^2-10x+21)>=0} rarr x>=0 uuu x<=1 uuu x>=9$ $rArr$ $D:{0<=x<=1 uuu x>=9}$

Non capisco come hai trovato i numeri 1 e 9; io trovo 3 e 7. Inoltre la prima disequazione è collegata alla seconda non dall'unione, ma dalla richiesta che il prodotto abbia il più. Non conosco un simbolo apposito e avrei scritto: cerco il segno $+$ da
${(x>=0),(x<=3uuu x>=7):}$
A parte questo, il tuo ragionamento è giusto e il dominio è quello che dici, correggendo i numeri 1 e 9.

Arriviamo ora alla disequazione $x(x^2-10x+21)-12<0$: devi fare il prodotto indicato e poi scomporre in fattori il tutto; direi che la regola di Rufini è l'unico metodo possibile.

[kioccolatino90]

"giammaria": Inoltre la prima disequazione è collegata alla seconda non dall'unione, ma dalla richiesta che il prodotto abbia il più. Non conosco un simbolo apposito e avrei scritto: cerco il segno $+$ da
${(x>=0),(x<=3uuu x>=7):}$

cioè intendi intendi dire come mettere un'asterisco in alto a sinistra della parentesi graffa???

"giammaria":Arriviamo ora alla disequazione $x(x^2-10x+21)-12<0$: devi fare il prodotto indicato e poi scomporre in fattori il tutto; direi che la regola di Rufini è l'unico metodo possibile.

un altro modo non c'è che ruffini non lo so fare.....

[giammaria2]

Per l'asterisco: se sei abituato a metterlo in quel significato, va bene.
Per la regola di Ruffini: è importante conoscerla ma è quasi impossibile spiegartela a distanza; studiala sul tuo libro della prima. L'unico altro metodo a cui riesco a pensare (e che ne è una conseguenza) è il suggerimento: il tuo polinomio può essere scritto come $(x-1)*P(x)$, in cui $P(x)$ è il quoziente della divisione fra il polinomio dato e $x-1$; puoi quindi calcolare $P(x)$ e poi studiare il segno dei due fattori. Però sai fare quellla divisione? Di solito si usa la regola di Ruffini, anche se non è l'unico metodo possibile.