Varie disequazioni irrazionali

[kioccolatino90]

salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$

[kioccolatino90]

ah ok, allora meglio di no....
avrei un'altro esercizio che non capisco dov'è che ho sbagliato: $(2sqrtx +1)/4+(2x+7)/6>sqrt3/2+(x-1)/3$ il dominio è $D=x>=0$ $m.c.m=24$

$6(2sqrtx +1)+4(2x+7)>12sqrt3+8x-8$
$12sqrtx +6+8x+28>12sqrt3+8x-8$
$12sqrtx+8x-8x>12sqrt3-8-6-28$
$12sqrtx>12sqrt3-42 rarr sqrtx>(12sqrt3-42)/12 rarr sqrtx>6(2sqrt3-7)/12 rarr sqrtx>(2sqrt3-7)/2 rarr (sqrtx)^2>((2sqrt3-7)/2)^2 rarr x>61/4$
faccio il grafico ma non si trova....

[Fabiouz94]

L'$m.c.m.$ era $12$, ma va bene lo stesso.
Scusa ma nell'ultimo passaggio non ho capito: $((2sqrt(3)-7)/2)^2=61/4$? Ricordati che $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

[kioccolatino90]

ma esce un $-48,497$...

[giammaria2]

A parte l'errore che ti è già stato segnalato, ti ricordo che in una disequazione si può elevare a quadrato solo quando si ha la certezza che i due membri sono positivi, e $(2sqrt3-7)/2$ è negativo. Poichè invece $sqrt x$ è positivo, la disequazione è sempre verificata nel suo dominio: la soluzione è il dominio.

[kioccolatino90]

A si giusto che stupido!!! non ci avevo proprio pensato!!!
e se volevo fare il doppio prodotto dei due termini come avrei dovuto fare? Cioè quello che mi trovo io andava bene?

[giammaria2]

Il calcolo è
$(2sqrt3-7)^2=(2sqrt3)^2+7^2-2*2sqrt3*7=12+49-28sqrt3=61-28 sqrt3$

[kioccolatino90]

e quel due al denominatore?

[giammaria2]

Diventa un "fratto 4"; avevo limitato il calcolo alla parte incriminata.

[kioccolatino90]

ok capito...
Ma quando tengo: $sqrt(x+3)+sqrt(7-x)>4$ devo trattarla come nei casi di $sqrt(f(x))<=g(x)$ e $sqrt(f(x))>=g(x)$??? oppure come nel caso di $sqrt(f(x))>=k $ o $ <=$?

[redlex91-votailprof]

Ricerca del dominio

${(x>=-3),(x<=7):}=>-3<=x<=7

Al primo membro abbiamo una somma di radici ad indice pari, ossia una quantità positiva, al secondo membro abbiamo $+4$, quindi possiamo elevare.

$(sqrt(x+3)+sqrt(7-x))^2>4^2

$x+3+7-x+2sqrt(-x^2+4x+21)>16

$sqrt(-x^2+4x+21)>3

$-x^2+4x+21>9

$x^2-4x-12<0

$(x-6)(x+2)<0

$-2
che rientra nel nostro dominio.

[kioccolatino90]

"friction":

$x+3+7-x+2sqrt(-x^2+4x+21)>16

come mai esce un'altra radice?

[redlex91-votailprof]

Perché $(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
nell'esercizio:
$(sqrt(x+3)+sqrt(7-x))^2=(sqrt(x+3))^2+(sqrt(7-x))^2+2sqrt(x+3)*sqrt(7-x)=x+3+7-x+2sqrt((x+3)(7-x))=...

[kioccolatino90]

ok capito, e se invece fosse stato: $sqrt(x+2)-sqrt(x-3)>1$ si deve portare al secondo membro il radicando negativo e poi posso elevare al quadrato?

[giammaria2]

Sì, a parte l'uso delle parole: "radicando" è la grandezza che sta sotto il segno di radice.

[kioccolatino90]

se invece fosse stato $-sqrt(x+2)-sqrt(x-3)>1$ la soluzione è data dal dominio perchè moltiplico per $-1$ primo e secondo membro e ottenego quantità positiva maggiore di quantità negativa...?

[giammaria2]

La soluzione è l'insieme vuoto o, se preferisci dirlo diversamente, è impossibile. Puoi vederlo in due modi: lasciando così il primo membro è negativo e non può essere maggiore del secondo, che è positivo; oppure, moltiplicando per $-1$ e quindi cambiando il verso, il primo membro è positivo e non può essere minore del secondo, che è negativo.
La tua risposta sarebbe stata giusta se al posto del $>$ ci fosse stato il $<$; anche in quel caso il ragionamento sui segni poteva essere fatto senza moltiplicare per $-1$.

[kioccolatino90]

Ah si ecco non avevo cambiato il verso della disequazione....

[kioccolatino90]

"friction":
$x+3+7-x+2sqrt(-x^2+4x+21)>16

$sqrt(-x^2+4x+21)>3

ma per eliminare il $2$ che moltiplica la radice si è diviso primo e secondo membro per $2$... ma si può fare? cioè si può scrivere: $(2sqrt(-x^2+4x+21))/2>6/2$ oppure si deve scrivere $2(sqrt(-x^2+4x+21))/2>6/2$?

[giammaria2]

Non capisco il tuo dubbio: i tuoi due scritti indicano lo stesso calcolo. Forse lo vedi meglio se pensi che l'intera radice indica un numero e può essere sostituita da una lettera, ad esempio y; il calcolo di friction può quindi essere scritto come $2y>6$. Ora dovrebbe esserti evidente che sì, si può dividere per 2 e che $(2y)/2>6/2$ è lo stesso che $2 y/2>6/2$

[kioccolatino90]

cioè che non capivo se era la stessa cosa o no....
comunque dubbio risolto....
Invece avrei un dubbio su quest'altra: $sqrt(x^2-7x+12)>sqrt(2)-sqrt(-x^2+7x-10)$ se io porto o meno il termine $-sqrt(-x^2+7x-10)$ al primo membro è la stessa cosa se lo resto al secondo solo che diventa più difficile a fare i calcoli, se no non cambia niente...vero?