Varie disequazioni irrazionali
salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$
Risposte
Se fosse un'equazione, probabilmente sarebbe meglio lasciare a secondo membro il termine $sqrt(-x^2+7x-10)$ perchè almeno i primi calcoli risultano più facili; essendo una disequazione devi invece portalo a primo membro perchè solo così hai la certezza che i due membri siano positivi e puoi quindi elevare a quadrato. Nel doppio prodotto verrà, sotto radice, un polinomio di quarto grado, ma pazienza!
Provando a fare i conti, noto che in questo caso particolare converrebbe portarlo a primo membro anche se fosse un'equazione; in genere questo non succede.
Provando a fare i conti, noto che in questo caso particolare converrebbe portarlo a primo membro anche se fosse un'equazione; in genere questo non succede.
si perchè se non mi sbaglio lasciando così le cose ed elevando poi si deve svolgere il cubo di un trinomio, che risulta un pò più difficile o meglio più ingarbugliato da fare i conti....dico bene?
Lasciando così le cose non è lecito elevare a quadrato perchè non sai il segno del secondo membro; se per caso fosse lecito (ad esempio, se ci fosse il + davanti alla seconda radice oppure se fosse un'equazione) non si otterrebbe nessun cubo ma solo dei quadrati perchè non c'è nessuna elevazione al cubo. Il calcolo del quadrato del secondo membro (col +) sarebbe
$(sqrt2+sqrt(-x^2+7x-10))^2=2+(-x^2+7x-10)+2sqrt(2(-x^2+7x-10))$
$(sqrt2+sqrt(-x^2+7x-10))^2=2+(-x^2+7x-10)+2sqrt(2(-x^2+7x-10))$
Capisco.... io ho fatto:
$sqrt(x^2-7x+12)>sqrt2-sqrt(-x^2+7x-10)$ il dominio è: $D:\{(x^2-7x+12>=0),(-x^2+7x-10>=0):} rarr {(x<=4uuux>=3),(2<=x<=5):} rarr D:{2<=x<=3 uuu 4<=x<=5}$
$(sqrt(x^2-7x+12)+sqrt(-x^2+7x-10))^2>(sqrt2)^2$
$x^2-7x+12-x^2+7x-10+2sqrt(-x^4+14x^3-71x^2+154x-120)>2$
$2(sqrt(-x^4+14x^3-71x^2+154x-120))/2>0/2$
$(sqrt(-x^4+14x^3-71x^2+154x-120))^2>0$
$-x^4+14x^3-71x^2+154x-120>0 rarr (x-2)(x-3)(x^2+9x-20)>0$ prendo il segno $+$ da $\{(x>2),(x>3),(x<-10 uuu x>1):} rarr x<-10, 13$ che intersecato col dominio fa: $4<=x<=5$ e non si trova....
$sqrt(x^2-7x+12)>sqrt2-sqrt(-x^2+7x-10)$ il dominio è: $D:\{(x^2-7x+12>=0),(-x^2+7x-10>=0):} rarr {(x<=4uuux>=3),(2<=x<=5):} rarr D:{2<=x<=3 uuu 4<=x<=5}$
$(sqrt(x^2-7x+12)+sqrt(-x^2+7x-10))^2>(sqrt2)^2$
$x^2-7x+12-x^2+7x-10+2sqrt(-x^4+14x^3-71x^2+154x-120)>2$
$2(sqrt(-x^4+14x^3-71x^2+154x-120))/2>0/2$
$(sqrt(-x^4+14x^3-71x^2+154x-120))^2>0$
$-x^4+14x^3-71x^2+154x-120>0 rarr (x-2)(x-3)(x^2+9x-20)>0$ prendo il segno $+$ da $\{(x>2),(x>3),(x<-10 uuu x>1):} rarr x<-10, 1
Bene fino a $2sqrt((x^2-7x+12)(-x^2+7x-10))>0$ e il 2 è semplificabile; gli altri calcoli sono inutili o dannosi. Quand'è che una radice quadrata è maggiore di zero?
quando l'argomento è maggiore di zero?
Più o meno: una radice quadrata, purché esista, è sempre maggiore o uguale a zero. Sai già che esiste, perchè entrambi i suoi fattori sono stati imposti non-negativi quando hai cercato il dominio; ti basta quindi che il radicando non valga zero e questo succede agli estremi del dominio. La soluzione è quindi il dominio, ma senza gli uguali.
ah ok capito....
poi ho un dubbio su un'altra, l'esercizio è: $sqrt(4-x^2)<=2sqrt(16-x^2)$ che il risultato si trova, sembra fatta bene però non so se i passaggi li ho fatti bene, il dubbio mi sorge nel momento in cui vado a dividere e moltiplicare per $2$ primo e secondo membro....:
$D:{(4-x^2>=0, if -2<=x<=2),(16-x^2>=0, if -4<=x<=4):}$
$D:{-2<=x<=2}$
$2sqrt(4-x^2)/2<=2sqrt(16-x^2)/2 rarr sqrt(4-x^2)<=sqrt(16-x^2)$ ora il dubbio è se io moltiplico e divido per due non esce: $2sqrt(4-x^2)/2<=2*2sqrt(16-x^2)/2 rarr sqrt(4-x^2)<=2sqrt(16-x^2)$??? cioè mi esce la stessa cosa di prima mi sono perso in una "goccia d'acqua"...
poi ho un dubbio su un'altra, l'esercizio è: $sqrt(4-x^2)<=2sqrt(16-x^2)$ che il risultato si trova, sembra fatta bene però non so se i passaggi li ho fatti bene, il dubbio mi sorge nel momento in cui vado a dividere e moltiplicare per $2$ primo e secondo membro....:
$D:{(4-x^2>=0, if -2<=x<=2),(16-x^2>=0, if -4<=x<=4):}$
$D:{-2<=x<=2}$
$2sqrt(4-x^2)/2<=2sqrt(16-x^2)/2 rarr sqrt(4-x^2)<=sqrt(16-x^2)$ ora il dubbio è se io moltiplico e divido per due non esce: $2sqrt(4-x^2)/2<=2*2sqrt(16-x^2)/2 rarr sqrt(4-x^2)<=2sqrt(16-x^2)$??? cioè mi esce la stessa cosa di prima mi sono perso in una "goccia d'acqua"...
Non ci sono frazioni, quindi non occorre eliminarle moltiplicando per 2; se dividi e moltiplichi per 2 è chiaro che torni al punto di partenza. Devi invece elevare a quadrato (lecito perchè tutto è positivo) ottenendo $4-x^2<=4(16-x^2)$
ok si trova....
poi ho una un pò più complicata: $2sqrt(2-x)=0 rarr x<=2}$ poi...
$2sqrt(2-x)
$2sqrt(2-x)<2+sqrt2(|6x-9|)$ elevo tutto al quadrato e ottengo:
$(2)^2(sqrt(2-x))^2<(2)^2+(sqrt2)^2(|6x-9|)^2$
$4(2-x)<4+2(36x^2-108x+81)$
$-4x+8<4+72x^2-216x+162$
$+72x^2-216x+166+4x-8>0$
$36x^2-106x+79>0$ $rarr$ $AA x != 53/36$ e non si trova...
poi ho una un pò più complicata: $2sqrt(2-x)
$2sqrt(2-x)
$2sqrt(2-x)<2+sqrt2(|6x-9|)$ elevo tutto al quadrato e ottengo:
$(2)^2(sqrt(2-x))^2<(2)^2+(sqrt2)^2(|6x-9|)^2$
$4(2-x)<4+2(36x^2-108x+81)$
$-4x+8<4+72x^2-216x+162$
$+72x^2-216x+166+4x-8>0$
$36x^2-106x+79>0$ $rarr$ $AA x != 53/36$ e non si trova...
Correggo i primi due passaggi
$2 sqrt(2-x)
Occorre poi distinguere fra i valori di x che rendono positivo o negativo il termine $|6x-9|$; io avrei preferito farlo come primo calcolo, ma cambia poco.
$2 sqrt(2-x)
Occorre poi distinguere fra i valori di x che rendono positivo o negativo il termine $|6x-9|$; io avrei preferito farlo come primo calcolo, ma cambia poco.
ecco con i calcoli sono arrivato a: $+72x^2+220x+156+|24x-36|>0$ ora devo distinguere i fra i valori di $x$ che rendono positivo o negativo il termine $|24x-36|$?
cioè dovrei fare: $\{(24x-36>=0),(72x^2+220x+156+24x+36>0):} uuu {(24x-36<0),(72x^2+220x+156-24x-36>0):}$?
cioè dovrei fare: $\{(24x-36>=0),(72x^2+220x+156+24x+36>0):} uuu {(24x-36<0),(72x^2+220x+156-24x-36>0):}$?
Non ho controllato i tuoi calcoli; il concetto è giusto, ma attento al segno davanti al 36 delle seconde righe. Ti ricordo che il risultato dovrà poi essere confrontato col dominio.
perchè è sbagliato il segno davanti al 36? non deve essere una volta tutto negativo e una volta tutto positivo?
"domy90":
perchè è sbagliato il segno davanti al 36? non deve essere una volta tutto negativo e una volta tutto positivo?
dubbio risolto.....
Poi avrei un dubbio particolare sul dominio di questa: $sqrt(x^2-x+4|x-1|)>x-2$ il libro dice che è $AA x in RR$ provando a sostituire qualche valore la disuguaglianza è proprio verificata da ogni valore della $x$.. Se invece ci fosse stato $<$ era impossibile? Mentre se era strettamente maggiore di zero si dovevano distinguere fra i valori di $x$ che rendono positivo o negativo l'argomento del valore assoluto? è giusto?
Le domande sono molte; rispondo con ordine.
1) La soluzione del libro è giusta, ma non può certo essere dimostrata solo "provando a sostituire": se per esempio si dovesse scartare l'intervallo fra 43 e 44, ben difficilmente lo scopriresti con questo metodo.
2) Se il primo membro è sempre maggiore del secondo, non gli è mai né minore né uguale: quindi se ci fosse stato il $<$ o il $<=$ sarebbe stato impossibile.
3) Non capisco cosa intendi con "se era strettamente maggiore di zero": di cosa stai parlando? Penso che tu sappia che la frase "strettamente maggiore" significa che c'è il $>$ e non il $>=$.
4) Qualunque sia la risposta al punto precedente, per giungere alla soluzione occorre distinguere fra i valori di $x$ che rendono positivo o negativo l'argomento del valore assoluto (o meglio, occorre in uno dei due sistemi di cui alla fine unirai i risultati). Non escludo che esista un ragionamento che permetta di evitarlo, ma proprio non saprei quale.
1) La soluzione del libro è giusta, ma non può certo essere dimostrata solo "provando a sostituire": se per esempio si dovesse scartare l'intervallo fra 43 e 44, ben difficilmente lo scopriresti con questo metodo.
2) Se il primo membro è sempre maggiore del secondo, non gli è mai né minore né uguale: quindi se ci fosse stato il $<$ o il $<=$ sarebbe stato impossibile.
3) Non capisco cosa intendi con "se era strettamente maggiore di zero": di cosa stai parlando? Penso che tu sappia che la frase "strettamente maggiore" significa che c'è il $>$ e non il $>=$.
4) Qualunque sia la risposta al punto precedente, per giungere alla soluzione occorre distinguere fra i valori di $x$ che rendono positivo o negativo l'argomento del valore assoluto (o meglio, occorre in uno dei due sistemi di cui alla fine unirai i risultati). Non escludo che esista un ragionamento che permetta di evitarlo, ma proprio non saprei quale.
cioè quello che voglio dire è:
io devo calcolare il dominio della disequazione: $sqrt(x^2-x+4|x-1|)>x-2$ e quindi devo risolvere la disequazione in valore assoluto:
-1).$x^2-x+4|x-1|>=0$ io ho pensato che era per ogni $x$ perchè sostituivo, però ho sbagliato....
e poi lasciando stare che stavo calcolando il dominio ho pensato che potevo trovarmi di fronte a:
-2).$x^2-x+4|x-1|<0$ in tal caso la disequazione sarebbe stata impossibile da risolvere...
-3).$x^2-x+4|x-1|<=0$ in questa però pensavo che la disequazione si trasformava in $x^2-x+4|x-1|=0$...
-4).$x^2-x+4|x-1|>0$ qua invece si devono distinguere fra i valori che rendono positivo o negativo il valore assoluto....(è il caso che la disequazione è strettamente maggiore di zero)
io devo calcolare il dominio della disequazione: $sqrt(x^2-x+4|x-1|)>x-2$ e quindi devo risolvere la disequazione in valore assoluto:
-1).$x^2-x+4|x-1|>=0$ io ho pensato che era per ogni $x$ perchè sostituivo, però ho sbagliato....
e poi lasciando stare che stavo calcolando il dominio ho pensato che potevo trovarmi di fronte a:
-2).$x^2-x+4|x-1|<0$ in tal caso la disequazione sarebbe stata impossibile da risolvere...
-3).$x^2-x+4|x-1|<=0$ in questa però pensavo che la disequazione si trasformava in $x^2-x+4|x-1|=0$...
-4).$x^2-x+4|x-1|>0$ qua invece si devono distinguere fra i valori che rendono positivo o negativo il valore assoluto....(è il caso che la disequazione è strettamente maggiore di zero)
Il dominio della funzione, come da te giustamente detto, è dato dalla 1), che si risolve con l'unione dei due sistemi
${(x-1>=0),(x^2-x+4(x-1)>=0):}uuu{(x-1< 0),(x^2-x-4(x-1)>=0):}$
e poichè entrambi i sistemi hanno come soluzione ciò che si ottiene dalla loro prima disequazione, il risultato finale è che il dominio è l'intero campo reale.
Suggerisco però di impostare diversamente il problema, distinguendo l'intervallo prima di 1, quello fra 1 e 2 e quello dopo 2 (metti gli uguali dove preferisci). In ognuno di essi sai il segno di $x-1$ e non hai problemi col valore assoluto. Sai inoltre il segno di $x-2$: se è negativo imponi che il radicando sia non-negativo, altrimenti elevi a quadrato la disequazione. Devi quindi fare tre sistemi, ognuno formato dalla disequazione che dice in che intervallo sei e da quella che hai ottenuto col precedente ragionamento; dopo averli risolti tutti tre (hanno tutti come soluzione il loro intervallo) unisci i tre risultati.
${(x-1>=0),(x^2-x+4(x-1)>=0):}uuu{(x-1< 0),(x^2-x-4(x-1)>=0):}$
e poichè entrambi i sistemi hanno come soluzione ciò che si ottiene dalla loro prima disequazione, il risultato finale è che il dominio è l'intero campo reale.
Suggerisco però di impostare diversamente il problema, distinguendo l'intervallo prima di 1, quello fra 1 e 2 e quello dopo 2 (metti gli uguali dove preferisci). In ognuno di essi sai il segno di $x-1$ e non hai problemi col valore assoluto. Sai inoltre il segno di $x-2$: se è negativo imponi che il radicando sia non-negativo, altrimenti elevi a quadrato la disequazione. Devi quindi fare tre sistemi, ognuno formato dalla disequazione che dice in che intervallo sei e da quella che hai ottenuto col precedente ragionamento; dopo averli risolti tutti tre (hanno tutti come soluzione il loro intervallo) unisci i tre risultati.
cioè intendi studiare il segno di: ${(x-1>0),(x-2>0):}$?
Intendo quello che ho già detto; cerco di chiarirlo con una prima parte dei calcoli. Nel primo intervallo che ho indicato, cioè per $x<1$, sono negativi sia $x-1$ che $x-2$; poichè il secondo membro è negativo, è certo minore della radice, purché questa esista, cioè purché il radicando sia non-negativo. Ottengo quindi il sistema
${(x<1),(x^2-x-4(x-1)>=0):}$
e risolvendolo ottengo $x<1$. Ragiono in modo simile (vedi quanto detto) negli altri intervalli.
${(x<1),(x^2-x-4(x-1)>=0):}$
e risolvendolo ottengo $x<1$. Ragiono in modo simile (vedi quanto detto) negli altri intervalli.
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