Varie disequazioni irrazionali

[kioccolatino90]

salve a tutti go la disequazione irrazionale semplicissima ma non capisco dove ho fatto l'errore...
la disequazione è: $sqrt(4x-1)>(-1)$ il dominio è: $x>=1/4$
faccio la razzionalizzazione e mi esce $4x-1>1$ $rarr$ $4x>2$ $rArr$ $x>1/2$ e non si trova perchè la soluzione è $x>=1/4$

[giammaria2]

Sì, mi riferivo proprio a quella; c'è il simbolo dell'unione perchè il risultato (non il calcolo) è l'unione di due intervalli. Devi poi intersecare questa soluzione con il dominio (che, ti ricordo, era $0<=x<=3 vv x>=7$) e ottieni il risultato del libro.
Se non fosse stata un'intersezione ma si fosse voluto il segno meno, il risultato sarebbe effettivamente quello che indichi.

[kioccolatino90]

e la soluzione del libro lo posso unire con l'unione oppure devo scrivere $nnn$?

[giammaria2]

Con l'unione, che significa "va bene questo o anche questo". L'intersezione significa invece "queste due cose devono avvenire contemporaneamente, cioè con la stessa x": impossibile che x stia contemporaneamente in due intervalli, ben staccati fra loro.

[kioccolatino90]

ok capito.... quindi le soluzioni sono sempre unite....
poi ho un altro esercizio, ovvero: $sqrt(x^4+2x^3+x^2)>2$ nel momento in cui vado ad elevare al quadrato ottengo: $x^4+2x^3+x^2-4>0$ andando ad applicare Ruffini ho: $(x+1)(x^3+3x^2+4x+4)>0$ ora però credo che lo devo riapplicare, oppure sbaglio?

[giammaria2]

Occhio: hai posto $r=1$, quindi il primo fattore della scomposizione è (x-1): ricorda il cambiamento di segno. A parte questo, non sbagli pensando di applicare di nuovo Ruffini. Potevi anche scomporre in fattori così
$x^4+2x^3+x^2-4=(x^2+x)^2-4= (x^2+x+2)(x^2+x-2)$

[kioccolatino90]

quando sei arrivata quà $(x^2+x)^2-4$ poi come hai fatto? hai diviso $-4$?

[giammaria2]

Guardando assieme i primi tre termini, ho notato che formavano il quadrato che ho indicato. Il tutto è poi del tipo "quadrato meno quadrato" e ho applicato la formula $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. In ogni caso non sarebbe stato lecito dividere per qualcosa: questo si può fare (con alcune limitazioni) solo nelle equazioni e nelle disequazioni, e quello che stavo scrivendo non lo era. La parola "qua" si scrive senza accento.

[kioccolatino90]

si infatti hai ragione: $(x-1)(x+2)$ è : $x^2+x-2$

[giammaria2]

"domy90":... Io però ho ho riapplicato Ruffini e poi ho svolto il prodotto tra $(x-1)(x+2)$ e mi è uscito $x^2-2x+2$ che moltiplicato al quoziente della divisione mi è uscito il prodotto di una somma per una differenza....

Si può senz'altro applicare di nuovo Ruffini, e alla fine dovresti ottenere $(x-1)(x+2)(x^2+x+2)>0$ (il risultato che indichi è sbagliato; ricontrolla i calcoli). A questo punto il metodo più semplice è imporre che ognuno dei tre fattori sia maggiore di zero e poi applicare la regola dei segni.

[kioccolatino90]

Avrei un altro dubbio su un esercizio, $x-1-sqrt(x^2+2x+5)>2 rarr -sqrt(x^2+2x+5)> -x-3 $ il dominio è $AA x$ ma il libro dice che la soluzione è $S=0$ da quello che ho capito centra il fatto che la radice è sempre positiva, però il meno davanti fa si che il primo membro è sempre negativo, mentre il secondo membro è positivo per $x<3$ quindi non può mai essere maggiore di un numero positivo, ma non si può moltiplicare il primo e il secondo membro per meno uno? ma in questo caso è inutile trovare il dominio?

[giammaria2]

Si può sempre moltiplicare per $-1$, naturalmente cambiando il verso della disequazione; inoltre si fa sempre in modo che davanti alla radice ci sia il più. Puoi ottenerlo in due modi: o con la moltiplicazione appena detta, o portando la radice a secondo membro e il resto al primo; proseguo in questo secondo modo, ma se vuoi il primo ti basta leggere i due membri al contrario (ad esempio, $x+1<2x$ letta al contrario diventa $2x>x+1$). Ottengo $x-3>sqrt(x^2+2x+5)$
Ora ragioniamo: $x-3$ è maggiore di una radice, che è maggiore o uguale a zero; quindi deve essere positivo: $x-3>0->x>3$. Ma se tutto è positivo, si può elevare a quadrato, ottenendo $x^2-6x+9>x^2+2x+5->-8x> -4->x<1/2$.
In definitiva, devono essere verificate tre condizioni: essere nel dominio (nel tuo caso succede sempre, in altri casi no) e le due disequazioni indicate: fai il grafico e vedrai che non succede in nessun intervallo.
Prova a fare qualche altro esercizio, ma che abbia (radice< qualcosa) o, leggendo al contrario, (qualcosa >radice); non col verso opposto, perchè il ragionamento cambia.

[kioccolatino90]

"giammaria":Ma se tutto è positivo, si può elevare a quadrato, ottenendo $x^2-6x+9>x^2+2x+5->-8x> -4->x<1/2$.

Ma non si deve fare l'intersezione: $\{(D),(x-3>0),(sqrt(x^2+2x+5)^2<(x-3)^2):}$
forse per me è meglio il primo caso se no rischio di sbagliare sempre....

[kioccolatino90]

ah no vabbè ho capito.....
ho fatto un altro esercizio identico in tutti e due i modi ma non mi esce, io ho:
$(3x-1-sqrt(x+1))/2>3$

$3x-1-sqrt(x+1)>6$

$-sqrt(x+1)> -3x+7$

$sqrt(x+1)<3x-7 rarr {(D),(3x-7>0),((sqrt(x+1))^2<(3x-7)^2):} rarr {(D),(x>7/3),(x+1<9x^2-42x+49):} rarr {(D),(x>7/3),(9x^2-42x+49-x-1>0):} rarr {(D),(x>7/3),(9x^2-43x+48>0):} rarr {(D),(x>7/3),(x<10/9 uuu x>3):}$ non so dov'è l'errore eppure è un esercizio così facile !!!! sbaglio qualcosa in particolare??

[giammaria2]

Perchè dici che c'è un errore? L'unico che vedo è di battitura e non modifica il risultato : $10/9$ al posto di $16/9$. Il risulato finale è $x>3$: qual'è quello del libro?

[Fabiouz94]

Anch'io ho svolto quella disequazione per esercitarmi. Ho fatto un ragionamento diverso, ma alla fine sono arrivato fino al tuo ultimo passaggio, soltanto che a me esce $x<16/9 uuu x>3$ nella disequazione del sistema.

[kioccolatino90]

il risultato del libro è $x>3$ ma io quardavo il risultato della diseqazione successiva a quella ovvero $x>5$ sono uscito pazzo fino ad ora!!!!

[Fabiouz94]

ahahah

[giammaria2]

"Fabiouz94":Anch'io ho svolto quella disequazione per esercitarmi. Ho fatto un ragionamento diverso...

Mi incuriosisci; che ragionamento diverso?

[Fabiouz94]

Ho fatto un ragionamento leggermente diverso da lui perché.. prendo il foglietto.. Sono arrivato $3x-1-sqrt(x+1)>6$, ho calcolato il campo di esistenza solo del radicale $x>=-1$, poi per facilitare i calcoli ho scritto $3x-7>sqrt(x-1)$, ho calcolato le condizioni di concordanza di segno $x>7/3$ e poi ho intersecato le condizioni ed elevato al quadrato ambo i membri. Quindi ripensandoci più che ragionamento diverso è stato un procedimento diverso, ma alla fine neanche tanto, anzi.

[giammaria2]

Grazie; concordo nel dire che hai fatto sostanzialmente la stessa cosa. Ripensandoci, mi è venuto in mente che si potrebbe usare anche il metodo grafico, ma non lo consiglierei.