Studio di funzione

[mm14]

Buongiorno, volevo chiedere se potessi eseguire uno studio di funzione qui in questo topic ed eventualmente essere corretto da qualcuno visto che non riesco a imparare matem e purtroppo non saprei a chi chiedere di insegnarmi come si deve ( i prof stessi dell'università non fanno ricevimento).
Lo studio di funzione che volevo fare è:
$f(x)=(1+|logx|)/(1-|logx|)$
ogni giorno cercherò di pubbliccare un punto dell'esercizio.

Dominio
a) $(1-|logx|)!=0$
b) $x>0$

a) $|logx|!=1$
$logx!=1$
$e^(logx)!=e^1$
$x!=e$

$-logx!=1$
$e^(-logx)!=e^1$
$x!=e$

[mm14]

Insieme di definizione risulta (e;+infinito)
Però volevo chiedere:il $|logx|$ visto che è dentro il valore assoluto, ho fatto bene a fare i due casi mettendolo prima con il segno + e poi con il -?E poi, quando ho fatto il caso con il -, è giusto fare:
$-logx!=1$
$e^(-logx)!=1$
giusto?
non mi sembra che vada fatto:
$-e^(logx)!=1$

a questo punto pensavo, essendo un logaritmo, è solo un simbolo matematico quindi forse neanche ha senso fare il caso con il segno -.....

[alfaceti]

Hai fatto bene a fare i due casi ma hai sbagliato l'ultima disequazione .
$-logx!=1$
$e^-logx !=e$
$e^log(1/x)!=e$
$1/x!=e$;$x!=1/e$

oppure
$logx!=-1$

$e^logx !=1/e$
$x!=1/e$

[mm14]

ok grazie, quindi l'insieme di definizione è (0;e^-1)V(e^-1;e)V(e;+infinito)
Ora c'è lo studio del segno:
$(1+|logx|)/(1-|logx|)>0$
$(1+|logx|)/(1-|logx|)=0$
$(1+|logx|)/(1-|logx|)<0$

la prima:
$(1+|logx|)>0$
$|logx|> -1$
$e^(logx)>e^-1$
$x>e^-1$

$(1-|logx|)>0$
saltando i passaggi:$x>e$

caso con segno (-):

$-(logx)> -1$
$e^-(logx)>e^((-1)*(-1))
$x>e$


$(-(-logx))> -1$
saltando i passaggi: $x>e^-1$

[mm14]

http://tinypic.com/view.php?pic=2dvu1op&s=7 qui c'è il grafico ma non so se è giusto

[alfaceti]

Mi dispiace mm1 ma i calcoli non vanno bene. Per quanto riguarda lo studio del segno devi considerare il fatto che il numeratore è la somma di due numeri positivi e quindi è certamente positivo. Quindi devi studiare solo il segno del denominatore.
$1-|logx|>0$
$|logx|<1$
$-1
Ora cerca di continuare tu. Risolvere una disequazione del genere significa trovare i valori di x che contemporaneamente verificano le due diseguaglianze $logx<1$ e $logx> -1$ Hai già trovato i valori di x per cui $logx =\pm 1$, quindi credo che dovrebbe essere semplice.

[mm14]

$-1 $e^-1 $e^-1
$logx>1$
$e^(logx)>e^1$
$x>e$

ascolta però, io non ho capito una cosa: mi hai detto che il numeratore non si risolve perchè è la somma di due numeri positivi per cui il risultato è sempre positivo.
Però mi hanno detto che nello studio del segno bisogna porre tutta la funzione >0 e trovare la x sia al numeratore che al denominatore come se fosse una disequazione normale...cioè per quanto riguarda l'insieme di definizione capisco bisogna risolvaere solo il denominatore se sopra non c'è niente di particolare, ma nello studio del segno a sto punto non so che devo fare, perchè mi è stato detto di porre tutta la funzione >0 e poi risolvere......T______T

[mm14]

Un attimo però.....mi correggo perchè dovevo porre $logx<1$ non $logx>1$ allora:
$e^(logx) $x

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[mm14]

http://tinypic.com/view.php?pic=rhts2w&s=7 qui c'è il nuovo grafico

[alfaceti]

Lo studio del segno va bene e anche il grafico relativo. Naturalmente ti devi limitare ai valori positivi della x.
Per quanto riguarda la tua domanda, in generale è vero che devi porre tutta la f(x)>0 ma quando qui vai a farlo e quindi di conseguenza a discutere il segno del numeratore, ti rendi conto che questo è sempre positivo, quindi tutta la frazione sarà positiva quando il denominatore è positivo. Anche ponendo $|logx| + 1 >0$ si arriva allo stesso risultato infatti $|logx| > -1$ sempre verificato, perchè un numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo. Tu invece hai tolto semplicemente il valore assoluto.

Se al numeratore ci fosse stato un numero, ad esempio $2$ come ti saresti regolato per lo studio del segno?

[mm14]

avrei scritto 2>0 e poi però nel grafico non l'avrei messo perchè non serve.....
per esempio $2/(3x-3)>0$
$2>0$
$x>1$
http://tinypic.com/view.php?pic=2uft8c6&s=7

[alfaceti]

Il grafico va bene ma se si può evitare è meglio, E' un po' scorretto porre 2>0 senza scrivere altro. Solitamente si pone solo $x>1$ e questo conclude lo studio del segno. Se avessi avuto una disequazione fatta così $2(x-1)>0$, credo che non ti saresti sognato di porre $2>0$ e poi fare un grafico con il prodotto dei segni. La situazione è più o meno la stessa.

[mm14]

Ok continuo nei pross giorni

[mm14]

Allora, il prossimo punto è trovare $(1+|logx|)/(1-|logx|)=0$ sempre per lo studio del segno.
guardo solo il denominatoren perchè il numeratore non può essere =0 dato che è una somma:

(1-|logx|)=0

$1+logx=0$
$logx=-1$
$e^(logx)=e^-1$
$x=e^-1$

caso con segno (-)
$-(logx)=-1$
$e^(-(logx))=e^(-1*(-1))$
$x=e$

avendo questi 2 risultati, li metto in grafico sulle x in modo da far notare che per quei 2 punti il grafico incrocia le x.
Domanda: qualche post fa....mi avevi detto che per lo studio del segno non serve mettere anche il numeratore(per questa funzione) dato che il numeratore è la somma di due numeri positivi.....
Volevo dire: per $1+logx$sono d'accordo che siano due numeri positivi, ma se faccio il caso con segno (-), diventerebbe $1-logx$...e quindi come si fa a dire che il risultato sia un numero positivo se ho -logx?

[Nicole931]

non fare confusione : un valore assoluto indica che il numero preso al suo interno va sempre considerato positivo, quindi se fosse negativo dovresti prendere il suo opposto ( nel tuo caso $-logx$) per farlo diventare positivo, e perciò $1-logx$ è sicuramente positivo (come del resto avevi giustamente detto all'inizio)

[mm14]

Mi sono accorto di aver cannato lo studio del segno per $f(x)=0$
rifaccio i calcoli:
$1-|logx|=0$
$1-logx=0$
$-logx=-1$
$logx=1$
$x=e$

caso con segno (-)

$1-(-logx)=0$
$1+logx=0$
$logx=-1$
$x=e^-1$

avendo questi 2 risultati, li metto in grafico sulle x in modo da far notare che per quei 2 punti il grafico incrocia le x.

[Nicole931]

non ho capito bene la differenza tra quello che hai scritto adesso e quello che avevi scritto prima (forse avevi scambiato i due casi?)
comunque sì, questi due valori vanno messi sull'asse x, perchè sono i punti in cui la curva grafico della funzione interseca l'asse.

[alfaceti]

mm1, questa funzione non interseca mai l'asse delle ascisse, perchè in numeratore non si annulla mai. I valori che annullano il denominatore sono quelli che hai escluso dal dominio.

[mm14]

prima avevo fatto un errore ....cioè se vedi il caso con il (-) non avevo fatto:$1-(-(logx))$ cioè non avevo proprio messo il segno (-) e poi avevo sbagliato anche il segno (+) alla fine è come se avessi scambiato i 2 casi.

[mm14]

ah ok, ho letto proprio ora il messaggio di alfaceti, ....quindi se non incrocia l'asse delle x, quei risultati perchè li devo mettere sulle x?cioè che servono?

[alfaceti]

A niente se vuoi trovare le intersezioni con l'asse x, ti servivano a escluderli dal dominio, ma questo lo avevi già fatto.
La curva interseca l'asse delle ordinate invece?