Studio di funzione

[mm14]

Buongiorno, volevo chiedere se potessi eseguire uno studio di funzione qui in questo topic ed eventualmente essere corretto da qualcuno visto che non riesco a imparare matem e purtroppo non saprei a chi chiedere di insegnarmi come si deve ( i prof stessi dell'università non fanno ricevimento).
Lo studio di funzione che volevo fare è:
$f(x)=(1+|logx|)/(1-|logx|)$
ogni giorno cercherò di pubbliccare un punto dell'esercizio.

Dominio
a) $(1-|logx|)!=0$
b) $x>0$

a) $|logx|!=1$
$logx!=1$
$e^(logx)!=e^1$
$x!=e$

$-logx!=1$
$e^(-logx)!=e^1$
$x!=e$

[Nicole931]

"alfaceti":mm1, questa funzione non interseca mai l'asse delle ascisse, perchè in numeratore non si annulla mai. I valori che annullano il denominatore sono quelli che hai escluso dal dominio.

Sorry, non avevo letto tutto il testo dell'esercizio!

[mm14]

Per controllare che intersechi le ordinate, devo sostituire la x con il valore 0 e uguagliarla a y.
$(1+|logx|)/(1-|logx|)=y$

$(1+|logx|)=y$
$(1+ log0)=y$
-infinito=y

cioè mi dice che il numeratore fa incrociare la funzione alle y quando è a -infinito.....praticamente non incrocia le y.

$(1-|logx|)=y$
$1- log0=y$
stessa cosa di prima:non si incrocia con le y.

caso con segno (-)
$(1-(-log0))=y$
incrocia le ordinate a +infinito:praticamente non le incrocia

[Nicole931]

è inutile fare tutti questi calcoli, in quanto dal dominio della funzione è stato escluso lo 0, e quindi è chiaro che non ci possono essere intersezioni con l'asse y

[alfaceti]

In questo caso non devi sostituire niente perchè x = 0 non appartiene al dominio della funzione, quindi già sai che il grafico non incrocia l'asse delle ordinate. Comunque in futuro ricorda che non devi sostituire x = 0 prima al numeratore e poi al denominatore e uguagliarli a y separatamente. E' sbagliato. La funzione è unica e devi sostituire x= 0 ovunque compaia la x. Altra cosa: quando vai a mettere il numero al posto della x non devi discutere più il segno di quello che compare nel valore assoluto perchè una volta messo il numero già sai se l'espressione è positiva o negativa e ti calcoli direttamente il valore assoluto di quel numero.
Tutto ciò vale in generale. In questo caso non puoi proprio andare a mettere x = 0 perchè non esiste log(0).

@Nicole, non ti preoccupare, si era capito che non avevi letto tutto!

[mm14]

Ah ok va bene, quindi se era per esempio: $(3x + 4)/(x+1)$ facevo:
$(0+4)/(0+1)=y$
$4=y$
in questo caso la funzione incrocia le ordinate nel punto 4.
POi volevo chiedere, lo studio del segno per $f(x)<0$ si esegue normalmente trovando la x come se fosse $>0$
cioè:
$(1+|logx|)/(1-|logx|)<0$
e faccio il ragionamento di prima:il numeratore è la somma di 2 numeri positivi quindi non ne tengo conto perchè non sarà mai <0, studio solo il denominatore per sapere per quali valori di x la funzione è<0:
$(1-|logx|)<0$
$-(logx)<-1$
$logx>1$
$x>e$

caso con segno (-)
$(1-|logx|)<0$
$-(-logx)<-1$
$logx<-1$
$x

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[alfaceti]

Mamma mia, no! Lo hai già fatto lo studio del segno, quando studi i valori che rendono positiva la y automaticamente sai pure quelli che la rendono negativa, hai fatto pure il grafico. Negli intervalli in cui la y non è positiva vuol dire che è negativa.

[mm14]

Ho capito ma nei temi d'esame c'è proprio la domanda esplicita di studiare quando f(x)<0.....cioè vannoproprio fatti i passaggi, se non è cosi come si fa?

[mm14]

Io ho già chiesto come fare in università e mi hanno fatto questo esempio:
mi hanno detto: prendiamo per esempio:$x^2/(1-logx)<0$ e mi hanno fatto vedere i successivi passaggi:
$1-(logx)<0$
$logx>1$
$x>e$
praticamente da li capisco che hanno posto <0 la funzione, hanno scartato il numeratore perchè è elevato alla seconda e hanno analizzato solo il denominatore, che fra l'altro è simile al denominatore della funzione che sto facendo io in questo post.
Quindi se non è cosi non so cosa devo fare

[mm14]

Nel frattempo faccio i limiti: so che la x deve tendere agli estremi dell'insieme di definizione che sono 0, e^-1,e,+infinto.
$(1+logx)/(1-logx)$
per x che tende a 0

-infinito/-infinito F.I. questo adesso non lo so fare ci devo pensare.

per x che tende a e^-1
$(1+e^-1)/(1-e^-1)$ è un pò come scrivere 1,4(circa)/0,4(circa)

per x che tende a e
è come scrivere $3/(-1) = -3$

per x che tende a +infinito
è +infinito/-infinito, ma essendo della stessa scala $logx/-(logx)$ fa -1 perchè si semplifica.

[mm14]

devo fare il caso con segno (-)
$(1-logx)/(1+logx)$
per x che tende a 0

+infinito/-infinito F.I. è la stessa di prima e ci devo pensare su.

per x che tende a e^-1
$(1-(-1))/(1+(-1))$
$2/0$
infinito

per x che tende a e
$(1-e)/(1+e)$
$(-1,71)/(3,71)=-3,71$

per x che tende a +infinito
$-(logx)/logx$
=-1

[mm14]

ho sbagliato il caso con segno (+) per
$ lim_( -> e^-1) (1+logx)/(1-logx)$
$(1+(-1))/(1-(-1))$
$-1/2$

[alfaceti]

Ora ho un po' di fretta, devo andare a lavoro. Comunque per quanto riguarda il segno, se proprio ci tieni studiare separatamente i due casi, maggiore e minore, per studiare il caso minore di zero devi porre $1-|logx|<0$ e ottieni $|logx|>1$, $logx< -1vvlogx>1$; $x>e vv 0 Per quanto riguarda i limiti e lo studio della crescenza e decrescenza ti consiglio di fare un'analisi preliminare del segno di logx così non dovrai studiare ogni volta i due casi. In pratica logx>0 quando x>1 e viceversa è negativo per 0

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[mm14]

Nel frattempo ho provato a fare il limite che tende a infinito il fatto è che poi mi blocco:
$(1+|logx|)/(1-|logx|)$
faccio riferimento al lim notevole
$ lim_(x -> <+infinito>) (1-logx)/x=1 $


$((1-logx|)/(1+logx|))^-1*x/x$
$(((1-|logx|)/x)*(x/(1+|logx|))^-1$
$1(X/(1+|logx|))^-1$
$1(x/(1+|logx|))^-1$

[mm14]

derivata:
$(1+|logx|)/(1-|logx|)$
$[(0*|logx|+1*|1/x|)*(1-|logx|)-(1+|logx|)*((0*|logx|-1*|1/x|)] /(1-|logx|)^2$

forse la derivata non verrà visualizzata correttamente(lo vedo facendo l'anteprima), praticamente ci dovrebbe essere una parentesi quadrata prima della frazione in modo da dividere tutto per il denominatore elevato alla seconda ma anche se la scrivo non viene mostrata.

[alfaceti]

Ma per quel limite sopra perchè non applichi la regola dell'Hopital?
Per fare la derivata devi distinguere i due casi, logx>0 e logx<0, devi togliere il valore assoluto.

[mm14]

Ok provo a uasare de l'hopital per il limite:
$(1+|logx|)/(1-|logx|)$
$(|1/x|)/(|1/x|)$
$(|1/x|)*(|x|)$
$=1$

va bene o è sbagliaato?

[alfaceti]

Il valore assoluto lo puoi togliere perchè quando $x rarr oo$ di sicuro $x>1$ e quindi logx>0. Dovrebbe venire -1 perchè al denominatore c'è un segno meno.
Per quanto riguarda gli altri limiti, ricordati di togliere sempre prima il valore assoluto con questa accortezza: se x<1 logx<0, se x>1 logx>0

Ti rimangono da fare solo questi due limiti e la derivata. Per quest'ultima stai attento a quello che succede per x = 1. Per questo valore la funzione è continua ma non è derivabile perchè la derivata destra non è uguale alla derivata sinistra.

[mm14]

ok ma scusa, non ho capito, devo fare i limiti per x vhe tende a 0, per x che tende a e^-1, per x che tende a e, per x che tende a +infinito giusto?
quando x tende a 0 quindi devo togliere il valore assoluto per avere logx<0, quindi faccio:
$(1+|logx|)/(1-|logx|)$



$(1-logx)/(1+logx)$ cioè è un po come fare il caso con segno (-)
$(-(1/x)/(1/x))$
$-(1/x)*x$=
$-1$

[alfaceti]

Sì, è così, avevo dimenticato lo zero. E se ci riesci fai pure il limite destro e il limite sinistro per gli altri due valori, togliendo sempre prima il valore assoluto.

[mm14]

Ok grazie, lo faro nei prossimi gg...cmq grazie e buonanotte