Progressioni e Successioni
Non sto capendo come puo' essere che:
$ 3^(15) = 14348907 $
Si tratta di una progressione!
Il tutto inizia così:
Determinare il posto occupato dal numero 100442349 nella progressione: $ 7,21,63 $
La progressione ha ragione $ q = 21/7 = 3 $ , ponendo $ a_n = 100442349 $e $ q = 3 $ e $ a_1 = 7 $ nella seguente:
$ a_n = a_1 *q^(n-1) $
Ecco l'esercizio completo:
$ 3^(15) = 14348907 $
Si tratta di una progressione!
Il tutto inizia così:
Determinare il posto occupato dal numero 100442349 nella progressione: $ 7,21,63 $
La progressione ha ragione $ q = 21/7 = 3 $ , ponendo $ a_n = 100442349 $e $ q = 3 $ e $ a_1 = 7 $ nella seguente:
$ a_n = a_1 *q^(n-1) $
Ecco l'esercizio completo:
Risposte
Ok, ma allora in quale caso avrei dovuto utilizzare $n-1$ ????
Si potrebbe fare un esempio???
Si potrebbe fare un esempio???
Non credo di capire bene la tua domanda, $n-1$ ti rappresenta il penultimo elemento di una serie.
La formula che cerchi per il tuo esercizio credo sia questa: $\sum_{k=0}^n x^k=(1-x^(n+1))/(1-x)$. A tal proposito, qui si considera anche l'elevamento alla zero, tu vedo che parti da 1.
La formula che cerchi per il tuo esercizio credo sia questa: $\sum_{k=0}^n x^k=(1-x^(n+1))/(1-x)$. A tal proposito, qui si considera anche l'elevamento alla zero, tu vedo che parti da 1.
E quindi sbaglio a partire da 1, vero???
È più che altro una questione di interpretazione, "le prime dieci potenze", bisogna cercare di capire se la prima potenza è lo zero o l'uno. Se il risultato ti viene corretto, loro consideravano di partire da 1, se invece il risultato viene 88573 allora considerano anche $3^0$.
Comunque nel caso in cui la serie non parta da 0, ma da un numero $m$ la formula è: $\sum_{k=m}^n x^k=(x^m-x^(n+1))/(1-x)$.
Comunque nel caso in cui la serie non parta da 0, ma da un numero $m$ la formula è: $\sum_{k=m}^n x^k=(x^m-x^(n+1))/(1-x)$.
Allora sono partiri da $1$, perche' il risultato e' proprio $88572$!
Con questi esercizi, sto cominciando a capire il senso di quelle formule!
Ri ringrazio del fatto che hai richiamato quella formula nel caso in cui si puo' utilizzare!
Con questi esercizi, sto cominciando a capire il senso di quelle formule!
Ri ringrazio del fatto che hai richiamato quella formula nel caso in cui si puo' utilizzare!
Completo i calcoli del 5). Per semplicità di scrittura, inizialmente faccio a parte alcuni calcoli del numeratore.
$1-(1/sqrt3)^7=1-1/sqrt(3^7)=1-1/(3^3 sqrt3)=1-1/(27 sqrt3)$
e quindi
$S_7=3*((27sqrt3-1)/(27sqrt3))/((sqrt3-1)/sqrt3)=3*(27sqrt3-1)/(27sqrt3)*sqrt3/(sqrt3-1)=(27sqrt3-1)/(9(sqrt3-1))*(sqrt3+1)/(sqrt3+1)=$
$=(81+27sqrt3-sqrt3-1)/(9(3-1))=(80+26sqrt3)/(9*2)=(40+13sqrt3)/9$
$1-(1/sqrt3)^7=1-1/sqrt(3^7)=1-1/(3^3 sqrt3)=1-1/(27 sqrt3)$
e quindi
$S_7=3*((27sqrt3-1)/(27sqrt3))/((sqrt3-1)/sqrt3)=3*(27sqrt3-1)/(27sqrt3)*sqrt3/(sqrt3-1)=(27sqrt3-1)/(9(sqrt3-1))*(sqrt3+1)/(sqrt3+1)=$
$=(81+27sqrt3-sqrt3-1)/(9(3-1))=(80+26sqrt3)/(9*2)=(40+13sqrt3)/9$
"giammaria":
Completo i calcoli del 5)......
Per fortuna che ho fatto questo esercizio, pian piano si riescono a riprendere tutti i concetti e in questo caso ho ripreso il concetto della razionalizzazione
Ti ringrazio
Esercizio 7
Non sto capendo questo esercizio guidato................
Calcolare il seguente limite:
$ lim_(n -> +oo) (3n^2 - 5n) $
Il testo fa in questo modo:
$ lim_(n -> +oo) n^2(3 - 5/n) = +oo $ (e non capisco perchè a messo $+oo $)
E scompone in questo modo:
$ lim_(n -> +oo) (3 - 5/n) = 3 $ (e non capisco perchè sia uguale a $3$)
Dicendo che:
$ lim_(n -> +oo) n^2 = +oo $ (e non capisco perchè sia uguale a $+oo$)
Help!!!!!!
P.S. Tutti gli esercizi sui limiti che ho fatto io, mi davano dei limiti da verificare che erano uguale a qualcosa, mentre qui è uguale a qualcosa, ma non capisco i passaggi che bisogna a fare e che ha fatto!
Insomma, io sono abituato a verificare un limite se mi viene chiesto ad esempio $ lim_(n -> 2) (2x + 1) = 3 $ 
Non sto capendo questo esercizio guidato................
Calcolare il seguente limite:
$ lim_(n -> +oo) (3n^2 - 5n) $
Il testo fa in questo modo:
$ lim_(n -> +oo) n^2(3 - 5/n) = +oo $ (e non capisco perchè a messo $+oo $)
E scompone in questo modo:
$ lim_(n -> +oo) (3 - 5/n) = 3 $ (e non capisco perchè sia uguale a $3$)
Dicendo che:
$ lim_(n -> +oo) n^2 = +oo $ (e non capisco perchè sia uguale a $+oo$)
Help!!!!!!
P.S. Tutti gli esercizi sui limiti che ho fatto io, mi davano dei limiti da verificare che erano uguale a qualcosa, mentre qui è uguale a qualcosa, ma non capisco i passaggi che bisogna a fare e che ha fatto!
Insomma, io sono abituato a verificare un limite se mi viene chiesto ad esempio $ lim_(n -> 2) (2x + 1) = 3 $
Qui non ti viene chiesto di verificare un limite ma di calcolarlo e per questo servono i teoremi della somma, del prodotto, eccetera. Può però capitare di avere calcoli non aritmetici, ad esempio quando uno dei due limiti è infinito. Vediamolo in pratica (scrivo $c$ ma al suo posto potrebbe anche esserci uno degli infiniti): tu sai che
$lim_(x->c)f(x)=+oo$ e che $lim_(x->c)g(x)=k$ e vuoi calcolare $lim_(x->c)[f(x)+g(x)]$
Dovresti quindi calcolare $+oo+k$ e la normale aritmetica non basta. Usiamo il buon senso: stiamo sommando un numero grandissimo e positivo con un numero non grandissimo: il risultato sarà un numero grandissimo e positivo e quindi scriviamo $=+oo$. In modo abbreviato questo ragionamento viene scritto $+oo+k=+oo$
Come questa ci sono molte altre formule e probabilmente le trovi sul tuo libro; osservale con attenzione e poi copri i risultati e cerca di trovarli tutti da solo, ma usando il ragionamento e non la memoria.
Quando lo saprai fare senza difficoltà, potremo vedere il passo successivo.
$lim_(x->c)f(x)=+oo$ e che $lim_(x->c)g(x)=k$ e vuoi calcolare $lim_(x->c)[f(x)+g(x)]$
Dovresti quindi calcolare $+oo+k$ e la normale aritmetica non basta. Usiamo il buon senso: stiamo sommando un numero grandissimo e positivo con un numero non grandissimo: il risultato sarà un numero grandissimo e positivo e quindi scriviamo $=+oo$. In modo abbreviato questo ragionamento viene scritto $+oo+k=+oo$
Come questa ci sono molte altre formule e probabilmente le trovi sul tuo libro; osservale con attenzione e poi copri i risultati e cerca di trovarli tutti da solo, ma usando il ragionamento e non la memoria.
Quando lo saprai fare senza difficoltà, potremo vedere il passo successivo.
"giammaria":
Come questa ci sono molte altre formule e probabilmente le trovi sul tuo libro; osservale con attenzione e poi copri i risultati e cerca di trovarli tutti da solo, ma usando il ragionamento e non la memoria.
Quando lo saprai fare senza difficoltà, potremo vedere il passo successivo.
L'esempio che hai fatto, se non erro, fa parte di uno dei casi che portano a forme di indecisione, risolvibili con il metodo che giustamente hai detto, solo che adesso mi viene il dubbio se invece il numero $ k<0 $ , in questo caso si ha un caso di valore negativo, e come si dovrebbe scrivere in quel caso?
Poi in merito ai teroemi, mi torna facile comprenderli se sono scritti nel modo come sono esposti sul mio testo, ecco quì:
$ lim_(n -> +oo) (a_n + b_n) = lim_(n -> +oo) (a_n) +lim_(n -> +oo) (b_n) = l_1 + l_2$
$ lim_(n -> +oo) (a_n - b_n) = lim_(n -> +oo) (a_n) -lim_(n -> +oo) (b_n)= l_1 - l_2 $
$ lim_(n -> +oo) (a_n * b_n) = lim_(n -> +oo) (a_n) *lim_(n -> +oo) (b_n)= l_1 * l_2 $
$ lim_(n -> +oo) ((a_n) / b_n) = (lim_(n -> +oo) (a_n)) /(lim_(n -> +oo) (b_n))= l_1 / l_2 $ con $ lim_(n -> +oo) (b_n)!= 0 $
Ma questi sono tutti casi con certezza e quindi penso si possano definire convergenti
Il tuo esempio l'ho compreso perfettamente, solo che non capisco sulla base di cosa se si ha $ lim_(n -> +oo) (3n^2 - 5n) $ si puoò dire che è $ +oo $
Perchè rappresenta una parabola rivolta verso l'alto E poi ancora, penso che abbia utilizzato il teorema della differenza, ok, ma come si fa a stabilire che $ lim_(n -> +oo) (3 - 5/n) =3$ (che è uguale a 3)
Se ho inteso bene la domanda: nel caso in cui si abbia un valore negativo di $k$, ti troveresti con una forma del tipo $+oo-k$, che significa sottrarre una quantità finita ad una infinita, ovviamente il valore sottratto sarà ininfluente su questa operazione che avrà come risultato sempre $+oo$.
"burm87":
Se ho inteso bene la domanda: nel caso in cui si abbia un valore negativo di $k$, ti troveresti con una forma del tipo $+oo-k$, che significa sottrarre una quantità finita ad una infinita, ovviamente il valore sottratto sarà ininfluente su questa operazione che avrà come risultato sempre $+oo$.
Si era quello il concetto
"Bad90":[/quote]
[quote="giammaria"]
Il tuo esempio l'ho compreso perfettamente, solo che non capisco sulla base di cosa se si ha $ lim_(n -> +oo) (3n^2 - 5n) $ si puoò dire che è $ +oo $
Uno dei motivi è si, che rappresenta una parabola e dal grafico si può intendere che al crescere di $n$ la parabola va verso l'infinito, ma forse essendo in termini di $n$, parlare di funzioni potrebbe non essere molto preciso (lo sarebbe se il tutto fosse in $x$).
Un altro modo per dedurre il risultato è cercare di capire che la $n^2$ va ad infinito più velocemente della $n$ che viene sottratta. Ne risulterà che per valori infinitamente grandi della $n$, il valore raggiunto dalla $n$ di primo grado sarà diventato ininfluente su quello della $n$ di secondo grado.
"burm87":
Un altro modo per dedurre il risultato è cercare di capire che la $n^2$ va ad infinito più velocemente della $n$ che viene sottratta. Ne risulterà che per valori infinitamente grandi della $n$, il valore raggiunto dalla $n$ di primo grado sarà diventato ininfluente su quello della $n$ di secondo grado.
Il tuo discorso fila e l'ho compreso perfettamente
, ma adesso espongo un altro esercizio guidato: $ lim_(n -> + oo) (2n^2 - 5n +1)/(2n^2 + 5) $
Ecco cosa fa, divide per $ n^2 $ e non capisco il perchè
: $ lim_(n -> + oo) (2n^2 - 5n +1)/(2n^2 + 5)= lim_(n -> + oo) (2n - 5/n +1/n^2)/(2 + 5/n^2) = +oo$
Ecco, come vedi conclude dicendo che è $+oo$
Che ragionamento ha fatto
Questo è un metodo che si utilizza in tutte le situazioni in qui si ha un rapporto tra polinomi, cerco di farti anche il passaggio intermedio. Lo scopo è raccogliere al numeratore e al denominatore il termine di grado massimo:
$lim_(x->+oo)(2n^2-5n+1)/(2n^2+5)$
$lim_(x->+oo)(n^2(2-5/n+1/n^2))/(n^2(2+5/n^2))$
Ora le due $n^2$ si semplificano e dentro alle parentesi tutti i termini fratti tendono a zero (in quanto al crescere di $n$ che è al denominatore la frazione tende a 0).
Al numeratore resta quindi solamente il $2$, al denominatore stessa cosa e quindi $2/2=1$ ci fa concludere che:
$lim_(x->+oo)(n^2(2-5/n+1/n^2))/(n^2(2+5/n^2))=1$
Nella tua risposta, o hai commesso un errore di battitura e al denominatore hai solo $2n+5$ oppure c'è un errore nel tuo testo.
In questa situazione il procedimento è analogo:
$lim_(x->+oo)(2n^2-5n+1)/(2n+5)$
$lim_(x->+oo)(n^2(2-5/n+1/n^2))/(n(2+5/n))$
La $n$ al denominatore si semplifica con una $n$ al numeratore, all'interno delle paretensi restaranno solo i $2$, ma questa volta al numeratore è restata una $n$, la situazione sarà questa $(+oo*2)/2=+oo$ che è appunto il risultato del tuo limite.
Questo caso è analogo, il limite fa $3$ in quanto al crescere di $n$ la frazione dentro alla paretensi tenderà a zero, quindi $3-0=3$.
$lim_(x->+oo)(2n^2-5n+1)/(2n^2+5)$
$lim_(x->+oo)(n^2(2-5/n+1/n^2))/(n^2(2+5/n^2))$
Ora le due $n^2$ si semplificano e dentro alle parentesi tutti i termini fratti tendono a zero (in quanto al crescere di $n$ che è al denominatore la frazione tende a 0).
Al numeratore resta quindi solamente il $2$, al denominatore stessa cosa e quindi $2/2=1$ ci fa concludere che:
$lim_(x->+oo)(n^2(2-5/n+1/n^2))/(n^2(2+5/n^2))=1$
Nella tua risposta, o hai commesso un errore di battitura e al denominatore hai solo $2n+5$ oppure c'è un errore nel tuo testo.
In questa situazione il procedimento è analogo:
$lim_(x->+oo)(2n^2-5n+1)/(2n+5)$
$lim_(x->+oo)(n^2(2-5/n+1/n^2))/(n(2+5/n))$
La $n$ al denominatore si semplifica con una $n$ al numeratore, all'interno delle paretensi restaranno solo i $2$, ma questa volta al numeratore è restata una $n$, la situazione sarà questa $(+oo*2)/2=+oo$ che è appunto il risultato del tuo limite.
"Bad90":
E poi ancora, penso che abbia utilizzato il teorema della differenza, ok, ma come si fa a stabilire che $ lim_(n -> +oo) (3 - 5/n) =3$ (che è uguale a 3)
Questo caso è analogo, il limite fa $3$ in quanto al crescere di $n$ la frazione dentro alla paretensi tenderà a zero, quindi $3-0=3$.
"burm87":
Nella tua risposta, o hai commesso un errore di battitura e al denominatore hai solo $2n+5$ oppure c'è un errore nel tuo testo.
Ho riportato il passaggio del testo e penso ci sia un errore nel testo, perchè ho digitato perfettamente ciò che viene scritto
In quanto al resto, sei riuscito a darmi una grande lezione in merito al mio non sapere il concetto
Tir ringrazio
Esercizio 8
Ehi Burm87, questo esercizio è analogo a quello che hai spiegato tu:
Aiutandosi anche con una rappresentazione grafica, formulare un'ipotesi sul comportamento, al crescere di n, delle seguenti successioni, di cui viene dato il termine generale. In seguito verificare la correttezza dell'ipotesi applicando la definizione di limite.
a) $ a_n = 7n $
Questo è un casso che è Divergente in quanto qualsiasi numero possibile di $ n $ , potrà sempre tendere all' $ +-oo $
Giusto
P.S. Ma in questo caso come potrei rappresentarlo graficamente
Ehi Burm87, questo esercizio è analogo a quello che hai spiegato tu:
Aiutandosi anche con una rappresentazione grafica, formulare un'ipotesi sul comportamento, al crescere di n, delle seguenti successioni, di cui viene dato il termine generale. In seguito verificare la correttezza dell'ipotesi applicando la definizione di limite.
a) $ a_n = 7n $
Questo è un casso che è Divergente in quanto qualsiasi numero possibile di $ n $ , potrà sempre tendere all' $ +-oo $
Giusto
P.S. Ma in questo caso come potrei rappresentarlo graficamente
In quel caso se $n->+oo$ allora $7n->+oo$, se invece $n->-oo$ allora $7n->-oo$.
La rappresentazione è semplicemente una retta passante per l'origine di coefficiente angolare 7.
La rappresentazione è semplicemente una retta passante per l'origine di coefficiente angolare 7.
Ma se deco indicare la somma dei numeri pari da 2 a 100, va bene se scrivo in questo modo???
$ sum_(k=1)^n 2n = sum_(k=1)^(100) 2n $
Cosa ne dite??
Se mi chiedono di sommare i numeri dispari da 19 a 101 compresi, come devo indicarli?
Io so che se devo sommare i numeri dispari, penso possa utilizzarsi la seguente formula:
$ sum_(k=1)^n (2k-1) $
Giusto?
$ sum_(k=1)^n 2n = sum_(k=1)^(100) 2n $
Cosa ne dite??
Se mi chiedono di sommare i numeri dispari da 19 a 101 compresi, come devo indicarli?
Io so che se devo sommare i numeri dispari, penso possa utilizzarsi la seguente formula:
$ sum_(k=1)^n (2k-1) $
Giusto?
Il concetto è corretto, ma fai attenzione agli indici, se i numeri pari devono essere fino a 100, una volta che hai $k=100$ otterrai $200$.
Prova a sistemare gli indici, in entrambe.
Prova a sistemare gli indici, in entrambe.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo