Progressioni e Successioni
Non sto capendo come puo' essere che:
$ 3^(15) = 14348907 $
Si tratta di una progressione!
Il tutto inizia così:
Determinare il posto occupato dal numero 100442349 nella progressione: $ 7,21,63 $
La progressione ha ragione $ q = 21/7 = 3 $ , ponendo $ a_n = 100442349 $e $ q = 3 $ e $ a_1 = 7 $ nella seguente:
$ a_n = a_1 *q^(n-1) $
Ecco l'esercizio completo:
$ 3^(15) = 14348907 $
Si tratta di una progressione!
Il tutto inizia così:
Determinare il posto occupato dal numero 100442349 nella progressione: $ 7,21,63 $
La progressione ha ragione $ q = 21/7 = 3 $ , ponendo $ a_n = 100442349 $e $ q = 3 $ e $ a_1 = 7 $ nella seguente:
$ a_n = a_1 *q^(n-1) $
Ecco l'esercizio completo:
Risposte
Su questi fatti storici non sono molto preparato... 
Però sono quasi certo che abbia qualcosa a che vedere con il fatto che $$\log\left(ab\right) = \log a + \log b$$ cioè la possibilità di trasformare prodotti in somme.
Però sono quasi certo che abbia qualcosa a che vedere con il fatto che $$\log\left(ab\right) = \log a + \log b$$ cioè la possibilità di trasformare prodotti in somme.
Non sto capendo i passaggi algebrici che portano al seguente risultato $ 2^(n+1) -1 $ :
$ S_(n+1) = (1-2^(n+1))/(1-2)= 2^(n+1) -1 $
Come e' possibile ottenere cio' che e' al secondo membro????
$ S_(n+1) = (1-2^(n+1))/(1-2)= 2^(n+1) -1 $
Come e' possibile ottenere cio' che e' al secondo membro????
Ma quell'$S_{n+1}$ cosa rappresenta?
Oppure il tuo problema è sulla seconda uguaglianza?
Oppure il tuo problema è sulla seconda uguaglianza?
So tratta del teorema della somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione diversa da 1 che e' data dalla seguente:
$S_n = a_1 (1 - q^n)/(1-q)$
$S_n = a_1 (1 - q^n)/(1-q)$
La traccia dell'esercizio guidato e':
Calcolare la somma delle prime $n+1$ potenze di base $2$ (compresa la potenza di esponente zero), cioe':
$1+ 2+ 2^2 + 2^3 + ........... + 2^n$
Non sto capendo i passaggi algebrici che portano al seguente risultato $ 2^(n+1) -1 $ :
$ S_(n+1) = (1-2^(n+1))/(1-2)= 2^(n+1) -1 $
Come e' possibile ottenere cio' che e' al secondo membro????
Calcolare la somma delle prime $n+1$ potenze di base $2$ (compresa la potenza di esponente zero), cioe':
$1+ 2+ 2^2 + 2^3 + ........... + 2^n$
Non sto capendo i passaggi algebrici che portano al seguente risultato $ 2^(n+1) -1 $ :
$ S_(n+1) = (1-2^(n+1))/(1-2)= 2^(n+1) -1 $
Come e' possibile ottenere cio' che e' al secondo membro????
Bad90 questa è roba elementare $1-2=-1$ quindi
\(\displaystyle \frac{1-2^{n+1}}{1-2}=\frac{1-2^{n+1}}{-1}=\frac{-(1-2^{n+1})}{1}=2^{n+1}-1\)
\(\displaystyle \frac{1-2^{n+1}}{1-2}=\frac{1-2^{n+1}}{-1}=\frac{-(1-2^{n+1})}{1}=2^{n+1}-1\)
"CaMpIoN":
Bad90 questa è roba elementare $1-2=-1$ quindi
\(\displaystyle \frac{1-2^{n+1}}{1-2}=\frac{1-2^{n+1}}{-1}=\frac{-(1-2^{n+1})}{1}=2^{n+1}-1\)
La stanchezza non mi ha fatto rendere conto
Esercizio 1
So che le formule sono:
$ a_n = a_1 + (n-1)d $ e $ S_n = (a_1 + a_n)/2*n $
Conoscendo $ S_(21) = -42/5 $ e $ a_1 = 3/5 $ , devo calcolare $ a_(21) $ e $ d $
Due equazioni in due incognite, se imposto il sistema si dovrebbe arrivare al corretto risultato! Mi sembra banale
So che le formule sono:
$ a_n = a_1 + (n-1)d $ e $ S_n = (a_1 + a_n)/2*n $
Conoscendo $ S_(21) = -42/5 $ e $ a_1 = 3/5 $ , devo calcolare $ a_(21) $ e $ d $
Due equazioni in due incognite, se imposto il sistema si dovrebbe arrivare al corretto risultato! Mi sembra banale
Si, certo.
"burm87":
Si, certo.
Ma si tratta di esercizi banali!
Penso che lo scopo sia far entrare in testa le formule! Lo pensi anche tu?
Se
$ S_n = (a_1 + a_n)/2*n $,
allora
$a_1+a_n= 2(S_n/n)$
e
$a_n=2(S_n/n)-a_1$.
Per cui
$a_(21)=2(S_(21))/21-a_1=2(-42/5)/21-3/5=-4/5-3/5=-7/5$.
Se poi
$ a_n = a_1 + (n-1)d $ ,
allora
$(n-1)d=a_n-a_1$
e
$d=(a_n-a_1)/(n-1)$.
Per cui
$d=(a_(21)-a_1)/(21-1)=(-7/5-3/5)/20=(-10/5)/20=-1/10$.
$ S_n = (a_1 + a_n)/2*n $,
allora
$a_1+a_n= 2(S_n/n)$
e
$a_n=2(S_n/n)-a_1$.
Per cui
$a_(21)=2(S_(21))/21-a_1=2(-42/5)/21-3/5=-4/5-3/5=-7/5$.
Se poi
$ a_n = a_1 + (n-1)d $ ,
allora
$(n-1)d=a_n-a_1$
e
$d=(a_n-a_1)/(n-1)$.
Per cui
$d=(a_(21)-a_1)/(21-1)=(-7/5-3/5)/20=(-10/5)/20=-1/10$.
"Bad90":
[quote="burm87"]Si, certo.
Ma si tratta di esercizi banali!
Penso che lo scopo sia far entrare in testa le formule! Lo pensi anche tu?
[/quote]Si mi sembrano facili, io ne farei un paio e passerei oltre.
"burm87":
Si mi sembrano facili, io ne farei un paio e passerei oltre.
Infatti, ne faccio due o tre al massimo e vado avanti
Esercizio 2
Trovare quanti termini sono compresi fra $ -2/3 $ e $ 5/6 $ nella progressione aritmedica di ragione $ d= 1/6 $
Non sto capendo quale formula utilizzare, insomma, io so che:
$ a_k - a_(k-1) = d $
E dovrebbe essere che
$ a_k - a_(k-1) = 1/6 $
Help
Correggetemi se sbaglio, ma vista in questo modo, $ a_k - a_(k-1) = d $ il numero $ a_(k-1) $ dovrebbe essere l'ultimo e quindi $ 5/6 $, e il primo è $a_k$, cioè $ -2/3 $, giusto
L'unica cosa che mi viene in mente e fare i seguenti passaggi:
$ 5/6 - (-2/3) = 1/6 $
ma non riesco a capire tanto il perchè, seguo l'istinto e non so se sto facendo bene:
$ 5/6 + 2/3 = 1/6 $
$ (5+4)/6 = 1/6 $
$ (5+4) = 1 $
$ 9 = 1 $
$ 9-1 = 0 $
$ 8= 0 $
Ma è impossibile che sia $ 8= 0 $ 
Ho l'impressione che si tratta sempre di utilizzare la seguente: $ a_n = a_1 + (n-1)d $
Si tratta di una progressione decrescente perchè $ a_k < a_(k-1) $ , ma come faccio a risolverlo
Trovare quanti termini sono compresi fra $ -2/3 $ e $ 5/6 $ nella progressione aritmedica di ragione $ d= 1/6 $
Non sto capendo quale formula utilizzare, insomma, io so che:
$ a_k - a_(k-1) = d $
E dovrebbe essere che
$ a_k - a_(k-1) = 1/6 $
Help
Correggetemi se sbaglio, ma vista in questo modo, $ a_k - a_(k-1) = d $ il numero $ a_(k-1) $ dovrebbe essere l'ultimo e quindi $ 5/6 $, e il primo è $a_k$, cioè $ -2/3 $, giusto
L'unica cosa che mi viene in mente e fare i seguenti passaggi:
$ 5/6 - (-2/3) = 1/6 $
ma non riesco a capire tanto il perchè, seguo l'istinto e non so se sto facendo bene:
$ 5/6 + 2/3 = 1/6 $
$ (5+4)/6 = 1/6 $
$ (5+4) = 1 $
$ 9 = 1 $
$ 9-1 = 0 $
$ 8= 0 $
Ma è impossibile che sia $ 8= 0 $
Ho l'impressione che si tratta sempre di utilizzare la seguente: $ a_n = a_1 + (n-1)d $
Si tratta di una progressione decrescente perchè $ a_k < a_(k-1) $ , ma come faccio a risolverlo
"Bad90":
Correggetemi se sbaglio, ma vista in questo modo, $ a_k - a_(k-1) = d $ il numero $ a_(k-1) $ dovrebbe essere l'ultimo e quindi $ 5/6 $, e il primo è $a_k$, cioè $ -2/3 $, giusto
Secondo me sbagli, l'ultimo è $a_k$, mentre $a_(k-1)$ è il penultimo.
E come dovrei fare? Non sto capendo dove sto sbagliando!
Poi come fai a dire che quello e' l'ultimo ............. e quello e' il primo............. ?????
Poi come fai a dire che quello e' l'ultimo ............. e quello e' il primo............. ?????
Ma scusa non ti basta, partendo da $5/6$ togliere sempre la ragione $1/6$ fino a quando non arrivi a $-2/3$ e contare quanti termini ci sono in mezzo?
Beh, $a_k$ è il kappesimo, mentre $a_(k-1)$ è quello subito prima di $a_k$.
"Bad90":
E come dovrei fare? Non sto capendo dove sto sbagliando!
Poi come fai a dire che quello e' l'ultimo ............. e quello e' il primo............. ?????
Beh, $a_k$ è il kappesimo, mentre $a_(k-1)$ è quello subito prima di $a_k$.
Guarda che $5/6+2/3$ non fa $1/6$ ma $9/6$......
Amici, vi impongo di darmi una martellata 
, perche' non mi rendo conto delle banalita'!
, perche' non mi rendo conto delle banalita'!
Esercizio 3
Trovare le misure (in $cm$) dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che sono in progressione aritmedica e che l'area (misurata in $ cm^2$) e' 54.
Io so che l'area di un triangolo rettangolo e' :
$A=(b*h)/2$
Quindi si potrebbe pensare che sia:
$54=(b*h)/2$
Ma solo che poi ho 2 incognite?!?!?!?
Con una sola equazione, non vado a nessuna parte!
Trovare le misure (in $cm$) dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che sono in progressione aritmedica e che l'area (misurata in $ cm^2$) e' 54.
Io so che l'area di un triangolo rettangolo e' :
$A=(b*h)/2$
Quindi si potrebbe pensare che sia:
$54=(b*h)/2$
Ma solo che poi ho 2 incognite?!?!?!?
Con una sola equazione, non vado a nessuna parte!
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