Progressioni e Successioni
Non sto capendo come puo' essere che:
$ 3^(15) = 14348907 $
Si tratta di una progressione!
Il tutto inizia così:
Determinare il posto occupato dal numero 100442349 nella progressione: $ 7,21,63 $
La progressione ha ragione $ q = 21/7 = 3 $ , ponendo $ a_n = 100442349 $e $ q = 3 $ e $ a_1 = 7 $ nella seguente:
$ a_n = a_1 *q^(n-1) $
Ecco l'esercizio completo:
$ 3^(15) = 14348907 $
Si tratta di una progressione!
Il tutto inizia così:
Determinare il posto occupato dal numero 100442349 nella progressione: $ 7,21,63 $
La progressione ha ragione $ q = 21/7 = 3 $ , ponendo $ a_n = 100442349 $e $ q = 3 $ e $ a_1 = 7 $ nella seguente:
$ a_n = a_1 *q^(n-1) $
Ecco l'esercizio completo:
Risposte
Ok, ma se quella fosse l'unica equazione da utilizzare si ridurrebbe a un problema di geometria. Ti viene detto che i lati sono in progressione aritmetica quindi di sicuro devi usare questa informazione.
Fatto?
"burm87":
Fatto?
Magari?!?!? Non sto capendo in questo caso come operare con la progressione!?!!?
Se sono in progressione di ragione $d$ e chiamando $x$ il cateto maggiore hai:
$c_1=x-d$
$c_2=x$
$i=x+d$
Ora una relazione la hai già, l'altra è pitagora. Può essere una strada?
$c_1=x-d$
$c_2=x$
$i=x+d$
Ora una relazione la hai già, l'altra è pitagora. Può essere una strada?
"burm87":
Se sono in progressione di ragione $d$ e chiamando $x$ il cateto maggiore hai:
$c_1=x-d$
$c_2=x$
$i=x+d$
Ora una relazione la hai già, l'altra è pitagora. Può essere una strada?
Ma la ragione quanto vale?
Vale percaso $d=1$ ????
Non lo so, non ho fatto i calcoli.
"burm87":
Non lo so, non ho fatto i calcoli.
Quindi clse alla formula dell'area, utilizzo $c_1$ e $c_2$, dici che e' una via risolutiva???
Insomma, quando si parla di progressione, sia ha un numero precedente, un numero (lo chiamo centrale) e uno successivo????
Una progressione è una serie di numeri no? Per questo si utilizzano gli indici per indicarne gli elementi.
La formula dell'area puoi scriverla anche così: $(c_1*c_2)/2$.
La formula dell'area puoi scriverla anche così: $(c_1*c_2)/2$.
Io non sto proprio riuscendo a risolverlo! 
Il testo mi da i seguenti risultati $[9,12,15]$
Il testo mi da i seguenti risultati $[9,12,15]$
Abbiamo detto che:
$(c_1*c_2)/2=54$
ed essendo una progressione di ragione $d$, chiamiamo il cateto maggiore $x$:
$c_1=x-d$
$c_2=x$
$i=x+d$
Impostiamo il sistema:
${((x*(x-d))/2=54),((x-d)^2+x^2=(x+d)^2):}$
${(x^2-xd=108),(x^2-4xd=0):}$
Sapendo che $x$ è la misura di un lato e quindi non può essere zero, raccogliamo e semplifichiamo una $x$ nella seconda equazione:
${(x^2-xd=108),(x-4d=0):}$
${((4d)^2-d*4d=108),(x=4d):}$
${(16d^2-4d^2=108),(x=4d):}$
${(d^2=9),(x=4d):}$
Scartiamo il valore $d=-3$ per ovvie ragioni e otteniamo:
${(d=3),(x=12):}$
Per concludere abbiamo:
$c_1=x-d=9$
$c_2=12$
$i=x+d=15$
$(c_1*c_2)/2=54$
ed essendo una progressione di ragione $d$, chiamiamo il cateto maggiore $x$:
$c_1=x-d$
$c_2=x$
$i=x+d$
Impostiamo il sistema:
${((x*(x-d))/2=54),((x-d)^2+x^2=(x+d)^2):}$
${(x^2-xd=108),(x^2-4xd=0):}$
Sapendo che $x$ è la misura di un lato e quindi non può essere zero, raccogliamo e semplifichiamo una $x$ nella seconda equazione:
${(x^2-xd=108),(x-4d=0):}$
${((4d)^2-d*4d=108),(x=4d):}$
${(16d^2-4d^2=108),(x=4d):}$
${(d^2=9),(x=4d):}$
Scartiamo il valore $d=-3$ per ovvie ragioni e otteniamo:
${(d=3),(x=12):}$
Per concludere abbiamo:
$c_1=x-d=9$
$c_2=12$
$i=x+d=15$
Porcaccia della miseria, io non riuscivo ad immaginare quella seconda equazione del sistema, riuscivo ad impostare solo la prima, ma poi quando mi dava un $ Delta= sqrt(433)$ capivo che c'era qualche problema nella mia via ..............
Non so come ringraziarti, devo dire che sei veramente preparato in Analisi!
Spero che tra qualche mese lo sia anche io!
Ti ringrazio!
Non so come ringraziarti, devo dire che sei veramente preparato in Analisi!
Spero che tra qualche mese lo sia anche io!
Ti ringrazio!
Figurati, di nulla!
Esercizio 4
Questo sono riuscito a risolverlo facilmente:
Progressioni geometriche, le formule da utilizzare sono le seguenti $ a_n = a_1 * q^(n-1) $ e $ S_n = a_1 * (1-q^n)/(1-q) $
Dati $ a_1 = 54 $ e $ a_3 = 27/2 $ , calcolare $ q $ e $ a_7 $
Ecco come ho fatto:
$ a_n = a_1 * q^(n-1) $
$ a_3 = a_1 * q^(3-1) $
$ a_3 = a_1 * q^2 $
$ q^2= (27/2 )/ 54 $
$ q^2= 1/4 = +- 1/2 $ ma ovviamente $ q = 1/2 $
Sapendo che la ragione è $ q = 1/2 $ e devo arrivare fino ad $ a_7 $ iniziando da $ a_3 $, cioè:
$ a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 $
$ 27/2, 27/4, 27/8, 27/16, 27/32 $
Questo sono riuscito a risolverlo facilmente:
Progressioni geometriche, le formule da utilizzare sono le seguenti $ a_n = a_1 * q^(n-1) $ e $ S_n = a_1 * (1-q^n)/(1-q) $
Dati $ a_1 = 54 $ e $ a_3 = 27/2 $ , calcolare $ q $ e $ a_7 $
Ecco come ho fatto:
$ a_n = a_1 * q^(n-1) $
$ a_3 = a_1 * q^(3-1) $
$ a_3 = a_1 * q^2 $
$ q^2= (27/2 )/ 54 $
$ q^2= 1/4 = +- 1/2 $ ma ovviamente $ q = 1/2 $
Sapendo che la ragione è $ q = 1/2 $ e devo arrivare fino ad $ a_7 $ iniziando da $ a_3 $, cioè:
$ a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 $
$ 27/2, 27/4, 27/8, 27/16, 27/32 $
Io senza calcolare tutti i valori intermedi avrei utilizzato la formula per calcolare direttamente quello che mi interessava. Se invece di $a_7$ ti avessero chiesto $a_107$ li avresti calcolati tutti? 
$a_7=a_1*q^(7-1)=a_1*q^6=54*(1/2)^6=54*1/64=27/32$
$a_7=a_1*q^(7-1)=a_1*q^6=54*(1/2)^6=54*1/64=27/32$
Esercizio 5
Scusate, ma quanto viene $ (1-a^7)/(1-a)$
Sinceramente sto trovando problemi in alcuni passaggi algebrici....
Se ho $ q=1/(sqrt3) $ , $ a_7 = 1/9$ e $ a_1 =3$, de vo ricavarmi $S_n $ sapendo che la formula risolutiva è:
$ S_n = a_1 *(1-q^n)/(1-q)$
Mi incasino un pò....
Allora, dovrebbe essere così:
$ S_7 = 3 *(1-(1/sqrt3)^7)/(1-(1/sqrt3))$
E poi, come devo continuare per ricavare $ S_7 $
Se non erro, per le proprietà delle potenze, si potrebbe scriverla in questo modo:
$ S_7 = 3 *(1-((sqrt3)^-1)^7)/(1-((sqrt3)^-1))$
Che potrebbe essere ancora scritta:
$ S_7 = 3 *(1-(sqrt3)^-7)/(1-(sqrt3)^-1)$
E poi come si potrebbe semplificare ulteriormente
Scusate, ma quanto viene $ (1-a^7)/(1-a)$
Sinceramente sto trovando problemi in alcuni passaggi algebrici....
Se ho $ q=1/(sqrt3) $ , $ a_7 = 1/9$ e $ a_1 =3$, de vo ricavarmi $S_n $ sapendo che la formula risolutiva è:
$ S_n = a_1 *(1-q^n)/(1-q)$
Mi incasino un pò....
Allora, dovrebbe essere così:
$ S_7 = 3 *(1-(1/sqrt3)^7)/(1-(1/sqrt3))$
E poi, come devo continuare per ricavare $ S_7 $
Se non erro, per le proprietà delle potenze, si potrebbe scriverla in questo modo:
$ S_7 = 3 *(1-((sqrt3)^-1)^7)/(1-((sqrt3)^-1))$
Che potrebbe essere ancora scritta:
$ S_7 = 3 *(1-(sqrt3)^-7)/(1-(sqrt3)^-1)$
E poi come si potrebbe semplificare ulteriormente
Non mi viene in mente nulla. Lasciala così no? Il libro da un risultato diverso?
"burm87":
Non mi viene in mente nulla. Lasciala così no? Il libro da un risultato diverso?
No, sinceramente non me lo da proprio e io come al solito, quando svolgo gli esercizi, cerco di risolvere sempre quelli su cui so di avere dei dubbi!
Comunque lo lascio così, l'importante e che le proprietà delle potenze le ricordo perfettamente
Allora sono giusti quei passaggi, cosa ne dici
Esercizio 6
Ho risolto il seguente esercizio:
Calcolare la somma delle prime 10 potenze di 3.
Si può facilmente pensare che sia la somma di:
$ 3^1 + 3^2 + 3^3 +...+3^(n-1) $
Giusto? Sto cercando di utilizzare quei $ n-1 $ ..... in modo corretto, correggetemi se sbaglio!
Ma se dovessi scrivere al posto di quella $ n $ in quella potenza un numero, cosa dovrei scrivere se devo arrivare fino alla potenza di $ 3^(10) $
E po qual'è la formula compatta che risponde al quesito?
Io ho ottenuto il risultato corretto di $ 88572 $
Ho risolto il seguente esercizio:
Calcolare la somma delle prime 10 potenze di 3.
Si può facilmente pensare che sia la somma di:
$ 3^1 + 3^2 + 3^3 +...+3^(n-1) $
Giusto? Sto cercando di utilizzare quei $ n-1 $ ..... in modo corretto, correggetemi se sbaglio!
Ma se dovessi scrivere al posto di quella $ n $ in quella potenza un numero, cosa dovrei scrivere se devo arrivare fino alla potenza di $ 3^(10) $
E po qual'è la formula compatta che risponde al quesito?
Io ho ottenuto il risultato corretto di $ 88572 $
I passaggi dell'esercizio precedente si, sono corretti.
Per quanto riguarda le potenze di 3, io come ultimo termine dopo i ... metterei $3^n$, come mai metti $3^(n-1)$?
Se vuoi puoi sintetizzare tutto con una sommatoria: $\sum_{n=1}^10 3^n$.
Per quanto riguarda le potenze di 3, io come ultimo termine dopo i ... metterei $3^n$, come mai metti $3^(n-1)$?
Se vuoi puoi sintetizzare tutto con una sommatoria: $\sum_{n=1}^10 3^n$.
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