Insiemistica e relazioni
Se $R=(a,a),(b,b),(c,c)$ è sia simmetrica che antisimmetrica dovrebbe essere una relazione di equivalenza che di ordinamento parziale insieme, no?
Due casi come questi li ho trovati sul mio testo, ed una volta dice che sono di ordinamento parziale, una altra volta che sono una di equivalenza... L'una vale l'altra?
Grazie a tutti
Due casi come questi li ho trovati sul mio testo, ed una volta dice che sono di ordinamento parziale, una altra volta che sono una di equivalenza... L'una vale l'altra?
Grazie a tutti
Risposte
No, ovviamente ... è solo un caso particolare (sul quale non vale la pena soffermarsi più di tanto ...)
Ho ancora alcune perplessità riguardo la.relazione totale (completa), che poco frequentemente salta fuori...
Siano R,S relazioni binarie:
$aRb$ = a è nato nello stesso comune di b
$aSb$ = a è più alto di b
Come dimostro che R non ne gode?
S non ne gode perché ovviamente non vale il viceversa di quella proposizione( cosa che secondo me inR vale).
Il testo giustifica che S nn è completa dicendo: esiste $c,d inA$ tali che $c,d$ non $inS$ e $d,c$ non $inS$ poiche $c$ e $d$ hanno stessa altezza (???)
------
Poi vorrei sapere se qst esercizio è giusto:($|P|$ indica la cardinalità dell'insieme delle parti)
Siano A e B due insiemi tali che$ |P(A)|=16;|P(B)|=32$; |P(A) intersezione P(B)|=8.
Secondo me è vero che |(AUB)*(AintersezB)|>|A*B| perché $2^9*2^3>4*5$ può andare?
Grazie grazie ^_^
Dimmi cosa intendi per relazione totale (non ho voglia di cercare su Internet ... 
) ... in modo più formale: dammi la definizione di "relazione totale" ...
------------------------------------------------
Cosa intendi (precisamente) con l'asterisco? Comunque mi pare di vedere un errore ... consideri $A$ e $B$ disgiunti quando non lo sono (dato che l'intersezione non è vuota) ...
) ... in modo più formale: dammi la definizione di "relazione totale" ...------------------------------------------------
Cosa intendi (precisamente) con l'asterisco? Comunque mi pare di vedere un errore ... consideri $A$ e $B$ disgiunti quando non lo sono (dato che l'intersezione non è vuota) ...
Scusa...Mi sono espressa male: la completezza è una proprietà delle.relazioni binarie :$ aRb $ e $bRa$
-----
L'asterisco indica il per (×)
In che senso? Io ho reso quei tre valori che vedi nel testo, in potenze in base 2 , ottenendo , credo, la cardinalità di ogni insieme A,B ( data dal valore dell' esponente )
-----
L'asterisco indica il per (×)
"axpgn":
consideri A e B disgiunti quando non lo sono (dato che l'intersezione non è vuota) ...
In che senso? Io ho reso quei tre valori che vedi nel testo, in potenze in base 2 , ottenendo , credo, la cardinalità di ogni insieme A,B ( data dal valore dell' esponente )
Sulla completezza non mi hai dato risposta ... mettiamola così: quando una relazione è completa?
----------------------------------------------------------------------------------------------
Mi pare che stai facendo confusione ... nella disequazione finale non capisco perché usi la cardinalità dell'insieme delle parti quando in quella disequazione non ce ne sono ... le ipotesi ti sono servite per stabilire quanti elementi hanno $A$, $B$ e la loro intersezione ... adesso nelle disequazione hai l'unione di $A$ e $B$ ... quanti elementi ha $A uu B$ ?
----------------------------------------------------------------------------------------------
Mi pare che stai facendo confusione ... nella disequazione finale non capisco perché usi la cardinalità dell'insieme delle parti quando in quella disequazione non ce ne sono ... le ipotesi ti sono servite per stabilire quanti elementi hanno $A$, $B$ e la loro intersezione ... adesso nelle disequazione hai l'unione di $A$ e $B$ ... quanti elementi ha $A uu B$ ?
"axpgn":
una relazione è completa?
In una relazione totale.tutti gli elementi si confrontano con tutti. Quindi una delle coppie (a,b) e (b,a) deve appartenere alla relazione.
Quindi se a,b non sono nati nello stesso comune nè b,a nè a,b $inR$. (Caso R)
Penso lo stesso ragionamento valga per S.
( Mi sono ispirata ad un caso simile, va bene? )
Queste c,d che utilizza il libro per fare le dimostrazioni, io non capisco che valenza abbiano. Nel senso... Per come le utilizza, sembra li consideri come se fossero degli elementi totalmente estranei al nostro caso
-------
Ho considerato l'insieme delle parti dove nn era necessario: 9×3>4×5 ok?
Ok, ho capito ...
Il primo ragionamento che hai fatto va bene ... ma nel secondo viene ovvio pensare che se $a$ non é più alto di $b$ allora $b$ è più alto di $a$ quindi relazione totale, se non fosse che esiste il caso che siano alti uguali ... ... e questo non la rende totale ...
Usa $c, d$ come elementi generici per evitare confusione con quelli delle proposizioni (come $a, b$)
-------------------------------
Hai usato a sproposito l'insieme delle parti, vero ... ma chi t'ha detto che l'unione vale $9$?
Il primo ragionamento che hai fatto va bene ... ma nel secondo viene ovvio pensare che se $a$ non é più alto di $b$ allora $b$ è più alto di $a$ quindi relazione totale, se non fosse che esiste il caso che siano alti uguali ...
... e questo non la rende totale ...Usa $c, d$ come elementi generici per evitare confusione con quelli delle proposizioni (come $a, b$)
-------------------------------
Hai usato a sproposito l'insieme delle parti, vero ... ma chi t'ha detto che l'unione vale $9$?
Cioè, io per verificare la completezza devo effettuare la negazione della relazione originaria, e verificare se di conseguenza vale il suo viceversa ?
-----------
Io nell'altro ero convinta di poter usare il teorema dei quattro cardinali anche con l'insieme delle parti ma pare che nn sia così, confermi?
Quindi in definita ( spero) : 6*3>4*5 falsaaaaa
Provo con: esistono $2^(36) $ relazioni binarie su $AUB$ poiché date da 2^6*2^6 ma penso sia falsa pure perché $AUB$ non è $|AUB|$
-----------
Io nell'altro ero convinta di poter usare il teorema dei quattro cardinali anche con l'insieme delle parti ma pare che nn sia così, confermi?
Quindi in definita ( spero) : 6*3>4*5 falsaaaaa
Provo con: esistono $2^(36) $ relazioni binarie su $AUB$ poiché date da 2^6*2^6 ma penso sia falsa pure perché $AUB$ non è $|AUB|$
"Myriam92":
Cioè, io per verificare la completezza devo effettuare la negazione della relazione originaria, e verificare se di conseguenza vale il suo viceversa ?
Non ho capito ma fa niente ... tu dimostri la veridicità di un'affermazione come meglio ti pare o la smentisci come meglio ti pare (ricordando che per smentire basta un controesempio come fatto in questi due esempi ...)
-------------------------------------------------------------------------
Non ho idea di cosa sia quel teorema ...
"Myriam92":
Quindi in definita ( spero) : 6*3>4*5 falsaaaaa
Brava.
"Myriam92":
... esistono $ 2^(36) $ relazioni binarie su $ AUB $
Sì, perché $|A uu B|=6$ quindi, posto per comodità $C=A uu B$, è $|C xx C|=36$ e dato che le relazioni binarie su $C$ sono un sottoinsieme di $C xx C$ allora saranno $2^36$
Mmm in effetti il mio " negare la relazione iniziale" penso nn sia altro che dire ad esempio (anzi a CONTROesempio) : a non è più alto di b ... No? 
---------
Lo sai lo sai il teorema! Solo che nn saprai che ha un nome! Vabbè facciamo finta ogni tanto che i ruoli si invertino
a parole : per trovare la cardinalità di AUB facciamo la cardinalità di A+B - la cardinalità dell' intersezione di A e B 
Cmq ok per la risposta. Quindi il mio $2^6 • 2^6$ pensi nn sarebbe stata una giustificazione adeguata?
----
ARb se a e b hanno stesso cognome ma nome diverso.
Ho inventato una cosa del tipo : aRb, bRc allora cRa ( se la mia ipotesi è vera penso lo sia anche la tesi )quindi è transitiva ?
---------
Lo sai lo sai il teorema! Solo che nn saprai che ha un nome! Vabbè facciamo finta ogni tanto che i ruoli si invertino
a parole : per trovare la cardinalità di AUB facciamo la cardinalità di A+B - la cardinalità dell' intersezione di A e B Cmq ok per la risposta. Quindi il mio $2^6 • 2^6$ pensi nn sarebbe stata una giustificazione adeguata?
----
ARb se a e b hanno stesso cognome ma nome diverso.
Ho inventato una cosa del tipo : aRb, bRc allora cRa ( se la mia ipotesi è vera penso lo sia anche la tesi )quindi è transitiva ?
No, il controesempio è $a=b$ cioè $a$ e $b$ sono alti uguali ...
---------------------------------
È un caso particolare del teorema di inclusione-esclusione ...
Forse non ti sei accorta che $2^6*2^6=2^12!=2^36$ ...
--------------------------------
Non è transitiva ...
---------------------------------
È un caso particolare del teorema di inclusione-esclusione ...
Forse non ti sei accorta che $2^6*2^6=2^12!=2^36$ ...
--------------------------------
Non è transitiva ...
mai na cosa dritta! Scusami se ti faccio passare anche la voglia di darmi una risposta....Stavolta il tuo teorema non lo avevo mai sentito io, che mi ricordi!
Uno dei motivi per cui nn è transitiva potrebbe essere dato dal fatto che nn è riflessiva...( Infatti ognuno ha il proprio cognome e nome)
È simmetrica ma non antisimmetrica perché a non è uguale a b... Io non credo che però ci siano relazioni con nessuna proprietà
[ot]restando parzialmente in tema in realtà...Se il tuo cognome è Pagano conosco un tuo omonimo
[/ot]
Non è transitiva perché $aRb$ significa che hanno lo stesso cognome ma nome diverso, idem per $bRc$ ma $a$ e $c$ hanno lo stesso cognome ma potrebbero avere anche lo stesso nome e quindi la coppia $(a,c)$ non appartiene alla relazione perciò non è transitiva ...
Esistono relazioni senza nessuna di queste proprietà ...
Esistono relazioni senza nessuna di queste proprietà ...
Quindi dire aRb, bRa non segue che bRb (per esempio) non sarebbe stato un modo corretto per giustificare la non transitivitá?
Beh allora se non ha nessuna delle proprieta che ho elencato, ci siamo!
Una cosa: la tua risposta non mi convince del tutto perché tra i suggerimenti c'è scritto : è ininfluente che ci siano o meno omonimie.
----------------------
Siano A,B, C insiemi.
Card.A=9 card.B=8 card.AUB=10 e C incluso in A intersezione B.
Secondo me la vera è card. C>= 4 per il teorema dei 4 cardinali , che dá 7 . Però mi sembra troppo forzata...
Beh allora se non ha nessuna delle proprieta che ho elencato, ci siamo!
Una cosa: la tua risposta non mi convince del tutto perché tra i suggerimenti c'è scritto : è ininfluente che ci siano o meno omonimie.
----------------------
Siano A,B, C insiemi.
Card.A=9 card.B=8 card.AUB=10 e C incluso in A intersezione B.
Secondo me la vera è card. C>= 4 per il teorema dei 4 cardinali , che dá 7 . Però mi sembra troppo forzata...
"Myriam92":
Quindi dire aRb, bRa non segue che bRb (per esempio) non sarebbe stato un modo corretto per giustificare la non transitivitá?
Sì, anche questa va bene, in pratica la proprietà simmetrica esclude la transitività ... (attenta che non è $bRb$ ma $aRa$ ...)
----------------------------------
Se conoscessi anche le altre magari sarebbe meglio ...
Peraltro a me pare che niente ti garantisca che $|C|>=4$, dato che l'intersezione ha cardinalità pari a $7$, la cardinalità di $C$ sarà compresa tra $1<=|C|<=7$ ... IMHO
"axpgn":
attenta che non è bRb ma aRa ...)
Non ci ho mai fatto caso!!! In pratica è sempre obbligatorio ricondursi alla forma
aRb, bRc quindi aRc
Per cui nel mio caso al max avrei dovuto scrivere solo così bRb:
ARb, bRb quindi aRb ? Ma mi pare inutile, visto che la prima e l'ultima relazione si ripetono
"axpgn":
in pratica la proprietà simmetrica esclude la transitività ...
Vale sempre qst regola ?????
-------------
Vediamo se ho capito... La cardinalità di C dovrebbe dipendere in realtà da quanti sono gli elementi comuni con A e B giusto? Per questo va da zero a sette?
Cmq la falsa dovrebbe essere A intersezione C diverso da B intersez C, ma proprio per l'insicurezza che ho riguardo l'intersezione nn saprei giustificare tale risposta...
"Myriam92":
Non ci ho mai fatto caso!!!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"Myriam92":
In pratica è sempre obbligatorio ricondursi alla forma aRb, bRc quindi aRc
Non è che è obbligatorio ... è quella la forma!
"Myriam92":
Per cui nel mio caso al max avrei dovuto scrivere solo così bRb:
ARb, bRb quindi aRb ? Ma mi pare inutile, visto che la prima e l'ultima relazione si ripetono
No, non potevi scrivere così per due motivi: perché $bRb$ non appartiene alla relazione e perché non è affatto inutile, il senso del primo e del terzo termine sono diversi: uno sta nell'ipotesi, l'altro nella tesi ...
"Myriam92":
... La cardinalità di C dovrebbe dipendere in realtà da quanti sono gli elementi comuni con A e B giusto?
Giusto
"Myriam92":
Cmq la falsa dovrebbe essere A intersezione C diverso da B intersez C, ...
Non è neanche questa ... $C$ è incluso nell'intersezione $A nn B$ quindi è incluso sia in $A$ che in $B$ ma l'intersezione tra un insieme e un suo sottoinsieme è uguale al sottoinsieme perciò entrambe le intersezioni che cerchi sono uguali a $C$ ... però se ti tieni le possibili risposte per te, la cosa non è molto efficiente ...
Buona Notte, Alex
"axpgn":
No, non potevi scrivere così per due motivi: perché bRb non appartiene alla relazione
Vabbè, però è una forma "lecita" anche se nn è affatto il mezzo per giustificare la transitivitá, no?
--------------
"axpgn":
l'intersezione tra un insieme e un suo sottoinsieme è uguale al sottoinsieme
Si ok, ma qui abbiamo due insiemi e un sottoinsieme comune
Nn mi convinco graficamente di qst tua affermazione..."axpgn":
se ti tieni le possibili risposte per te, la cosa non è molto efficiente ...
Perché vivo nella speranza che, come dici tu, il mio dubbio sia solo tra un paio di domande! Ma ciò dimostra che nn è così
Penso di essere quasi sicura della vera adesso!
$|P(C)| <=2^7$ appunto perché può andare da 2 a 2^7.
Come dimostrare che però C incluso in A\B è falsa?
Grazie di tutto.... Good night!
"Myriam92":
Vabbè, però è una forma "lecita" anche se nn è affatto il mezzo per giustificare la transitivitá, no?
Nel caso in questione $bRb$ non appartiene alla relazione quindi così non dimostri alcunché ...
"Myriam92":
Si ok, ma qui abbiamo due insiemi e un sottoinsieme comune
Vediamo se ti convinci graficamente, allora ...
"Myriam92":
$ |P(C)| <=2^7 $ appunto perché può andare da 2 a 2^7.
Ok.
"Myriam92":
Come dimostrare che però C incluso in A\B è falsa?
Dato che $C$ è un sottoinsieme di $B$ se togli tutti gli elementi di $B$ da $A$ allora togli anche quelli di $C$ perciò $C$ non può essere incluso in $A\\B$.
"axpgn":
Nel caso in questione bRb non appartiene alla relazione quindi così non dimostri alcunché
Lo so, ma era una delle combinazioni di relazioni (inutili, ma.correttamente scritta credo) che successivamente mi avrebbe fatto giungere a conclusione, quella che mi serve : aRb, bRa quindi nn segue aRa
Il tuo grafico..Dice tutto
! In effetti pare che sia l'intersezione di intersezione, ecco perché mi confondevo!Se ti dicessi invece CnB =B ? È falsa perché secondo me potrebbe succedere, ma non è detto che l'eguaglianza valga sempre.. troppo generico, e forse nemmeno è vera la mia giustificazione... Che poi forse il mio ragionamento punta sempre troppo spesso alla cardinalità... Dalla.tua ultima giustificazione dovrei dire.solo.che è falsa perché BnC=C
Cmq io la tua ultima giustificazione relativa alla asserzione falsa l'ho capita, però in generale mi sorge un dubbio apparentemente innocuo che potrebbe far saltare tutto.... Quello relativo alla cardinalità, a volte c'è a volte non c'è... spero non mi tragga in inganno..
------------
Caso simile:
A,B,C sottoinsiemi di X:
AnB incluso in X\(AUB) per caso è falso perché togliendo AuB sottraiamo anche elementi di X ?
Grazie in anticipo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo