Grafici di funzioni
Esercizio_1
In un piano di riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, rappresentare graficamente, per punti le seguenti funzioni.
$ x=2 $ ; $ y+3=0 $ ; $ 2x+5=0 $ ; $ y=-2x $
Ma il senso dell'esercizio è che devo risolvere l'equazione che mi viene data e poi rappresentarla graficamente?
Allora, $ x=2 $ cosa devo fare? Devo disegnare un punto nella coordinata $ x=2 $ e basta?
Ho compreso i seguenti concetti:
1) Dati due insiemi $ A^^B $ si chiama funzione, una legge che faccia corrispondere $ x $ di $ A $ con uno ed uno solo $ y $ di $ B $ .
2) Il grafico di una funzione di $ A $ in $ B $ è l'insieme $ G $ delle coppie $ (x,y) $ che si ottengono mettendo in relazione $ x $ con $ y=f(x) $ .
In un piano di riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, rappresentare graficamente, per punti le seguenti funzioni.
$ x=2 $ ; $ y+3=0 $ ; $ 2x+5=0 $ ; $ y=-2x $
Ma il senso dell'esercizio è che devo risolvere l'equazione che mi viene data e poi rappresentarla graficamente?
Allora, $ x=2 $ cosa devo fare? Devo disegnare un punto nella coordinata $ x=2 $ e basta?
Ho compreso i seguenti concetti:
1) Dati due insiemi $ A^^B $ si chiama funzione, una legge che faccia corrispondere $ x $ di $ A $ con uno ed uno solo $ y $ di $ B $ .
2) Il grafico di una funzione di $ A $ in $ B $ è l'insieme $ G $ delle coppie $ (x,y) $ che si ottengono mettendo in relazione $ x $ con $ y=f(x) $ .
Risposte
Per $x=2$ dovrai disegnare tutti i punti che hanno coordinata $x$ pari a 2, cioè una retta parallela all'asse $y$ e passante per $(2,0)$.
In generale per disegnare una retta puoi ragionare così: trovi due punti della retta (vedi sotto come) e, ricordando che "per 2 punti passa UNA E UNA SOLA retta", vai sul sicuro disegnando la retta (non il segmento!) che passa per essi.
Per trovare i due punti sostituisci nell'equazione due valori arbitrari ad una variabile, esempio:
$y=-2x$, valori da attribuire a $x$: $0,1$, risultati corrispondenti $0,-2$, quindi i punti sono $(0,0),(1,-2)$.
Se la retta è nella forma $x=$costante, disegna la retta corrispondente parallela all'asse $y$. Analogamente con $y=$costante, essa sarà parallela all'asse $x$.
Paola
In generale per disegnare una retta puoi ragionare così: trovi due punti della retta (vedi sotto come) e, ricordando che "per 2 punti passa UNA E UNA SOLA retta", vai sul sicuro disegnando la retta (non il segmento!) che passa per essi.
Per trovare i due punti sostituisci nell'equazione due valori arbitrari ad una variabile, esempio:
$y=-2x$, valori da attribuire a $x$: $0,1$, risultati corrispondenti $0,-2$, quindi i punti sono $(0,0),(1,-2)$.
Se la retta è nella forma $x=$costante, disegna la retta corrispondente parallela all'asse $y$. Analogamente con $y=$costante, essa sarà parallela all'asse $x$.
Paola
"prime_number":
Per trovare i due punti sostituisci nell'equazione due valori arbitrari ad una variabile, esempio:
$y=-2x$, valori da attribuire a $x$: $0,1$, risultati corrispondenti $0,-2$, quindi i punti sono $(0,0),(1,-2)$.
Paola
Vuol dire che devo dare due numeri a caso?
Perdonami, ma non sto capendo sulla base di cosa vanno attribuiti i numeri alla $ x $ partendo da $y=-2x$
Sono arbitrari.
Paola
Paola
"prime_number":
Sono arbitrari.
Paola
Infatti sono riuscito a trovare sul mio testo la pagina che dice di assegnare un valore a piacere, perche' lo scopo e verificare che la retta passi per due punti!
Esercizio_2
Quindi se ho $ y+3=0 $ devo disegnare tutti i punti sulla coordinata $ y=-3 $ e la retta sara'parallela all'asse della $ x $ ?
Giusto?
Quindi se ho $ y+3=0 $ devo disegnare tutti i punti sulla coordinata $ y=-3 $ e la retta sara'parallela all'asse della $ x $ ?
Giusto?
Esercizio_3
Se invece ho $ y=2x+1 $ scelgo due valori della $ x=0^^1 $ ed avro' due punti aventi coordinate $ A(0,1) $ e $ B(1,3) $ .
Ho fatto bene?
Grazie mille.
Se invece ho $ y=2x+1 $ scelgo due valori della $ x=0^^1 $ ed avro' due punti aventi coordinate $ A(0,1) $ e $ B(1,3) $ .
Ho fatto bene?
Grazie mille.
Esercizio_4
Rappresentare graficamente, per punti, la seguente funzione:
$ y=|x| -1 $
Chiedo a voi se sto procedendo correttamente:
Prima retta
$ { ( x>=0),( y=1-x ):} $
Seconda retta
$ { ( x<0),( y=1+x ):} $
Per $ x=0 $ avrò:
$ y'=1 $
$ y''=1 $
Per $ x=1$ avrò:
$ y'=0 $
$ y''=2 $
Segue che i punti saranno $ A(0,1);C(0,1) $ e $ B''(1,0);D''(1,2) $ , ottenendo il seguente grafico:
Secondo voi ho fatto bene?
Rappresentare graficamente, per punti, la seguente funzione:
$ y=|x| -1 $
Chiedo a voi se sto procedendo correttamente:
Prima retta
$ { ( x>=0),( y=1-x ):} $
Seconda retta
$ { ( x<0),( y=1+x ):} $
Per $ x=0 $ avrò:
$ y'=1 $
$ y''=1 $
Per $ x=1$ avrò:
$ y'=0 $
$ y''=2 $
Segue che i punti saranno $ A(0,1);C(0,1) $ e $ B''(1,0);D''(1,2) $ , ottenendo il seguente grafico:
Secondo voi ho fatto bene?
Esercizio_5
Se devo rappresentare graficamente per punti la seguente funzione in valore assoluto $ y=|3-x| $ , come devo fare?
Quello che mi è venuto in mente è di trattarla come una classica equazione in valore assoluto, ma chiedo a voi conferma di questo......
$ |3-x|=y $
La funzione in valore assoluto si studia 2 volte, prima si studia la funzione con i segni normali $>=0$ ovvero ignori il simbolo di assoluto studiando il dominio, positività, tracciando il grafico.
Dopo si studia la funzione in cui si ha il valore assoluto $ <0$ (cambiando i segni di ciò che c'è dentro il valore assoluto), studiando di nuovo la funzione tracciando un altro grafico.
Avrò così 2 grafici, es. uno positivo e uno negativo.
Ovviamente arbritariamente, scelgo due valori di $ x = 0$ e $ 1$ da sostituire nelle due equazioni ricavate:
Prima retta
$ y = 3-x $ se $ 3-x>0$ , cioe' se $ x<3$ .
Per il valore di $ x = 1$ avrò i due punti:
$ A(1,2);B(1,-2) $
Seconda retta
$ y = -(3-x) = x-3$ se $ 3-x<0$ , cioe' $ x>3$
Per il valore di $ x = 0 $ avrò i due punti:
$ A'(0,3);B'(0,-3)$
Alla fine avrò sul grafico, due rette simmetriche! Ecco l'immagine delle due rette:
Dite che ho fatto bene?
Se devo rappresentare graficamente per punti la seguente funzione in valore assoluto $ y=|3-x| $ , come devo fare?
Quello che mi è venuto in mente è di trattarla come una classica equazione in valore assoluto,
ma chiedo a voi conferma di questo...... $ |3-x|=y $
La funzione in valore assoluto si studia 2 volte, prima si studia la funzione con i segni normali $>=0$ ovvero ignori il simbolo di assoluto studiando il dominio, positività, tracciando il grafico.
Dopo si studia la funzione in cui si ha il valore assoluto $ <0$ (cambiando i segni di ciò che c'è dentro il valore assoluto), studiando di nuovo la funzione tracciando un altro grafico.
Avrò così 2 grafici, es. uno positivo e uno negativo.
Ovviamente arbritariamente, scelgo due valori di $ x = 0$ e $ 1$ da sostituire nelle due equazioni ricavate:
Prima retta
$ y = 3-x $ se $ 3-x>0$ , cioe' se $ x<3$ .
Per il valore di $ x = 1$ avrò i due punti:
$ A(1,2);B(1,-2) $
Seconda retta
$ y = -(3-x) = x-3$ se $ 3-x<0$ , cioe' $ x>3$
Per il valore di $ x = 0 $ avrò i due punti:
$ A'(0,3);B'(0,-3)$
Alla fine avrò sul grafico, due rette simmetriche! Ecco l'immagine delle due rette:
Dite che ho fatto bene?
Esercizio_6
Verificare che la retta avente la seguente equazione passa per il punto P indicato a fianco.
$ 2x-4=0 $ con punto $ P(2,-7) $
Secondo me non passa per il punto P, perche' se sostituisco nell'equazione i valori dati dal punto P, avro' che potrebbe passare per x ma non per y, quindi non passa per il punto P.
Dite che ho compreso il concetto?
Verificare che la retta avente la seguente equazione passa per il punto P indicato a fianco.
$ 2x-4=0 $ con punto $ P(2,-7) $
Secondo me non passa per il punto P, perche' se sostituisco nell'equazione i valori dati dal punto P, avro' che potrebbe passare per x ma non per y, quindi non passa per il punto P.
Dite che ho compreso il concetto?
Esercizio_8
Disegnare sul piano cartesiano le rette che hanno le seguenti equazioni e determinare, quando e' possibile, il valore del coefficiente angolare.
$ y=2x $
Risolvo l'equazione prendendo in considerazione due valori di $ x(0^^1) $ ed ottengo due punti e quindi una retta che passa per i punti $ A(0,0)^^B(1,2) $ .
Si può tranquillamente determinare anche il coefficiente angolare che e' $ m=2 $ e mi dice che avro' un angolo ottuso che oscilla da $ 0 $ gradi a $ 90 $ gradi, e fin quì tutto chiaro. Si può dunque affermare che il coefficiente angolare, si potrà determinare solo quando la retta non sarà parallela alla $ y $, e fin qui e ancora tutto chiaro!
So benissimo che se in una equazione in cui si potrà determinare il coefficiente angolare, si potrà utilizzare la seguente formula:
$ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $
E nel caso suddetto avrò $ m=2 $ e non c'è bisogno nemmeno di calcolarlo, e fin quì ancora tutto chiaro!
Ma se voglio sapere l'angolo che si forma, come devo fare?
Il testo ancora non mi ha detto questo, e io mi sono limitato a ricavarlo con l'ausilio del software, , ma come si può determinare l'angolo che si forma????
Ecco il grafico della funzione che ho ricavato:
Grazie mille.
Disegnare sul piano cartesiano le rette che hanno le seguenti equazioni e determinare, quando e' possibile, il valore del coefficiente angolare.
$ y=2x $
Risolvo l'equazione prendendo in considerazione due valori di $ x(0^^1) $ ed ottengo due punti e quindi una retta che passa per i punti $ A(0,0)^^B(1,2) $ .
Si può tranquillamente determinare anche il coefficiente angolare che e' $ m=2 $ e mi dice che avro' un angolo ottuso che oscilla da $ 0 $ gradi a $ 90 $ gradi, e fin quì tutto chiaro. Si può dunque affermare che il coefficiente angolare, si potrà determinare solo quando la retta non sarà parallela alla $ y $, e fin qui e ancora tutto chiaro!
So benissimo che se in una equazione in cui si potrà determinare il coefficiente angolare, si potrà utilizzare la seguente formula:
$ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $
E nel caso suddetto avrò $ m=2 $ e non c'è bisogno nemmeno di calcolarlo, e fin quì ancora tutto chiaro!
Ma se voglio sapere l'angolo che si forma, come devo fare?
Il testo ancora non mi ha detto questo, e io mi sono limitato a ricavarlo con l'ausilio del software,
, ma come si può determinare l'angolo che si forma???? Ecco il grafico della funzione che ho ricavato:
Grazie mille.
Esercizio_7
Rappresentare graficamente per punti la seguente funzione:
$ y=sqrt(4-x^2) $
Penso che devo imporre la $ C.E. $ che sarà $ 4-x^2>=0=>-x^2>=-4=>x^2<=4 $ verificata per $ -2<=x<=2 $
La fuzione che mi viene data è una retta passante per due punti, scegliendo arbritrariamente valori di $ x=0^^x=1 $ avrò i punti $ A(0,2);B(1,sqrt(3)) $
Ecco il grafico della retta:
Chiedo sempre a voi conferma se ho fatto bene!
Rappresentare graficamente per punti la seguente funzione:
$ y=sqrt(4-x^2) $
Penso che devo imporre la $ C.E. $ che sarà $ 4-x^2>=0=>-x^2>=-4=>x^2<=4 $ verificata per $ -2<=x<=2 $
La fuzione che mi viene data è una retta passante per due punti, scegliendo arbritrariamente valori di $ x=0^^x=1 $ avrò i punti $ A(0,2);B(1,sqrt(3)) $
Ecco il grafico della retta:
Chiedo sempre a voi conferma se ho fatto bene!
"Bad90":
Esercizio_7
Rappresentare graficamente per punti la seguente funzione:
$ y=sqrt(4-x^2) $
Penso che devo imporre la $ C.E. $ che sarà $ 4-x^2>=0=>-x^2>=-4=>x^2<=4 $ verificata per $ -2<=x<=2 $
...
Perché dici che è una retta?
Visto che la funzione è definita per $-2<=x<=2$, prova a calcolarla per $x=-2, -1, 0, 1, 2$.
Dopo esserti fatta qualche idea disegnala su GeoGebra digitando nel campo di inserimento y=sqrt(4-x^2) ....
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio_7
Rappresentare graficamente per punti la seguente funzione:
$ y=sqrt(4-x^2) $
Penso che devo imporre la $ C.E. $ che sarà $ 4-x^2>=0=>-x^2>=-4=>x^2<=4 $ verificata per $ -2<=x<=2 $
...
Perché dici che è una retta?
Visto che la funzione è definita per $-2<=x<=2$, prova a calcolarla per $x=-2, -1, 0, 1, 2$.
Dopo esserti fatta qualche idea disegnala su GeoGebra digitando nel campo di inserimento y=sqrt(4-x^2) ....[/quote]
Hai pienamente ragione, sono anche andato a rivedere la teoria e non è una retta
Del resto sto imparando ancora adesso ad utilizzare Geogebra e quindi ti ringrazio se ogni tanto mi dai qualche dritta anche sul software
. Comunque ho calcolato i vari punti dell'intervallo$-2<=x<=2=>x=-2, -1, 0, 1, 2$ ed alla fine digitando nel campo di inserimento y=sqrt(4-x^2), è venuto fuori il seguente grafico:
"Bad90":
Esercizio_2
$ y+3=0 $
....
Devi disegnare tutti i punti che hanno ordinata $y=-3$. Questi punti costituiscono la retta parallela all'asse della $x$ che passa per $(0, -3)$.
"Bad90":
Esercizio_3
...$ y=2x+1 $ scelgo due valori della $ x=0^^1 $ ed avro' due punti aventi coordinate $ A(0,1) $ e $ B(1,3) $ .
...
D'accordo.
"Bad90":
Esercizio_4
Rappresentare graficamente, per punti, la seguente funzione:
$ y=|x| -1 $
....
La funzione è equivalente a
${(x>=0), (y=x-1):} uu {(x<0), (y=-x-1):}$
Vuol dire che devi identificare
1) la funzione $y=x-1$ e disegnarne solo la parte con $x>=0$;
2) la funzione $y=-x-1$ e disegnarne solo la parte con $x<0$, sullo stesso grafico dell'altra.
Con GeoGebra devi digitare y=abs(x)-1 ...
"Bad90":
Esercizio_5
... $ y=|3-x| $
....
La funzione è equivalente a
${(3-x>=0), (y=3-x):}-> {(x<=3), (y=-x+3):}$
$uu$
${(3-x<0), (y=-(3-x)):}->{(x>3), (y=x-3):}$
Vuol dire che devi identificare
1) la funzione $y=-x+3$ e disegnarne solo la parte con $x<=3$;
2) la funzione $y=x-3$ e disegnarne solo la parte con $x>3$, sullo stesso grafico dell'altra.
Con GeoGebra devi digitare y=abs(3-x) ...
"Bad90":
Esercizio_6
Verificare che la retta avente la seguente equazione passa per il punto P indicato a fianco.
$ 2x-4=0 $ con punto $ P(2,-7) $
...
La retta passa per $P$ se le coordinate di $P$ soddisfano l'equazione della retta. Per controllarlo si devono sostituire le coordinate del punto nell'equazione della retta. Se risulta un'identità allora il punto appartiene alla retta. Altrimenti no.
Sostituendo si trova che
$2*x_P-4=2*2-4=4-4=0$.
Quindi $P$ appartiene alla retta.
Ok, ti ringrazio, adesso cerco di perfezionarmi in questi concetti chiariti.
Scusami, una domanda, in quanto adesso non posso vedere con Geogebra.....
Ma l'esercizio 5 , nel modo come ho fatto io, e'corretto?
Scusami, una domanda, in quanto adesso non posso vedere con Geogebra.....
Ma l'esercizio 5 , nel modo come ho fatto io, e'corretto?
"chiaraotta":
Esercizio_4
Rappresentare graficamente, per punti, la seguente funzione:
$ y=|x| -1 $
....
La funzione è equivalente a
${(x>=0), (y=x-1):} uu {(x<0), (y=-x-1):}$
Vuol dire che devi identificare
1) la funzione $y=x-1$ e disegnarne solo la parte con $x>=0$;
2) la funzione $y=-x-1$ e disegnarne solo la parte con $x<0$, sullo stesso grafico dell'altra.
Con GeoGebra devi digitare y=abs(x)-1 ...[/quote]
Non mi è tanto chiaro il risultato, e non so se il procedimento che faccio per eseguire l'esercizio è corretto, adesso spiegherò quello che faccio e spero di capire il corretto procedimento quanto prima
Correggimi se sbaglio.....
$ y=|x| -1 $
La funzione è equivalente a
${(x>=0), (y=x-1):} uu {(x<0), (y=-x-1):}$
Primo sistema
$ { ( x>=0 ),( y=x-1 ):} $
Adesso cosa devo fare per questo primo sistema? Posso scegliere due valori da dare alla $ x $ arbritrariamente tipo $ x=0 $ e $ x=1 $
Se questo è corretto, avrò il punto $ A $ e $ B $ del primo sistema, che saranno:
Per $ x=0$
$ { ( x>=0 ),( y=0-1 ):}=>{ ( x>=0 ),( y=-1 ):}=> A(0,-1) $
Per $ x=1$
$ { ( x>=0 ),( y=1-1 ):}=>{ ( x>=0 ),( y=0 ):}=> B(1,0) $
Ecco la prima retta:
Secondo sistema
$ { ( x<0 ),( y=-x-1 ):} $
Adesso cosa devo fare per questo secondo sistema? Posso scegliere due valori da dare alla $ x $ arbritrariamente tipo $ x=0 $ e $ x=1 $
Se questo è corretto, avrò il punto $ A' $ e $ B' $ del secondo sistema, che saranno:
Per $ x=0$
$ { ( x<0 ),( y=-0-1 ):}=>{ ( x<0 ),( y=-1 ):}=> A(0,-1) $
Per $ x=1$
$ { ( x<0 ),( y=-1-1 ):}=>{ ( x<0 ),( y=-2 ):}=> B(1,-2) $
Ecco la seconda retta insieme alla prima:
Dove sto sbagliando?
Osservando il grafico che mi hai detto di fare con Geogebra, ho pensato che i valori da attribuire alla $ x $ arbritari, in questi casi non possono essere arbritari, perchè penso che devo dare due valori che sono $ x=0 $ e $ x=-1 $, in questo caso viene il grafico che mi hai detto tu, cioè questo:
Quindi ho pensato che per il primo sistema devo utilizzare i valori da dare alla $ x $ che devono essere $ x=0 $ e $ x=1 $, mentre per il secondo sistema devo utilizzare i valori da dare alla $ x $ che devono essere $ x=0 $ e $ x=-1 $
Cosa ne dite?
Vi ringrazio!
Esercizio_4
Rappresentare graficamente, per punti, la seguente funzione:
$y=|x|−1$
Tu disegni dei segmenti che hanno per estremi i punti arbitrari che hai scelto per identificare le rette che vuoi tracciare.
Invece devi individuare com'è
1) la funzione $y=x−1$, ma disegnarne solo la parte con $x≥0$ (che è una semiretta);
2) la funzione $y=−x−1$, ma disegnarne solo la parte con $x<0$ (che è un'altra semiretta), sullo stesso grafico dell'altra.
L'unione delle due semirette è il grafico che cerchi ed è quello che ti traccia immediatamente GeoGebra
Rappresentare graficamente, per punti, la seguente funzione:
$y=|x|−1$
Tu disegni dei segmenti che hanno per estremi i punti arbitrari che hai scelto per identificare le rette che vuoi tracciare.
Invece devi individuare com'è
1) la funzione $y=x−1$, ma disegnarne solo la parte con $x≥0$ (che è una semiretta);
2) la funzione $y=−x−1$, ma disegnarne solo la parte con $x<0$ (che è un'altra semiretta), sullo stesso grafico dell'altra.
L'unione delle due semirette è il grafico che cerchi ed è quello che ti traccia immediatamente GeoGebra
"chiaraotta":
Esercizio_4
Tu disegni dei segmenti che hanno per estremi i punti arbitrari che hai scelto per identificare le rette che vuoi tracciare.
Quindi, questo non è sbagliato?
"chiaraotta":
Esercizio_4
Invece devi individuare com'è
1) la funzione $y=x−1$, ma disegnarne solo la parte con $x≥0$ (che è una semiretta);
2) la funzione $y=−x−1$, ma disegnarne solo la parte con $x<0$ (che è un'altra semiretta), sullo stesso grafico dell'altra.
Forse ho capito
Devo disegnare le rette infinite che attraversano tutto il grafico, passanti per i punti che ho ricavato e poi lasciare solo la parte che $ x>=0 $ e $ x<0 $
Forse ci sono arrivato
ecco quello che si ha: 
Asportando quello che non serve e lasciando solo $ x>=0 $ e $ x<0 $ avrò:
Ho compreso bene?
Esercizio_8
Tracciare il grafico delle seguenti funzioni:
$ f(x)={ ( 2x-1, per: x>=1/2 ),( x, per: x<1/2 ):} $
E come si risolvono questo tipo di esercizi???
Tracciare il grafico delle seguenti funzioni:
$ f(x)={ ( 2x-1, per: x>=1/2 ),( x, per: x<1/2 ):} $
E come si risolvono questo tipo di esercizi???
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