Grafici di funzioni
Esercizio_1
In un piano di riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, rappresentare graficamente, per punti le seguenti funzioni.
$ x=2 $ ; $ y+3=0 $ ; $ 2x+5=0 $ ; $ y=-2x $
Ma il senso dell'esercizio è che devo risolvere l'equazione che mi viene data e poi rappresentarla graficamente?
Allora, $ x=2 $ cosa devo fare? Devo disegnare un punto nella coordinata $ x=2 $ e basta?
Ho compreso i seguenti concetti:
1) Dati due insiemi $ A^^B $ si chiama funzione, una legge che faccia corrispondere $ x $ di $ A $ con uno ed uno solo $ y $ di $ B $ .
2) Il grafico di una funzione di $ A $ in $ B $ è l'insieme $ G $ delle coppie $ (x,y) $ che si ottengono mettendo in relazione $ x $ con $ y=f(x) $ .
In un piano di riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, rappresentare graficamente, per punti le seguenti funzioni.
$ x=2 $ ; $ y+3=0 $ ; $ 2x+5=0 $ ; $ y=-2x $
Ma il senso dell'esercizio è che devo risolvere l'equazione che mi viene data e poi rappresentarla graficamente?
Allora, $ x=2 $ cosa devo fare? Devo disegnare un punto nella coordinata $ x=2 $ e basta?
Ho compreso i seguenti concetti:
1) Dati due insiemi $ A^^B $ si chiama funzione, una legge che faccia corrispondere $ x $ di $ A $ con uno ed uno solo $ y $ di $ B $ .
2) Il grafico di una funzione di $ A $ in $ B $ è l'insieme $ G $ delle coppie $ (x,y) $ che si ottengono mettendo in relazione $ x $ con $ y=f(x) $ .
Risposte
Mi ha creato dubbi il fatto che un valore assoluto al denominatore, ti porta ad un possibile numero con il segno meno!
Ma se non erro, non vuol dire che e' un numero negativo, ma che e' un numero minore di 1. Giusto?
Ma se non erro, non vuol dire che e' un numero negativo, ma che e' un numero minore di 1. Giusto?
"Bad90":
Mi ha creato dubbi il fatto che un valore assoluto al denominatore, ti porta ad un possibile numero con il segno meno!
Ma se non erro, non vuol dire che e' un numero negativo, ma che e' un numero minore di 1. Giusto?
Scusa, ma non capisco quale sia il problema di avere a denominatore un valore assoluto ..
Mi sono confuso con il fatto che al denominatore non si deve avere un numero uguale a zero, cio per le condizoni di esistenza, $ C.E: x != 0 $ .
Spesso creo confusione quando ho il valore assoluto.
Spesso creo confusione quando ho il valore assoluto.
Ma infatti a denominatore non c'è mai $0$: l'espressione $f(x)=x/|x|$ vale per $x!=0$.
"chiaraotta":
Ma infatti a denominatore non c'è mai $0$: l'espressione $f(x)=x/|x|$ vale per $x!=0$.
Ok! Quindi ci potra' tranquillamente essere un numero con il meno, esempio $ -10 $ ecc.
Adesso vedo di fare i calcoli e creare il grafico per les Esercizio 11
La funzione è data dall'unione dei tre sistemi che seguono:
$ { ( x>0 ),( y=x/x ):}uu{ ( x<0 ),( y=x/-x ):}uu{ ( x=0 ),(y=-1):} $
Per il primo sistema
Avrò i seguenti punti $ A,B $.
$ A(1,1) $ e $ B(-1,1) $
Per il secondo sistema
Avrò i seguenti punti $ C,D $.
$ C(1,-1) $ e $ D(-1,-1) $
Per il terzo sistema
Avrò il seguente punto $ E $.
$ E(0,-1) $
Questo è il grafico delle rette senza il trim delle zone che non sono interessate:
Mentre questo è il grafico delle semirette che ci interessano, ma non osservate le lettere dei punti, osservate solo la geometria delle semirette:
Era l'ultimo della serie di questi esercizi
, dite che ho fatto tutto bene?
Grazie mille!
La funzione è data dall'unione dei tre sistemi che seguono:
$ { ( x>0 ),( y=x/x ):}uu{ ( x<0 ),( y=x/-x ):}uu{ ( x=0 ),(y=-1):} $
Per il primo sistema
Avrò i seguenti punti $ A,B $.
$ A(1,1) $ e $ B(-1,1) $
Per il secondo sistema
Avrò i seguenti punti $ C,D $.
$ C(1,-1) $ e $ D(-1,-1) $
Per il terzo sistema
Avrò il seguente punto $ E $.
$ E(0,-1) $
Questo è il grafico delle rette senza il trim delle zone che non sono interessate:
Mentre questo è il grafico delle semirette che ci interessano, ma non osservate le lettere dei punti, osservate solo la geometria delle semirette:
Era l'ultimo della serie di questi esercizi
, dite che ho fatto tutto bene? Grazie mille!
"Bad90":
Adesso vedo di fare i calcoli e creare il grafico per les Esercizio 11
La funzione è data dall'unione dei tre sistemi che seguono:
$ { ( x>0 ),( y=x/x ):}uu{ ( x<0 ),( y=x/-x ):}uu{ ( x=0 ),(y=-1):} $
.....
Ma non ti pare che sarebbe stato più chiaro scriverla come
$ { ( x>0 ),( y=1 ):}uu{ ( x<=0 ),( y=-1 ):} $
Hai ragione, non ho fatto caso. Devo prendere confidenza con i simboli e i numeri.
Comunque penso che l'esercizio si svolto correttamente!
Comunque penso che l'esercizio si svolto correttamente!
Ho un concetto che mi è poco chiaro... 
L'equazione della retta che passa per un punto è la seguente:
$ y-y_0=m(x-x_0) $
Mentre l'equazione della retta passante per due punti, è la seguente:
$ y-y_1=((y_2-y_1)/(x_2-x_1))(x-x_1) $
Con $ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $ , ed il mio libro mi ha accennato il significato del coefficiente angolare, ma non mi ha detto più di tanto:
Il coefficiente angolare, esiste quando la retta non è parallela all'asse$ y $.
Che diventa definitivamente così:
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1) $
Vista così, non è difficile impararla a memoria, io voglio capire il perchè questo $ (y_2-y_1) $ passa al denominatore, dando la formula definitiva $ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1) $.
Che penso potrà essere anche scritta $ (y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1) $
Vorrei capire il significato dell'equazione e il perchè dei passaggi che portano all'equazione finale!
Grazie mille!
L'equazione della retta che passa per un punto è la seguente:
$ y-y_0=m(x-x_0) $
Mentre l'equazione della retta passante per due punti, è la seguente:
$ y-y_1=((y_2-y_1)/(x_2-x_1))(x-x_1) $
Con $ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $ , ed il mio libro mi ha accennato il significato del coefficiente angolare, ma non mi ha detto più di tanto:
Il coefficiente angolare, esiste quando la retta non è parallela all'asse$ y $.
Che diventa definitivamente così:
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1) $
Vista così, non è difficile impararla a memoria, io voglio capire il perchè questo $ (y_2-y_1) $ passa al denominatore, dando la formula definitiva $ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1) $.
Che penso potrà essere anche scritta $ (y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1) $
Vorrei capire il significato dell'equazione e il perchè dei passaggi che portano all'equazione finale!
Grazie mille!
Il motivo dei passaggi è quello che tu stesso indichi: perché "Vista così, non è difficile impararla a memoria". La tradizione è mettere prima il membro con le $x$ ma senz'altro nulla vieta di scambiare fra loro i due membri. Spero che il tuo libro sottolinei il fatto che i due indici possono essere messi a piacimento in uno dei due membri, purché vengano messi nello stesso modo nell'altro membro; ad esempio, sarebbe anche stato giusto scrivere $(x-x_2)/(x_1-x_2)=(y-y_2)/(y_1-y_2)$ oppure $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$.
Un'altra cosa da sottolineare è che la formula non è applicabile per le rette parallele ad un asse cartesiano, quando cioè i due punti hanno la stessa $x$ o la stessa $y$.
Un'altra cosa da sottolineare è che la formula non è applicabile per le rette parallele ad un asse cartesiano, quando cioè i due punti hanno la stessa $x$ o la stessa $y$.
"giammaria":
Spero che il tuo libro sottolinei il fatto che i due indici possono essere messi a piacimento in uno dei due membri, purché vengano messi nello stesso modo nell'altro membro; ad esempio, sarebbe anche stato giusto scrivere $(x-x_2)/(x_1-x_2)=(y-y_2)/(y_1-y_2)$ oppure $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$.
No, il mio testo non mi dice questo! Forse da molte cose per scontato
Per fortuna che ho voi che mi aiutate a capire i concetti e vi ringrazio!
"giammaria":
Un'altra cosa da sottolineare è che la formula non è applicabile per le rette parallele ad un asse cartesiano, quando cioè i due punti hanno la stessa $x$ o la stessa $y$.
Questo ultimo punto viene mensionato
Ma per il coefficiente angolare, vale lo stesso?
$ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $
Se voglio calcolare da solo la $ m $, posso fare $ m=(x_2-x_1)/(y_2-y_1) $
Ho fatto qualche prova ed il risultato è sempre lo stesso, ma solo per alcuni casi, chiedo a voi conferma!
Però so che $ m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $ deriva dalla equazione in forma esplicita $ y=mx=>m=y/x=>m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1) $
Ma perchè in alcuni casi mi da sempre lo stesso risultato anche se inverto numeratore con denominatore?
Esercizio_12
Scrivere l'equazione della retta che passa per i seguenti due punti $ A^^B $
$ A(3,1/2);B(3,-sqrt(2)) $
Sto trovando qualche problemino nel risolverla, perchè il testo mi dice che il risultato è $ x-3=0 $ , ma io ho dei dubbi perchè non sto riuscendo ad ottenere il risultato che mi viene detto!
Sapendo che:
$(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$
Sarà:
$(x-3)/(3-3)=(y-1/2)/(-sqrt(2)-1/2)$
Come farò ad ottenere $ x-3=0 $, se al primo membro ho una frazione che si annulla perchè $(x-3)/(3-3)=>(x-3)/0=>0$
Scrivere l'equazione della retta che passa per i seguenti due punti $ A^^B $
$ A(3,1/2);B(3,-sqrt(2)) $
Sto trovando qualche problemino nel risolverla, perchè il testo mi dice che il risultato è $ x-3=0 $ , ma io ho dei dubbi perchè non sto riuscendo ad ottenere il risultato che mi viene detto!
Sapendo che:
$(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$
Sarà:
$(x-3)/(3-3)=(y-1/2)/(-sqrt(2)-1/2)$
Come farò ad ottenere $ x-3=0 $, se al primo membro ho una frazione che si annulla perchè $(x-3)/(3-3)=>(x-3)/0=>0$
Esercizio 13
Lo stesso dubbio con le seguenti coordinate $ A(-2,0);B(5/3,0) $ , il testo mi dice che il risultato deve essere $ y=0 $
Io ho fatto così:
$ (y-0)/(0-0)=(x+2)/(5/3+2) $
Ma $ (y-0)/(0-0)=0$ 
Cosa è che sto trascurando?
Lo stesso dubbio con le seguenti coordinate $ A(-2,0);B(5/3,0) $ , il testo mi dice che il risultato deve essere $ y=0 $
Io ho fatto così:
$ (y-0)/(0-0)=(x+2)/(5/3+2) $
Ma
$ (y-0)/(0-0)=0$ Cosa è che sto trascurando?
Il caso che ti si presenta è quello che ti ha segnalato giammaria ....
I punti $A$ e $B$ hanno la stessa ascissa ($3$) e la formula di cui sopra non si può applicare.
Allora, per scriverne l'equazione, basta che ti renda conto che la retta che cerchi è quella i cui punti hanno tutti ascissa $3$, e allora l'equazione è appunto $x=3->x-3=0$......
"giammaria":
...... $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$.
Un'altra cosa da sottolineare è che la formula non è applicabile per le rette parallele ad un asse cartesiano, quando cioè i due punti hanno la stessa $x$ o la stessa $y$.
I punti $A$ e $B$ hanno la stessa ascissa ($3$) e la formula di cui sopra non si può applicare.
Allora, per scriverne l'equazione, basta che ti renda conto che la retta che cerchi è quella i cui punti hanno tutti ascissa $3$, e allora l'equazione è appunto $x=3->x-3=0$......
"Bad90":
Esercizio 13
Lo stesso con dubbio con le seguenti coordinate $ A(-2,0);B(5/3,0) $
.....
Anche qui la formula non funziona!!
La retta $AB$ è quella i cui punti hanno tutti ordinata uguale a quella comune ad $A$ e $B$, cioè $0$.
Quindi l'equazione è $y=0$ (l'asse $x$....).
Per fortuna che risolvo tutti gli esercizi che mi da il testo, così una mia lacuna viene fuori!
A pensare che giammaria mi aveva spiegato qualche minuto prima il concetto
Sono uno sbadato!
Ma quindi si da per scontato che $ y=0 $ , ok, ma si risolve lo stesso la $ x $
Quindi il valore della $ x $ dovrebbe essere:
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=0 $
Quindi per i punti $ A(-2,0);B(5/3,0) $, sarà:
$ (x+2)/(5/3+2)=0 $
Che mi porta a
$ (x+2)/(11/3)=0 $
$ (x+2)*(3/11)=0 $
$ (3x+6)/11=0=>3x-6=>x=-2 $
E giusto così?
Insomma, in questi casi in cui il coefficiente angolare $ m $ non si può calcolare ed il perchè lo abbiamo visto, l'equazione della retta in forma esplicita, non ha senso, bene, quindi si potrà dire che è in forma esplicita rispetto alla $ x $ ?
Non serve risolvere $ (x+2)/(5/3+2)=0 $ perchè le coordinate sono già note dai punti dati, punto e basta
Vuol dire che in questi casi non bisogna fare nessuna considerazione?
Grazie mille!
A pensare che giammaria mi aveva spiegato qualche minuto prima il concetto
Sono uno sbadato!
La retta $AB$ è quella i cui punti hanno tutti ordinata uguale a quella comune ad $A$ e $B$, cioè $0$.
Quindi l'equazione è $y=0$ (l'asse $x$....).
Ma quindi si da per scontato che $ y=0 $ , ok, ma si risolve lo stesso la $ x $
Quindi il valore della $ x $ dovrebbe essere:
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=0 $
Quindi per i punti $ A(-2,0);B(5/3,0) $, sarà:
$ (x+2)/(5/3+2)=0 $
Che mi porta a
$ (x+2)/(11/3)=0 $
$ (x+2)*(3/11)=0 $
$ (3x+6)/11=0=>3x-6=>x=-2 $
E giusto così?
Insomma, in questi casi in cui il coefficiente angolare $ m $ non si può calcolare ed il perchè lo abbiamo visto, l'equazione della retta in forma esplicita, non ha senso, bene, quindi si potrà dire che è in forma esplicita rispetto alla $ x $ ?
Non serve risolvere $ (x+2)/(5/3+2)=0 $ perchè le coordinate sono già note dai punti dati, punto e basta
Vuol dire che in questi casi non bisogna fare nessuna considerazione?
Grazie mille!
Esercizio 14
Verificare che i seguenti tre punti $ A;B;C $ sono allineati.
$ A(1,3/2); B(2,0); C(-3,15/2) $
Scusate, ma in cosa consiste questo esercizio
O meglio, cosa devo calcolare?
Basta fare il grafico con Geogebra?
Ho fatto il grafico con Geogebra e risultano allineati, ecco quì:
Ma non sto capendo se si tratta solo di disegnare questi punti!??!?!?
Verificare che i seguenti tre punti $ A;B;C $ sono allineati.
$ A(1,3/2); B(2,0); C(-3,15/2) $
Scusate, ma in cosa consiste questo esercizio
O meglio, cosa devo calcolare?
Basta fare il grafico con Geogebra?
Ho fatto il grafico con Geogebra e risultano allineati, ecco quì:
Ma non sto capendo se si tratta solo di disegnare questi punti!??!?!?
"Bad90":
....
Ma quindi si da per scontato che $ y=0 $ , ok, ma si risolve lo stesso la $ x $ .....
Che mi porta a
....
$x=-2 $
E giusto così?
No!!!!!!!
Quella retta ha equazione $y=0$ e basta! Contiene una sola incognita, come tutte le rette parallele a uno degli assi.
"chiaraotta":
No!!!!!!!
Quella retta ha equazione $y=0$ e basta! Contiene una sola incognita, come tutte le rette parallele a uno degli assi.
Quindi vuol dire che l'unica incognita presente è proprio $ y=0 $
La $ x $ è nota e quindi non bisogna dire niente altro?
"Bad90":
Esercizio 14
Verificare che i seguenti tre punti $ A;B;C $ sono allineati.
.....
Ma non sto capendo se si tratta solo di disegnare questi punti!??!?!?
Il modo più semplice per verificarlo è quello di trovare l'equazione della retta che passa per due dei punti, per es $A$ e $B$, che hanno coordinate più comode.
Trovata l'equazione, verificare che le coordinate del terzo ($C$) la soddisfano, e quindi anche questo punto appartiene alla retta $AB$.
In concreto:
l'equazione di $AB$ è $3x+2y-6=0$,
sostituendo nell'equazione le coordinate di $C$ si trova che $3*(-3)+2*15/2-6=-9+15-6=0$.
Quindi anche $C$ appartiene alla retta $AB$ e perciò i tre punti sono allineati.
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