Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
Per l'esercizio 83, adesso ho compreso perfettamente, perche' la soluzione di $ (x-3)^2>0 $e' sempre vera tranne quando $ x != 3 $, effettivamente nel grafico e' rappresentata con una linea continua che attraversa tutto il grafico e dunque comprendo bene tutte e due le soluzioni ! 
Per il resto ho compreso gli errori ed oggi do una ripassatta alle disequazioni, tanto per concludere meglio gli argomenti!
Grazie mille!
Per il resto ho compreso gli errori ed oggi do una ripassatta alle disequazioni, tanto per concludere meglio gli argomenti!
Grazie mille!
Esercizio 84
$ log(x+4)^2>log(13x+10) $
Per prima cosa impongo le $ C.E. $ :
$ (x+4)^2>0 $ sempre tranne $ x != -4 $
$ 13x+10>0=>x> -10/13 $
Risolvo la disequazione:
$ log(x+4)^2>log(13x+10) =>log((x+4)^2/(13x+10))>0=>(x+4)^2/(13x+10)>1=>(x+4)^2>(13x+10) $
$x^2+8x+16-13x-10>0$
$ x^2-5x+6>0 $
Metto a sistema le condizioni di esistenza e la disequazione:
$ { ((x+4)^2>0 AA x in R ^^x!=-4),(x> -10/13),(x^2-5x+6>0):} =>{ ((x+4)^2>0 AA x in R ^^x!=-4),(x> -10/13),(x<2^^x>3):} =>x>3nn-10/13
Dite che ho sbagliato qualcosa
$ log(x+4)^2>log(13x+10) $
Per prima cosa impongo le $ C.E. $ :
$ (x+4)^2>0 $ sempre tranne $ x != -4 $
$ 13x+10>0=>x> -10/13 $
Risolvo la disequazione:
$ log(x+4)^2>log(13x+10) =>log((x+4)^2/(13x+10))>0=>(x+4)^2/(13x+10)>1=>(x+4)^2>(13x+10) $
$x^2+8x+16-13x-10>0$
$ x^2-5x+6>0 $
Metto a sistema le condizioni di esistenza e la disequazione:
$ { ((x+4)^2>0 AA x in R ^^x!=-4),(x> -10/13),(x^2-5x+6>0):} =>{ ((x+4)^2>0 AA x in R ^^x!=-4),(x> -10/13),(x<2^^x>3):} =>x>3nn-10/13
Dite che ho sbagliato qualcosa
Esercizio 85
Non sto capendo questo esercizio:
$ log((x-5)/(x+7))>0 $
Impongo le $ C.E. $ :
$ x-5>0=>x>5 $
$ x+7>0=>x> -7 $
Risolvo il logaritmo:
$ log((x-5)/(x+7))>0 =>(x-5)/(x+7)>1=> x-5>x+7=>-5>+7 =>-12>0$ nessuna soluzione
Imposto il grafico e non riesco a capire perchè il testo mi da come soluzione $ x<-7 $
In base a quanto ho dedotto io, mi trovo che è verificata per $ x<-7^^x>5 $ , per quale motivo il testo dice che la soluzione è $ x<-7 $
Non sto capendo questo esercizio:
$ log((x-5)/(x+7))>0 $
Impongo le $ C.E. $ :
$ x-5>0=>x>5 $
$ x+7>0=>x> -7 $
Risolvo il logaritmo:
$ log((x-5)/(x+7))>0 =>(x-5)/(x+7)>1=> x-5>x+7=>-5>+7 =>-12>0$ nessuna soluzione
Imposto il grafico e non riesco a capire perchè il testo mi da come soluzione $ x<-7 $
In base a quanto ho dedotto io, mi trovo che è verificata per $ x<-7^^x>5 $ , per quale motivo il testo dice che la soluzione è $ x<-7 $
84) Tutto bene, con un passaggio migliorabile: si può fare direttamente
$log(x+4)^2>log(13x+10)=>(x+4)^2>13x+10$
85) La tua soluzione sarebbe giusta se l'esercizio fosse $log(x-5)-log(x+7)>0$ perché allora i due logaritmi devono avere entrambi argomento positivo. Hai invece un unico logaritmo e quindi, mettendo assieme CE e disequazione devi fare
${((x-5)/(x+7)>0),((x-5)/(x+7)>1):}$
La prima disequazione è inutile perché conseguenza della seconda e basta risolvere quest'ultima. Attento però: non sai il segno del denominatore e quindi non puoi trascurarlo. La sua soluzione è
$(x-5)/(x+7)-1>0=>(-12)/(x+7)>0$
e poi o fai il grafico dei segni oppure, più semplicemente, noti che la frazione è positiva quando il denominatore è negativo.
$log(x+4)^2>log(13x+10)=>(x+4)^2>13x+10$
85) La tua soluzione sarebbe giusta se l'esercizio fosse $log(x-5)-log(x+7)>0$ perché allora i due logaritmi devono avere entrambi argomento positivo. Hai invece un unico logaritmo e quindi, mettendo assieme CE e disequazione devi fare
${((x-5)/(x+7)>0),((x-5)/(x+7)>1):}$
La prima disequazione è inutile perché conseguenza della seconda e basta risolvere quest'ultima. Attento però: non sai il segno del denominatore e quindi non puoi trascurarlo. La sua soluzione è
$(x-5)/(x+7)-1>0=>(-12)/(x+7)>0$
e poi o fai il grafico dei segni oppure, più semplicemente, noti che la frazione è positiva quando il denominatore è negativo.
Per l'esercizio 85 allora posso fare così:
$(x-5)/(x+7)-1>0=>(-12)/(x+7)>0=>-((12)/(x+7))>0=>((12)/(x+7))<0 $
Ovviamente $ 12<0 $ nessuna soluzione, mentre $ x<-7 $ e l'unica soluzione
Per l'esercizio 84, sono contento che sia fatto bene, in quanto ho puntato ad un linguaggio prettamente matematico, a degli step poco discorsivi ma molto precisi, insomma, voglio acquisire le stesse vostre metodologie matematiche!
Grazie mille!
$(x-5)/(x+7)-1>0=>(-12)/(x+7)>0=>-((12)/(x+7))>0=>((12)/(x+7))<0 $
Ovviamente $ 12<0 $ nessuna soluzione, mentre $ x<-7 $ e l'unica soluzione
Per l'esercizio 84, sono contento che sia fatto bene, in quanto ho puntato ad un linguaggio prettamente matematico, a degli step poco discorsivi ma molto precisi, insomma, voglio acquisire le stesse vostre metodologie matematiche!
Grazie mille!
Ma come fa ad essere $ e^x - e <0 $ uguale a $ e^x
Ultimo post
Ha solo portato $e$ a secondo membro, ottenendo $e^x
Penultimo post
Giusta la conclusione ma ti ricordo che le disequazioni del tipo $N/D<0$ si risolvono calcolando $N>0$ e $D>0$ (tu hai usato il verso contrario: in questo caso non modifica la soluzione ma in altri può farlo); si fa poi il grafico dei segni e si cercano la zone in cui c'è il meno.
Ha solo portato $e$ a secondo membro, ottenendo $e^x
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Giusta la conclusione ma ti ricordo che le disequazioni del tipo $N/D<0$ si risolvono calcolando $N>0$ e $D>0$ (tu hai usato il verso contrario: in questo caso non modifica la soluzione ma in altri può farlo); si fa poi il grafico dei segni e si cercano la zone in cui c'è il meno.
Perfetto!
Adesso ho trovato sul mio testo che $ log_5 x
Adesso ho trovato sul mio testo che $ log_5 x
C'è una formula per cambiare base ad un logaritmo:
$log_ab=(log_cb)/(log_ca)$
$log_ab=(log_cb)/(log_ca)$
"burm87":
C'è una formula per cambiare base ad un logaritmo:
$log_ab=(log_cb)/(log_ca)$
Ha utilizzato la formula del cambiamento di base
Ma in questo caso come ha fatto??
L'applicazione più banale: $log_5x=(log_(10)x)/(log_(10)5)$. Poi non so se con $log$ si intenda in base 10 o base $e$, ma poco cambia.
"burm87":
L'applicazione più banale: $log_5x=(log_(10)x)/(log_(10)5)$. Poi non so se con $log$ si intenda in base 10 o base $e$, ma poco cambia.
Ok, ma i passaggi come li ha fatti???
Insomma, a me viene detto di avere questo:
$log_5x$
Come faccio ad arrivare a quello che dici? Quali sono gli step
Ho pensato che si debba fare nel seguente modo:
$log_5x = x$ che diventa $x = 5^x$ e poi ancora $log x = log 5^x$ e poi $log x = x log 5$ per arrivare alla conclusione
che $(log x)/(log 5) = x $, giusto
Che passaggi? È solo stata applicata la formula, non c'è nessun passaggio.
"burm87":
Che passaggi? È solo stata applicata la formula, non c'è nessun passaggio.
Scusami, ma tu intendi che devo credere semplicemente che $log_5x=(log_(10)x)/(log_(10)5)$
A questo punto ipotizziamo di avere $ log_3 5 = log5/log3 $
Ma non riesco a capire come viene utilizzata la formula di cambiamento di base
Certo, è la formula del cambiamento di base che immagino sia stata dimostrata. Non devi crederci, è così.
Viene utilizzata come già ti ho fatto vedere: $log_ab=(log_cb)/(log_ca)$ dove $c$ è la nuova base.
Viene utilizzata come già ti ho fatto vedere: $log_ab=(log_cb)/(log_ca)$ dove $c$ è la nuova base.
Se mi capita di avere una situazione del genere $ x = log_2 10 $ allora riesco a giustificare il cambiamento di base, es. base 3!
Ti spiego....
So che $ x = log_2 10 => 2^x = 10 $
Bene, poi in mente mi viene di farlo diventare base 3, allora riesco tranquillamente a fare questi step:
$ 2^x = 10 $
$ log_3 2^x = log_3 10 $
$ x log_3 2 = log_3 10 $
$ x = (log_3 10)/(log_3 2) $
Ma poi so che la mia $ x $ valeva $ x = log_2 10 $ , e allora posso scrivere:
$log_2 10 = (log_3 10)/(log_3 2) $
Io riesco a capirla solo con questa logica, ma se mi dici che devo credere alla formula come l'hai esposta, non riesco a capire come arrivare a quello che giustamente dici!
Qualcuno gentilmente può aiutarmi a capire come si arriva a $ log_3 5 = log5/log3 $ Da dove si inizia per arrivare a quella conclusione
Ti spiego....
So che $ x = log_2 10 => 2^x = 10 $
Bene, poi in mente mi viene di farlo diventare base 3, allora riesco tranquillamente a fare questi step:
$ 2^x = 10 $
$ log_3 2^x = log_3 10 $
$ x log_3 2 = log_3 10 $
$ x = (log_3 10)/(log_3 2) $
Ma poi so che la mia $ x $ valeva $ x = log_2 10 $ , e allora posso scrivere:
$log_2 10 = (log_3 10)/(log_3 2) $
Io riesco a capirla solo con questa logica, ma se mi dici che devo credere alla formula come l'hai esposta, non riesco a capire come arrivare a quello che giustamente dici!
Qualcuno gentilmente può aiutarmi a capire come si arriva a $ log_3 5 = log5/log3 $
Da dove si inizia per arrivare a quella conclusione
Io ti giuro che non riesco a seguirti. L'unica cosa che posso dirti è che la formula del cambiamento di base dell'ultima riga è applicata correttamente.
"burm87":
Io ti giuro che non riesco a seguirti. L'unica cosa che posso dirti è che la formula del cambiamento di base dell'ultima riga è applicata correttamente.
Ma io ho capito che è applicata correttamente
, solo che per cambiare base, io peenso che mi devo chiedere di che base dovrà diventare, giusto?? Se tu vedi i miei passaggi che ho fatto precedentemente, vedi che sono partito da un punto, poi mi sono chiesto cosa voglio fare di quel logaritmo? E poi mi sono risposto che voglio farlo diventare di base 3 e così è stato!
Ma se vedo ciò che giustamente dici, non riesco a capire tutto ciò bisognerebbe fare tipo ciò ce ho fatto io
Si ma quello cosa centra con la formula? A volte è più comodo avere un logaritmo in una base "nota" che potrebbe essere 10 o $e$, dipende da caso a caso.
"burm87":
Si ma quello cosa centra con la formula? A volte è più comodo avere un logaritmo in una base "nota" che potrebbe essere 10 o $e$, dipende da caso a caso.
Ma il mio testo mi ha insegnato che si fa questo ragionamento per cambiare base, non so cosa dirti
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