Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[giammaria2]

78) Lo si può vedere come hai fatto tu ma io ho preferito applicare la regola "Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo purché contemporaneamente si cambi il verso": ad esempio da $-2x<8$ ricaverei subito $x> -4$. La regola che applichi tu, cioè "Si possono cambiare i segni e contemporaneamente il verso", è una conseguenza di questa.

79) Giusto, con due piccole osservazioni: al termine della prima disequazione dovevi scrivere $x>=1$; è un evidente errore di battitura e ti conviene modificare. Alla fine della seconda sarebbe stato meglio continuare notando che $sqrt(36^3)=sqrt(6^(2*3))=6^3=216$.

80) No, non ci vuole $x>0$; al suo posto metti il CE. C'era nelle disequazioni passate perché là quello era il CE.

[Bad90]

Ok, oggi finisco con questo argomento, adesso faccio gli ultimi esercizi e poi vado avanti!

[Bad90]

Esercizio 81

$ log_(1/10) (x-4)>=1 $

$ C.E.=>x-4>0=>x>4 $

$ { ( x>4 ),( x-4>=1/10 ):}=>{ ( x>4 ),( x-40-1>=0 ):}=>{ ( x>4 ),( x>=41/10 ):} $

Adesso non sto capendo dove sto sbagliando, perchè il testo mi dice che la soluzione è $ 4=41/10^^x<4 $
Ho fatto come nell'esercizio precedente, invece di mettere la condizione $ x>0 $ ho messo la $ C.E. $ ,sarà quello l'errore

Dove sto sbagliando

[Gi81]

Il problema è chela base del logaritmo è compresa tra $0$ e $1$.

[Bad90]

"Gi8":Il problema è chela base del logaritmo è compresa tra $0$ e $1$.

E' vero, adesso vedo di correggere
Ancora devo svegliarmi, adesso bevo un caffè e poi continuo!

Dunque, per l'esercizio 81:

$ log_(1/10) (x-4)>=1 $

$ C.E.=>x-4>0=>x>4 $

$ { ( x>4 ),( x-4<=1/10 ):}=>{ ( x>4 ),( x-40-1<=0 ):}=>{ ( x>4 ),( x<=41/10 ):} =>4

Cita

Segnala

[Bad90]

Esercizio 82

$ log(x^2-x-1)>0 $

Qui penso sia il caso di porre $ x>0 $ e non la $ C.E. $ nel sistema Posso fare tranquillamente così

$ { ( x>0 ),( x^2-x-1>1 ):}=>{ ( x>0 ),( x>2^^x> -1 ):} $

Penso ci sia qualche errore che ho commesso, perchè dal sistema che ho fatto, viene fuori che $ x>2^^-12^^x<-1 $

Cosa sto sbagliando

[Gi81]

Non ho capito in base a cosa dici "Qui penso sia il caso di porre $x>0$"

[Bad90]

"Gi8":Non ho capito in base a cosa dici "Qui penso sia il caso di porre $x>0$"

Intendo la condizione condizione per far si che la disequazione sia verificata e quindi il valore della $ x $ non deve essere minore di zero

[Gi81]

Al massimo, l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di $0$.

[Bad90]

"Gi8":Al massimo, l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di $0$.

Quindi dici che devo fare così

$ { ( x^2-x-1>0 ),( x^2-x-1>1 ):} $

[Gi81]

Certo. Non c'è nessun motivo per porre $x>0$. La disequazione $log(x^2-x-1)>0$ è una disequazione logaritmica, dunque l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di $0$.

[Bad90]

"Gi8":Certo. Non c'è nessun motivo per porre $x>0$. La disequazione $log(x^2-x-1)>0$ è una disequazione logaritmica, dunque l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di $0$.

Ok, ma quando faccio i calcoli dell'equazione associata:

$x^2-x-1=0$

Mi vengono fuori le seguenti $ x=(1+-sqrt(5))/2 $



Così facendo ho si le soluzioni $ x<-1^^x>2 $ ma ho anche la soluzione $ (1-sqrt(5))/2
Dove sto sbagliando

Grazie mille!

[Gi81]

Non stai sbagliando. Ora finisci l'esercizio

[Bad90]

"Gi8":Non stai sbagliando. Ora finisci l'esercizio

Ok, ma allora si tratta di cercare $ AuuB $ , vero

Ecco cosa ho fatto:

$ { ( x^2-x-1>0 ),( x^2-x-1>1 ):} => { ( x>(1+sqrt(5))/2^^x>(1-sqrt(5))/2 ),( x>2^^x> -1 ):} => AuuB=>x>2uux<-1$

Se ho fatto bene a considerare $ AuuB $ perchè allora bisogna considerare o una o l'altra soluzione

[Gi81]

Ti scrivo i passaggi corretti: devi trovare $A nn B$ (non $A uu B$ )

$ { ( x^2-x-1>0 ),( x^2-x-1>1 ):} => { ( x>(1+sqrt(5))/2 vv x<(1-sqrt(5))/2 ),( x>2 vv x< -1 ):} => Ann B $:$x>2 vvx <- 1$

[Bad90]

"Gi8":Ti scrivo i passaggi corretti: devi trovare $A nn B$ (non $A uu B$ )

$ { ( x^2-x-1>0 ),( x^2-x-1>1 ):} => { ( x>(1+sqrt(5))/2 vv x<(1-sqrt(5))/2 ),( x>2 vv x< -1 ):} => Ann B $:$x>2 vvx <- 1$

Forse non ho le idee chiare su unione o intersezione
Potresti cortesemente aiutarmi a capire dove si trova la differenza
Se non ricordo male $ AuuB $ significa o uno o l'altra soluzione
Mentre $A nn B$ significa una e l'altra

Ma cosa è che mi fa capire se devo trattare $ AuuB $ oppure $A nn B$
Ti ringrazio anticipatamente!

[Bad90]

Esercizio 83
Ho risolto la seguente disequazione logaritmica e non sto capendo bene il corretto risultato, starò trascurando qualche regola.....

$ log(6x-8-x^2)<0 $

Imposto il seguente sistema:

$ { ( 6x-8-x^2>0 ),( log(6x-8-x^2)<0 ):}=>{ ( x^2-6x+8<0 ),( 6x-8-x^2<1 ):}=>{ ( x^2-6x+8<0 ),( x^2-6x+8> -1 ):}=>{ ( x^2-6x+8<0 ),( x^2-6x+9> 0 ):}$

$ { ( x<4^^x<2 ),( (x-3)^2> 0 ):} =>{ ( x<4^^x<2 ),( x > 3 ):} $

Va bene fin quì
Se ho fatto bene i calcoli, adesso quali settori devo cercare
Cosa bisogna cercare $ AuuB $ oppure $ AnnB $

[giammaria2]

81) Oltre all'errore segnalato da Gi8 ce n'è anche un altro ed è la frase "... mentre dal grafico che ho fatto mi risulta essere positiva ...". Per l'ennesima volta ti ripeto che non ti interessa quando è positiva, bensì quando entrambe le disequazioni sono verificate: se non ci fosse l'errore precedente la soluzione sarebbe $x>=41/10$.

82) Quanto alla tua domanda su intersezione ed unione, la vera risposta è data dal buon senso. In particolare, avere un sistema significa volere che siano verificate tutte formule che hai scritto, cioè chiederne l'intersezione. Ricordi bene la differenza fra unione ed intersezione; l'unione capita abbastanza di rado.
Aggiungo che nel sistema
${(x^2-x-1>0),(x^2-x-1>1):}$
avresti potuto cancellare la prima disequazione: se è maggiore di 1, lo è anche di 0.

83) Va bene fino a tutta la prima riga in cui risolvi il sistema ma la seconda riga è sbagliata; devi ripassare le disequazioni di secondo grado.
La prima disequazione ha come soluzione $2 Per la seconda disequazione va bene fare $(x-3)^2>0$ ma il ragionamento continua con "Un quadrato è sempre positivo (e quindi la disequazione è vera) tranne quando si annulla; dobbiamo quindi escludere questo valore e la soluzione è $x!=3$". Naturalmente devi poi concludere l'esercizio; trattandosi di un sistema, devi fare $A nnB$.

[Bad90]

"giammaria":81) Oltre all'errore segnalato da Gi8 ce n'è anche un altro ed è la frase "... mentre dal grafico che ho fatto mi risulta essere positiva ...". Per l'ennesima volta ti ripeto che non ti interessa quando è positiva, bensì quando entrambe le disequazioni sono verificate: se non ci fosse l'errore precedente la soluzione sarebbe $x>=41/10$.

Ok, adesso sto ricordando che quando si ha un sistema es. di due disequazioni, ma potrebbe essere di tre o più disequazioni, si cercano sempre le zone comuni in cui sono tutte verificate, ho ricordato bene

Per quanto riguarda se non ci fosse l'errore precedente la soluzione sarebbe $x>=41/10$, perdonami ma non sto capendo a quale errore ti riferisci
Essendo la base tra $ 0^^1 $ ho utilizzato la seguente:

$ 00 ),( f(x)
Essendo discordi, cerco l'intersezione Giusto
Forse intendi che se non si trattasse di un logaritmo, allora sarebbe la soluzione $ x>=41/10 $ perchè sarebbe verificata per $ x>4 $ e contemporaneamente $ x>=41/10 $

Volevi dire questo

"giammaria":82) Quanto alla tua domanda su intersezione ed unione, la vera risposta è data dal buon senso. In particolare, avere un sistema significa volere che siano verificate tutte formule che hai scritto, cioè chiederne l'intersezione. Ricordi bene la differenza fra unione ed intersezione; l'unione capita abbastanza di rado.
Aggiungo che nel sistema
${(x^2-x-1>0),(x^2-x-1>1):}$
avresti potuto cancellare la prima disequazione: se è maggiore di 1, lo è anche di 0.

Ok, adesso ricordo benissimo cosa devo considerare in un sistema, e come al solito sono stato poco attento a vedere che ${(x^2-x-1>0),(x^2-x-1>1):}$ sarebbe bastato scrivere solo $x^2-x-1>1$

"giammaria":83) Va bene fino a tutta la prima riga in cui risolvi il sistema ma la seconda riga è sbagliata; devi ripassare le disequazioni di secondo grado.
La prima disequazione ha come soluzione $2 Per la seconda disequazione va bene fare $(x-3)^2>0$ ma il ragionamento continua con "Un quadrato è sempre positivo (e quindi la disequazione è vera) tranne quando si annulla; dobbiamo quindi escludere questo valore e la soluzione è $x!=3$". Naturalmente devi poi concludere l'esercizio; trattandosi di un sistema, devi fare $A nnB$.

Ho risolto il sistema:

$ { ( 6x-8-x^2>0 ),( log(6x-8-x^2)<0 ):}=>{ ( x^2-6x+8<0 ),( 6x-8-x^2<1 ):}=>{ ( x^2-6x+8<0 ),( x^2-6x+8> -1 ):}=>{ ( x^2-6x+8<0 ),( x^2-6x+9> 0 ):}$

$ { ( x<4^^x<2 ),( (x-3)^2> 0 ):} =>{ ( 2 3 ^^x!=3):} $

Adesso comprendo perfettamente la soluzione $ 3
Non sto capendo invece la seconda soluzione $ 23 $ Non sto capendo questo!

[giammaria2]

81) Tu hai scritto il sistema ${(x>4),(x>=41/10):}$ e la sua soluzione è, per l'appunto, $x>=41/10$.
In realtà questo sistema era frutto di un errore; come ti ha fatto notare Gi8, nella seconda disequazione ci voleva il $<=$ e questo ovviamente cambiava il risultato.

83) Non ci siamo ancora. Cominciamo con la prima disequazione: l'hai certo scritta o pensata come $(x-4)(x-2)<0$ e questo va bene. Poi devi continuare risolvendo le disequazioni $x-4>0$ e $x-2>0$ (sempre > 0, qualunque sia il verso che hai; continuo usando questa formule e non le tue) ma non devi scrivere le soluzioni trovate perché la scritta $x>4 ^^x>2$ non coincide con la disequazione iniziale e per di più è sbagliata: significa che vuoi i numeri che sono maggiori sia di 4 che di 2.
Devi invece fare il grafico dei segni, cercare quando il prodotto è negativo, e scrivere la soluzione così trovata. In altre parole, lo scritto avrebbe dovuto essere di questo tipo:
Prima disequazione: $(x-4)(x-2)<0$. Mettendo poi accanto alla graffa di sistema un qualche segno che ti ricordasse che non era un vero sistema ma volevi il meno (io suggerirei un segno meno) continuavi con
${(x-4>0),(x-2>0):}=>{(x>4),(x>2):}=>2 Nel riportare il tutto nel forum potevi poi non copiare questi passaggi e scrivere solo la soluzione finale.

Per la seconda disequazione, prova a dare ad $x$ un valore minore di 3 e vedrai che la disequazione continua ad essere verificata: è vera per tutte le $x$, tranne 3. Ne consegue che il tuo $x>3$ non è valido; se (in altri esercizi) lo fosse, allora non avrebbe senso aggiungere $x!=3$ perché già questo valore è già stato escluso scrivendo $x>3$.