Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

Esercizio 74
Adesso cerco di risolvere questa disequazione in valore assoluto, facendo tutte le considerazioni opportune e sperando di non sparare cavolate.....

$ |(5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)|<1 $

Trattandosi di un valore assoluto, devo considerare i due casi:

$ (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)<1 $ e quando $ (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)> -1 $

Primo caso

$ (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)<1 => (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)-1<0 => (5^(2x)-1-5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)<0 => (-2)/(5^(2x)+1)<0 $

Può essere scritta anche in questo modo:

$ -(2)/(5^(2x)+1)<0 $

Quindi moltiplico per $ -1 $ ed avrò:

$ (2)/(5^(2x)+1)>0 $ il numeratore è noto, è $ 2 $, quindi dobbiamo verificare il denominatore:

$ 5^(2x)+1>0 =>5^(2x)> -1=>5^(2x)> -5^0 => 2x>0=> x>0 $

Va bene fin quì

Secondo caso

$ (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)> -1 => (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)+1>0=> (5^(2x)-1+5^(2x)+1)/(5^(2x)+1)>0 => (10^(2x))/(5^(2x)+1)>0 $

$ 10^(2x)>0=> 10^(2x)>0 $ uso i logaritmi ed ho $ log10^(2x)>0=>(2x)log10>0=>2x>0/log10=>2x>0=> x>0 $ Su questo logaritmo non sono sicuro di aver fatto bene

$ 5^(2x)+1>0 =>5^(2x)> -1=>5^(2x)> -5^0 => 2x>0=> x>0 $

Sempre se ho fatto tutto in modo corretto, concludo che essendo verificate per le condizioni $ x>0 $ allora la soluzione è tutto l'insieme dei numeri Reali $ S=R $

Ho fatto tutto bene

[giammaria2]

Bisogna correggere qualche punto. Il primo è forse solo un'imprecisione di linguaggio e si ha in

devo considerare i due casi: $ (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)<1 $ e quando $ (5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)> -1 $

Detto così, sembra che ti vada bene essere nell'uno o nell'altro caso; devono invece essere verificate entrambe le disequazioni (intersezione).
Un altro si ha qui, verso il termine del primo caso:

$ 5^(2x)> -5^0 => 2x>0=> x>0 $

perché la presenza del meno rende impossibile passare al confronto fra gli esponenti. Il ragionamento giusto era: è sempre verificato perché $5^(2x)$ è positivo (essendo potenza di un numero positivo) e quindi maggiore di un numero negativo. Discorso analogo vale più avanti, quando risolvi $10^(2x)>0$ che è sempre verificata; impossibile usare i logaritmi perché $log0$ non esiste.
Fra gli ultimi due punti c'è

$ (5^(2x)-1+5^(2x)+1)/(5^(2x)+1)>0 => (10^(2x))/(5^(2x)+1)>0 $

No: $5^(2x)+5^(2x)=2*5^(2x)!=10^(2x)$. Non è chiaro poi se nel secondo caso hai considerato anche il segno del denominatore; comunque era possibile trascurarlo sempre, notando che è la somma di due numeri positivi e quindi è positivo.
La conclusione è giusta perché entrambe le disequazioni (quelle che hai impropriamente chiamate i due casi) sono sempre verificate.

Il denominatore è sempre positivo e quindi si può dare denominatore comune trascurandolo; la tua disequazione iniziale poteva essere risolta velocemente così:
${((5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)<1),((5^(2x)-1)/(5^(2x)+1)> -1):}=>{(5^(2x)-1<5^(2x)+1),(5^(2x)-1> -5^(2x)-1):}=>{(-2<0),(2*5^(2x)>0):}$
ed vera in tutto $RR$ perchè lo sono entrambe la disequazioni.

[Bad90]

Ok, ti ringrazio! Ho rivisto i punti dove sono stato impreciso e dove ho sbagliato, grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 75

$ log_(1/2) x<4 $

Ho fatto così:

$ x<(1/2)^4=>x<1/16 $

Perchè il testo mi dice che è $ x>1/16 $

Forse perchè se $ 0
$ { ( f(x)>0 ),( f(x)
Insomma bisogna considerare sempre due casi, primo ponendo sempre $ f(x)>0 $ intersecandolo con $ f(x) Allora in questo caso $x<1/16 $ ho:

$ { ( f(x)>0 ),( f(x) { ( x>0 ),( x>1/16 ):} $ questo $ x>1/16 $ ha cambiato il segno perchè $ f(x)1/16 $ Ho compreso bene
Detto questo e facendo il grafico dei segni, mi trovo con $ x>0 $ che va verso destra e $ x>1/16 $ che va verso destra e dall'intersezione ho due settori positivi, $ x<0 $ che è impossibile, e $ x>1/16 $ che è l'unica soluzione!

Il mio dubbio è che se $ 1/16=0,0625 $ , la $ x $ pur essendo positiva, potrebbe essere anche $ 0,05....0,03 $
Ho pensato che forse bisogna considerare, "utilizzando il grafico dei segni", sempre e dico sempre in questi casi, la condizione $ x>0 $, insomma bisogna darlo per scontato per le solite regole......, solo che vorrei esserne sicuro
Ragionandoci un po, so che la funzione è una funzione decrescente al crescere di $ x $, conoscendo le regole che $ 01/16 $

P.S. Penso che centri la regola della monotonia, penso si possa dire che è la funzione crescente in modo ordinato

[Bad90]

Esercizio 76

$ log_(1/10) x>1/2 $

Risolvendo meccanicamente, "intendo con le solite regole", ottengo questo:

$ x>(1/10)^(1/2)=>x>sqrt(10)/10 $

Adesso so che una prima condizione deve essere $ x>0 $ e so di trovarmi in una situazione tipo $ 0(penso di aver detto bene).

Facendo il grafico, noto una condizione di positività quando $ x<0 $ ma in questo caso, è impossibile in quanto stiamo utilizzando i logaritmi e quindi.....
Poi ho un settore negativo tra $ 0^^sqrt(10)/10 $ perchè il verso dello zero è verso destra e il verso di $ sqrt(10)/10 $ è verso destra
Concludo con il fatto che ho un settore positivo per $ x>sqrt(10)/10 $

Sulla base di cosa posso giustificare il risultato del testo che dice $ 0

P.S. Anche quì, penso che centri la regola della monotonia, penso si possa dire che è la funzione crescente in modo ordinato

Vorrei capire meglio questo concetto di monotonia!

[Bad90]

Funzione monotona.
Per capire gli ultimi due esercizi, voglio comprendere il concetto di funzione monotona nelle disequazioni esponenziali e logaritmiche

Se non ho compreso male, una funzione si dice monotona quando rispetta un certo ordine crescente
Provo a fare qualche esempio, come è stato compreso dalla mia testolina...

1)Primo caso per $ a>1 $

Per $ a>1 $ allora $ a^x>b $ se solo se $ x>log_a b $

Si arriva a questa $ x>log_a b $ perchè $ a^x>b =>log_a a^x>log_a b => x>log_a b $

Esempio

$ a=2 $ poi $ b=2 $ allora $ 2^x>2 $ se e solo se $ x>log_2 2=>x>1 $

Correggetemi se sbaglio e se potete, arricchite il mio contenuto

2)Secondo caso per $ a>1 $

Per $ a>1 $ allora $ a^(f(x))>a^(g(x)) $ se solo se $ f(x)>g(x) $

Si arriva a questa $ f(x)>g(x) $ perchè $ a^(f(x))>a^(g(x)) =>log_a a^(f(x))>log_a a^(g(x)) => f(x)>g(x) $

Esempio

$ a=2 $ allora $ 2^(f(x))>2^(g(x)) =>log_2 2^(f(x))>log_2 2^(g(x)) => f(x)>g(x) $ con $ f(x)=2 $ e $ g(x)=1 $ allora è vero che $ 2>1 $


---------------------------

3)Terzo caso per $ 0

Per $ 0b $ se solo se $ x
Si arriva a questa $ xb =>log_a a^x x
Esempio

$ a=1/2 $ poi $ b=2 $ allora $ (1/2)^x<2 $ se e solo se $ x
Non sto capendo questo $ x

4)Quarto caso per $ 0

Per $ 0a^(g(x)) $ se solo se $ f(x)
Si arriva a questa $ f(x)log_a a^(f(x)) f(x)
Esempio

$ a=2 $ allora $ 2^(f(x))>2^(g(x)) =>log_2 2^(f(x)) f(x)
Anche qui' non sto capendo questo $ f(x)

P.S. Potreste cortesemente aiutarmi a capire questi quattro casi

Vi ringrazio!

[giammaria2]

Cerchiamo di rendere più semplici le cose; direi che dal tuo testo hai ricavato molta confusione.
Consideriamo la potenza $y=a^x$ (con base positiva; questo sarà sottinteso in quanto segue) e diamo ad $x$ valori sempre maggiori, ad esempio 0, 1, 2, 3. Per $a=2$ otteniamo $1, 2, 4, 8$, cioè al crescere di x cresce anche la potenza mentre per $a=1/2$ otteniamo $1,1/2,1/4,1/8$, cioè al crescere di $x$ la potenza decresce. E' facile convincersi che si ha il primo comportamento si ha per $a>1$ ed il secondo per $a<1$.
Quindi quando abbiamo una disequazione esponenziale dobbiamo sempre chiederci in quale dei due casi siamo: con base maggiore di uno scriviamo il verso che ci viene spontaneo, altrimenti lo cambiamo. Ad esempio
$(3/2)^x>(3/2)^5=>x>5$
$(2/3)^x>(2/3)^5=>x<5$
I logaritmi sono degli esponenziali visti al contrario, quindi anche per essi vale la stessa regola. Esempio (su cui tornerò più avanti):
$log_2 x>log_2 7=>x>7$
$log_(1/2)x>log_(1/2)7=>x<7$
A questo bisogna però aggiungere che l'argomento di un logaritmo deve sempre essere positivo (cioè c'è il CE) e quindi deve anche essere valida, in entrambi gli esercizi precedenti, la disequazione $x>0$. Va messa a sistema con quella che ho scritto; ti ricordo che mettere a sistema significa volere che tutte le disequazioni siano verificate. Ti consiglio di scrivere sempre questo sistema; prima di cercare di risolverlo guarda però se qualcuna è inutile e allora tracciaci sopra una riga di cancellazione. Mi spiego con un esempio: se il sistema fosse
${(f(x)>0),(f(x)>=3):}$
cancellerei la prima disequazione perché quello che è più di 3 è anche più di 0. Se temi di sbagliarti, non cancellare nulla: farai solo qualche calcolo in più.
Torno ora all'esempio che ho fatto e lo risolvo completamente tenendo conto del CE
$log_2 x>log_2 7=>{(x>7),(x>0):}=>x>7$
$log_(1/2)x>log_(1/2)7=>{(x<7),(x>0):}=>0
Il tuo libro fa molti casi perché vuole dare una regola che eviti le disequazioni inutili (quelle da cancellare) ma il mio consiglio è di non cercare neanche di capirla o ricordarla: scrivi sempre il sistema e solo dopo, se vuoi e puoi, cancella qualcosa.

[Bad90]

"giammaria":Cerchiamo di rendere più semplici le cose; direi che dal tuo testo hai ricavato molta confusione.
Consideriamo la potenza $y=a^x$ (con base positiva; questo sarà sottinteso in quanto segue) e diamo ad $x$ valori sempre maggiori, ad esempio 0, 1, 2, 3. Per $a=2$ otteniamo $1, 2, 4, 8$, cioè al crescere di x cresce anche la potenza mentre per $a=1/2$ otteniamo $1,1/2,1/4,1/8$, cioè al crescere di $x$ la potenza decresce. E' facile convincersi che si ha il primo comportamento si ha per $a>1$ ed il secondo per $a<1$.

Fin quì ho compreso perfettamente

"giammaria":Quindi quando abbiamo una disequazione esponenziale dobbiamo sempre chiederci in quale dei due casi siamo: con base maggiore di uno scriviamo il verso che ci viene spontaneo, altrimenti lo cambiamo. Ad esempio
$(3/2)^x>(3/2)^5=>x>5$
$(2/3)^x>(2/3)^5=>x<5$

Quì non ho capito: con base maggiore di uno scriviamo il verso che ci viene spontaneo, altrimenti lo cambiamo
Come può essere il verso che ci viene spontaneo Si intende quello che si vuole arbritariamente Sulla base di cosa lo cambiamo Da quello che ho compreso, lo cambio in funzione della base, cioè $(3/2)^x>(3/2)^5=>x>5$ perchè la base è maggiore di uno essendo crescente, rispetta la monotonia, oppure $(2/3)^x>(2/3)^5=>x<5$ la base è minore di uno e non mi è tanto chiaro perchè quì si scrive maggiore $(2/3)^x>(2/3)^5 $ e poi alla fine scriviamo minore $x<5$


Per il retso sei stato più che chiaro , ho compreso perfettamente che bisogna considerare sempre il sistema:

$ { ( f(x)>0 ),( .... ):} $

Mettendo poi a sistema e aiutandosi con il grafico dei segni, si cercano i settori che vengono richiesti dalla disequazione iniziale!

P.S. Delle volte mi chiedo perchè ogni volta che apro il testo, non sbuchi tu tra le pagine per spiegarmi i concetti in questo modo Ti ringrazio per le spiegazioni così chiare precise ed esaustive

[giammaria2]

Parlando di verso che ti viene spontaneo intendevo quello che è scritto nell'esercizio: ad esempio, di fronte ad $a^x1$ ma in caso contrario devi invece scrivere $x>2$. E' un po' come quando risolvi la disequazione \(\displaystyle ax>b \) (a parte il fatto che qui il confronto è con lo zero): se $a>0$ scrivi $x>b/a$ altrimenti cambi il verso.
Attento ad un errore che ripeti abbastanza spesso: mettere a sistema e fare il grafico dei segni non sono la stessa cosa. Hanno entrambe uno stesso disegnino, che però viene letto in modi differenti.
Grazie per i complimenti; spero di aver chiarito i dubbi.

[Bad90]

"giammaria":Attento ad un errore che ripeti abbastanza spesso: mettere a sistema e fare il grafico dei segni non sono la stessa cosa. Hanno entrambe uno stesso disegnino, che però viene letto in modi differenti.

Scusami, ma quando dico metto a sistema, intendo questo:

$ { ( x+y..),( x... ):} $

Fare il grafico dei segni, intendo questo:

___________0______________
-----------------_______________
...... $ - $ .............. $+$ .....

Dove sbaglio

[Bad90]

Esercizio 77

$ 1/2
Gorreggetemi se sbaglio....
Si tratta di risolvere due disequazioni, la prima:

1) $ log_3 x >1/2 $

2) $ log_3 x<2 $

Risoluzione della prima:

$ { ( f(x)>0 ),( f(x)>a^b ):} => { ( x>0),( log_3 x >1/2 ):}=>{ ( x>0),( x >sqrt(3) ):}=>x>sqrt(3) $

Risoluzione della seconda:
E' una disequazione minore di due: $ log_3 x<2 $ pongo la stessa maggiore di zero e cerco i settori discordi o comunque quelli in cui è negativa:

$ { ( f(x)>0 ),( f(x)>a^b ):} => { ( x>0),( log_3 x >2 ):}=>{ ( x>0),( x >9 ):}=> 0
Riporto i dati su un grafico, e prendo i valori comuni a tutte le disequazioni, ottenendo:

$ sqrt(3)
Dite che ho fatto bene
Non so se il risultato è corretto, chiedo a voi una conferma, riesco a risolverle meccanicamente e se ho fatto bene mi chiedo il perchè si deve cercare il settore comune ad entrambi
Non sto ricordando il perchè!

[giammaria2]

Anche quando risolvi un sistema fai un grafico e le prime due righe sono come quelle che hai disegnato; la terza riga no. Si parla di grafico dei segni quando vogliamo il più o il meno, e allora la tua terza riga è giusta; se invece è veramente un sistema, cioè se vogliamo che siano entrambe verificate, non si usa dargli un nome ma se vuoi farlo puoi chiamarlo grafico del sistema o semplicemente grafico. Ti illustro la differenza con due esercizi.
A) $logx>log7$
B) $x(x-7)>0$
In entrambi i casi risolvi le disequazioni $x>0$ e $x>7$ e le riporti in grafico: nel caso A è veramente un sistema e la soluzione è $x>7$ mentre nel caso B è un grafico dei segni in cui vogliamo il più e la soluzione è $x<0 vvx>7$.

Nell'esercizio 77, non capisco la tua risoluzione della seconda disequazione: io non vedo numeratori né denominatori e non c'è motivo di cercare i settori discordi. La soluzione è semplicemente
${(x>0),(logx{(x>0),(x<9):}=>0 La soluzione finale è giusta. Ti chiedi perché devi cercare i settori comuni: perché la disequazione di partenza equivaleva a dire che che deve essere vera la prima e anche la seconda.

[Bad90]

Scusa ho sbagliato a scrivere, ho apportato la modifica, stavo risolvendo un altro esercizio ed ho ingarbugliato le cose!
Non ti sto seguendo, scusa ma se preferisco porre tutto $ >0 $ e poi trovo i settori negativi, cosa cambia
Io ricordo che e' lo stesso!

Per il resto ho compreso il perchè cercare i settori comuni ad entrambi

[giammaria2]

"Bad90":Non ti sto seguendo, scusa ma se preferisco porre tutto $ >0 $ e poi trovo i settori negativi, cosa cambia
Io ricordo che e' lo stesso!

Adesso sono io che non riesco a seguire te. E' come se tu mi dicessi "Avendo $2x<8$ io preferisco porre tutto $ >0 $ e poi trovo i settori negativi" cioè calcoli $x>4$ e poi prendi il contrario. Perché li chiami "settori negativi", dato che il segno non ci interessa? E perché fai un simile arzigogolo quando è tanto più semplice lasciare il $<$?

Mi fa piacere che tu abbia capito perché cercare le zone in cui entrambe le disequazioni sono verificate.

[Bad90]

Ok! Adesso ho capito che non devo fare quel gran arzigogolo!
Ho ricordato male il concetto!

[Bad90]

Esercizio 78

$ -1/2log_(1/49) x<1/2 $

Ho fatto così:

$ log_(1/49) x<-(1/2)/(1/2) => log_(1/49) x<-1 =>x<49 $

$ { ( x>0 ),( x<49 ):}=>0

Cita

Segnala

[Bad90]

Esercizio 79

$ 0<=log_36 x<=3/2 $

Risolvo le due disequazioni:

1) $ log_36 x>=0 $

2) $log_36 x<=3/2 $

Prima disequazione

$ { ( x>0 ),( log_36 x>=0 ):}=>{ ( x>0 ),( x>=36^0 ):}=>{ ( x>0 ),( x>=1 ):}=>x>=1 $

Seconda disequazione

$ { ( x>0 ),( log_36 x<=3/2 ):}=>{ ( x>0 ),( x<=sqrt(36^3) ):}=>0
Soluzione finale $ 1<=x<=sqrt(36^3) $

[giammaria2]

Esercizio 78
All'inizio dividi per un numero negativo, quindi il verso cambia. Ottieni
$log_(1/49)x> -1=>log_(1/49)x>log_(1/49)49$
Poiché la base è minore di 1 si ha un altro cambiamento di verso e si continua con
${(x<49),(x>0):}=>0

Cita

Segnala

[Bad90]

"giammaria":Esercizio 78
All'inizio dividi per un numero negativo, quindi il verso cambia. Ottieni
$log_(1/49)x> -1=>log_(1/49)x>log_(1/49)49$
Poiché la base è minore di 1 si ha un altro cambiamento di verso e si continua con
${(x<49),(x>0):}=>0

Dividere per un numero negativo, si intende il secondo membro
Perchè io sto interpretando, "per colpa mia", che è come se si moltiplica per $ -1 $ e si ha il cambiamento di segno!
Intendi fare così

$(-1/2log_(1/49)x)/-1< (1/2)/-1=>log_(1/49)x>log_(1/49)49$

[Bad90]

Esercizio 80

$ log_10 (x-3)>1 $

$ C.E. => x-3>0=>x>3 $

$ { ( x>0 ),( x-3>10 ):}=>{ ( x>0 ),( x>13 ):}=>x>13 $