Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

Esercizio 67

Come faccio a risolvere questo?

$ ln^3 x-3ln^2 x-3ln x=0 $

Ancora non mi erano capitati esercizi simili!

N.B. Avevo scritto $ In $ invece di $ ln $ . Ho modificato la traccia.

[giammaria2]

Con la sostituzione $y=ln x$. Come ti ho già detto in passato, la prima lettera è una L minuscola e il simbolo $ln$ è creato con le iniziali di "logaritmo naturale".

[Bad90]

Quindi viene fuori questo:

$ y^3-3y^2-3y=0 $

Poi faccio cosi':

$ y(y^2-3y-3)=0 $

Prima soluzione e' $ y=0=>lnx=0=>log_e x=0=>e=1 $
Poi devo risolvere l'equazione di secondo grado? Allora faccio cosi':

$ y^2-3y-3=0 $

Solo che ho un delta che e' $ Delta=sqrt(21) $ , dici che ho fatto bene? Ho dei dubbi perche' mi vengono fuori queste due soluzioni:

$ y=(3+-sqrt(21))/2 $

Mentre il testo mi dice tre soluzioni $ e^(-1);e^3;1 $

Non so come arrvarci! Quello che non sto capendo e' come devo scrivere questo:

$ y=ln^2x $ oppure $ y=3ln^3x $ perche' se non ho potenze, so che devo scrivere $ y=lnx $ ma quelle potenze e quel $ 3 $ prima di $ ln $ , non so come trattarlo!

P.S. Anche in questo messaggio, avevo scritto $ In $ al posto di $ ln $ . Ho modificato il messaggio

[giammaria2]

Se le soluzioni sono quelle c'è un errore nel testo, che dovrebbe essere $ln^3x-2ln^2x-3lnx=0$.
Per favore, puoi smettere di scrivere $In x$ al posto di $ln x$?

[Bad90]

Scusami, hai pienamente ragione, da adesso in poi staro' piu' attento!
Si, il testo mi dice quei risultati e come dici tu, ci sara' un errore di battitura!
Restando in tema, adesso lo risolvo con la correzione che hai apportato alla traccia!
Scusa ancora per l'errore nello scrivere $ ln $.

Ho fatto i calcoli ed effettivamente il testo ha un errore.
Ecco cosa ho fatto con la traccia corrette da giammaria, che non finirò mai di ringraziare

$ln^3x-2ln^2x-3lnx=0$

Se $ y=ln x $ allora

$y^3-2y^2-3y=0=>y(y^2-2y-3)=0$

Prima soluzione $ y=0=>ln x=0=>log_e x=0=>x=e^0=>x=1 $
Dall'equazione di secondo grado ho $ y_1=3^^y_2=-1 $ , dunque posso dire che $ ln x=log_e x $, perchè si tratta dei logaritmi con base decimale aventi però il numero di Nepero $ e=2,71 $.
Seconda soluzione $ y=3=>ln x=3=>log_e x=3=>x=e^3 $
Terza soluzione $ y=-1=>ln x=-1=>log_e x=-1=>x=e^-1 $

P.S. Per risolvere gli esercizi, lotto con la mia testolina dura, poi si mette anche il testo con i suoi errori, "visto che io già non ne commetto mica poco", e non vi dico che rabbia, un giorno di questi prendo il testo e lo uso come bersaglio

[Bad90]

Nello studio delle disequazioni logaritmiche, ho trovato la seguente formula, $ log_a f(x)>b $ oppure $ log_a f(x) Ricordando che $ b=log_a a^b $ ...........

A cosa si riferisce quando dice che Ricordando che $ b=log_a a^b $ ........... , da dove viene fuori questa $ b=log_a a^b $

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":.... Ricordando che $ b=log_a a^b $ ........... , da dove viene

Dal fatto che $ log_a a^b =b*log_a a$ e che $log_a a = 1$ ...

[Bad90]

Esercizio 68

$ (sqrt(3)/3)^x<1/9 $

Correggetemi se sbaglio.......
Impongo la condizione di esistenza $ C.E.: x>0$ perchè se fosse minore di zero, dite cehe non avrebbe senso Mi viene questo dubbio, perchè vista così, ancora non si hanno i logaritmi, quindi per una equazione-disequazione esponenziale, vale lo stesso la $ C.E. $
Faccio così:

$ (3^(1/2)/3)^x<1/3^2 $

$ 3^(x/2)/3^x<1/3^2 $

E adesso utilizzo gli amati logaritmi

$ log(3^(x/2)/3^x) log3^(x/2)-log3^x
$ x/2-x<-2 => x/2-x+2<0 $

$ x-2x+4<0 => -x+4<0 $

$ x>4 $

Va bene così

[Bad90]

Esercizio 69

$ (2sqrt(2))^x<1 $

Ho fatto così:

$ (sqrt(2^3))^x<1 $

$ 2^((3x)/2)<2^0 $

$ x<0 $

[Bad90]

Esercizio 70

Questa invece si vede a colpo d'occhio, ma chiedo a voi conferma...

$ (1/3)^x<0 $

E' impossibile per qualsiasi sia il valore di $ x $, perchè $ 1/3=0,3333... $ che non sarà mai minore di zero

[Bad90]

Esercizio 71
Adesso ho un dubbio su questo che segue....
Ho risolto il seguente senza problemi, ma vedendo la disequazione, mi sono chiesto ........

$ (1/2)^x<1/2 $

Ho la stessa base, e perchè non lasciare le cose invariate e fare così

$ x<1 $

Perchè non si può

Dal risultato del testo, ho compreso che l'esercizio va svolto così:

$ 2^(-x)<2^(-1) $ e segue $ x>1 $

Cosa ne dite del mio "sicuramente" assurdo dubbio

[giammaria2]

68) Nelle disequazioni esponenziali non si studia il CE perché $x$ può avere qualsiasi valore, anche negativo. La tua soluzione è giusta ma non c'era bisogno dei logaritmi; bastava
$(3^(-1/2))^x<3^(-2)=>3^(-1/2x)<3^(-2)=>-1/2x<-2=>x>4$

69) Bene.

70) Giusto lo svolgimento; la motivazione è "perché una potenza con base positiva è sempre positiva"

71) La cosa migliore è lasciare la stessa base e scrivere subito $x>1$. Quando la base è minore di uno (e positiva) una disequazione inverte il suo verso; infatti il grafico di $y=a^x$, con $0

Cita

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[Bad90]

Esercizio 72

Come posso risolvere il seguente

$ (x-2)3^(x^2-4x)<=0 $


Non penso sia corretto, ma ho risolto in questo modo.....

$ 3^(x^2-4x)<=0/(x-2) $

$ 3^(x^2-4x)<=0 $

Ponendo $ (x^2-4x)=b $ allora $ 3^b<=0 $, utilizzo i logaritmi ma per semplicità utilizzo $ log_3 $ ed ho......

[chiaraotta1]

$(x-2)3^(x^2-4x)$ è il prodotto di due fattori, di cui il secondo ($3^(x^2-4x)$) è $>0$ per qualsiasi $x$.
Quindi, perché il prodotto sia $<=0$, occorre che lo sia $x-2$.

[Bad90]

"chiaraotta":$(x-2)3^(x^2-4x)$ è il prodotto di due fattori, di cui il secondo ($3^(x^2-4x)$) è $>0$ per qualsiasi $x$.
Quindi, perché il prodotto sia $<=0$, occorre che lo sia $x-2$.

Quindi non bisogna fare nessun calcolo e dire subito che:

$ x-2<=0=>x<=2 $

Vero

[Bad90]

Esercizio 73

$ 1-7^(1+x)>=0 $

Provo a giustificare la mia soluzione, nella speranza di non sbagliare!
I valori noti sono $ 1^^-7 $ quindi non serve fare considerazioni, quanto interessa quella potenza in cui vi è la variabile $ x $
Essendo $ 1-7^(...) $ sarà non vera o vera in base al valore di $ x $ in quanto se $ x=1 $ allora la disequazione sarà $ >0 $ e se invece $ x=-1 $ allora sarà $ =0 $ in quanto $ 1-7^0=>1-1=0 $
Essendo la base della potenza un numero negativo, allora bisogna considerare anche la potenza preceduta dal segno negativo e allora:

$ -(1+x)>=0 =>-1-x>=0 =>-x>=1$

Concludo che $ x<=-1 $

Va bene

[Kashaman]

sicuro che se $x=1$ si ha che $1-7^(1+x)>0$?
quello che puoi dire è questo
essendo $1=7^0$ la diseguaglianza di partenza è equivalente a $7^0>=7^(1+x)$ , e cioè avviene quando $0>=1+x$ e cioè quando $1+x<=0$ e in particolare quando $x<=-1$

[Bad90]

Esercizio 74

Ho risolto il seguente ma non sto riuscendo a comprendere bene alcuni concetti!

$ (2^x-1)/(8-2^x)<=0 $

Numeratore $ 2^x-1<=0=>2^x<=1=>2^x<=2^0 $ allora $ x<=0 $
Denominatore $ 8-2^x<=0=>2^3<=2^x=>3<=x $ allora $ x>=3 $

Adesso dal grafico dei segni, devo cercare i settori in cui è negativa, allora ho da cercare $ AuuB $ in quanto le soluzioni non si intersecano, si nota dal fatto che una soluzione a verso $ <= $ mentre l'altra ha verso $ >= $ Vero
Allora mi viene da dire che le soluzioni sono:

$ x<=0 uu x>=3$

Perchè il risultato corretto invece è $ x<=0 uu x>3$
Non capisco, perchè se ho $ x=3 $ ottengo sempre una condizione tipo $ 7/0=0 $

Perchè

Grazie mille!

[Bad90]

"Kashaman":sicuro che se $x=1$ si ha che $1-7^(1+x)>0$?
quello che puoi dire è questo
essendo $1=7^0$ la diseguaglianza di partenza è equivalente a $7^0>=7^(1+x)$ , e cioè avviene quando $0>=1+x$ e cioè quando $1+x<=0$ e in particolare quando $x<=-1$

Ok, grazie per avermi chiarito le idee

[giammaria2]

74) Non si può dividere per zero; se dicessimo che $7/0=x$ questo, facendo la prova, significherebbe che $7=x*0$ ed è è falso qualunque sia il valore di $x$.Il denominatore di una frazione è sempre diverso da zero.