Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
"Kashaman":
[quote="Bad90"]Non ho il risultato di questo esercizio, ma essendo abbastanza semplice, ho dedotto che le soluzioni sono $ x_1=+-3^^x_2=+-2 $ e quindi $ 17^0=1 $
come? che centra che $17^0=1$? è proprietà delle potenze.
Quello che devi risolvere è questa equazione (biquadratica)
$x^4-13x^2+36=0$ . Ha almeno quattro soluzioni. Hai una vaga idea di come risolverla?[/quote]
Forse non hai fatto caso che ho postato solo le quattro soluzioni, non ho scritto tutti i passaggi risolutivi dell'equazione biquadratica!
Comunque per l'Esercizio 36 sto avendo problemi nel risolverla
!Mi daresti qualche consiglio
Grazie mille!
@ Bad90. La frase giusta è: so che $17^0=1$ e quindi l'equazione da risolvere è $x^4-13x^2+36=0$, eccetera. Tu hai messo il "quindi" nel modo sbagliato.
Per l'esercizio 36, lascio a Kashaman i consigli e mi limito a dire che $e$ è trattato come se fosse una lettera qualsiasi e che le soluzioni sono $x=e^2(1+-sqrt2)$, entrambe accettabili.
Per l'esercizio 36, lascio a Kashaman i consigli e mi limito a dire che $e$ è trattato come se fosse una lettera qualsiasi e che le soluzioni sono $x=e^2(1+-sqrt2)$, entrambe accettabili.
Ti ringrazio per aver fatto chiarezza, mi sono espresso male.....
Finalmente sono riuscita a risolverla dopo circa 3 ore a fare prove e prove!
Ecco come ho fatto......
$ log(x^2-2e^2x)=2log e^2 $ con $ e^2=y $ e con $ x>0 $ , correggetemi se sbaglio a dire qualcosa......
$ log(x^2-2xy)=2log y => log(x^2-2xy)=log y^2 $
$ x^2-2xy=y^2 => x^2-2xy-y^2=0 $
Ricavo il delta:
$ Delta = 8y^2=> 2y sqrt(2) $ , segue è penso che segue correttamente
$ x= (2y+-2ysqrt(2))/2=>y(1+-sqrt(2)) $
Segue $ x=e^2(1+-sqrt(2)) $
Finalmente sono riuscita a risolverla dopo circa 3 ore a fare prove e prove!
Ecco come ho fatto......
$ log(x^2-2e^2x)=2log e^2 $ con $ e^2=y $ e con $ x>0 $ , correggetemi se sbaglio a dire qualcosa......
$ log(x^2-2xy)=2log y => log(x^2-2xy)=log y^2 $
$ x^2-2xy=y^2 => x^2-2xy-y^2=0 $
Ricavo il delta:
$ Delta = 8y^2=> 2y sqrt(2) $ , segue è penso che segue correttamente
$ x= (2y+-2ysqrt(2))/2=>y(1+-sqrt(2)) $
Segue $ x=e^2(1+-sqrt(2)) $
Giusto, ma non valeva la pena di fare sostituzioni. La tua equazione diventava
$log(x^2-2e^2x)=log (e^2)^2$
$x^2-2e^2x=e^4$
eccetera. Ti sei ricordato di fare il CE per controllare l'accettabilità delle soluzioni? Per le equazioni logaritmiche è obbligatorio; in alternativa si può fare la verifica delle soluzioni, che però di solito è più lunga.
$log(x^2-2e^2x)=log (e^2)^2$
$x^2-2e^2x=e^4$
eccetera. Ti sei ricordato di fare il CE per controllare l'accettabilità delle soluzioni? Per le equazioni logaritmiche è obbligatorio; in alternativa si può fare la verifica delle soluzioni, che però di solito è più lunga.
"giammaria":
Ti sei ricordato di fare il CE per controllare l'accettabilità delle soluzioni?
Hai ragione, mi sono dimenticato delle CE
Correggimi se sbaglio, ecco le $ CE $ :
$ e^2 $ è sempre positivo e non vi è alcun bisogno di verificare la positività!
$ x^2-2e^2x>0 $
Essendo $ e^2 $ strettamente positivo, posso toglierlo dalla seguente
$ x^2-2x>0 $
E fare subito la verifica così
$ x^2-2x>0=>x(x-2)>0 $
$ CE : x>0^^x>2 $
Ho fatto tutto bene
Grazie mille!
Esercizio 37
Dici che nell' esercizio che segue ho impostato bene le $ CE $
$ 1/3log(8x^3+9x^2)=log(2x+3) $
$ CE $
$ 8x^3+9x^2>0 => x^2>0 $ sempre e $ x> -9/8 $
$ CE $
$ x> -3/2 $
Vanno bene?
Per risolverlo ho pensato di fare cosi':
$ log(8x^3+9x^2)=log(2x+3)*3$
Oppure cosi'?
$ log(8x^3+9x^2)^(1/3)=log(2x+3) $
Come devo fare? Sara' semplice ma non sto riuscendo a risolverlo!
Dici che nell' esercizio che segue ho impostato bene le $ CE $
$ 1/3log(8x^3+9x^2)=log(2x+3) $
$ CE $
$ 8x^3+9x^2>0 => x^2>0 $ sempre e $ x> -9/8 $
$ CE $
$ x> -3/2 $
Vanno bene?
Per risolverlo ho pensato di fare cosi':
$ log(8x^3+9x^2)=log(2x+3)*3$
Oppure cosi'?
$ log(8x^3+9x^2)^(1/3)=log(2x+3) $
Come devo fare? Sara' semplice ma non sto riuscendo a risolverlo!
manca $x!=0$, perché $x^2>0$ non è sempre vera, lo è solo per $x!=0$.
"Bad90":
$ x^2-2e^2x>0 $
Essendo $ e^2 $ strettamente positivo, posso toglierlo dalla seguente
$ x^2-2x>0 $
Brrr... Ti parafraso: ho $x^2-2*9x>0$ ed essendo 9 strettamente positivo, posso toglierlo ed ottenere $x^2-2x>0$. Sei d'accordo? Come ho già scritto, devi trattare $e$ come faresti con una qualsiasi altra lettera.
Esercizio 37
Nel CE, oltre all'osservazione che ti ha già fatto @melia, manca anche la conclusione: devono essere verificate entrambe le condizioni e questo succede nel CE: $x> -9/8 ^^ x!=0$
Per la soluzione il tuo ultimo passaggio è giusto ma puoi evitare le radici scrivendo
$log(8x^3+9x^2)=3*log(2x+3)->log(8x^3+9x^2)=log(2x+3)^3->8x^3+9x^2=(2x+3)^3->...$
Ok, ti ringrazio per avermi parafrasato 
Ringrazio anche melia
Adesso continuo a risolverlo!
Ringrazio anche melia Adesso continuo a risolverlo!
Esercizio 38
$ 1/3log(x^3+1)=1/2log(x^2+1) $
$ CE $
$ x^3+1>0=> x^3> -1=>x> -1 $
$ x^2+1>0=>x^2> -1=>x>1 $
Penso che le $ CE $ siano corrette!
Fatto questo, arrivo alla seguente:
$ (x^3+1)^2=(x^2+1)^3 $
Poi ho fatto la seguente scomposizione:
$ x^2(3x^2-2x+3)=0 $
Con la prima soluzione $ x^2=0=>x=0 $
Con la seconda soluzione $ AA x in R $
Ho fatto la verifica ed effettivamente la soluzione $ x=0 $ e' accettabile!
Come faccio a verificare la seconda soluzione $ AA x in R $
Grazie mille!
$ 1/3log(x^3+1)=1/2log(x^2+1) $
$ CE $
$ x^3+1>0=> x^3> -1=>x> -1 $
$ x^2+1>0=>x^2> -1=>x>1 $
Penso che le $ CE $ siano corrette!
Fatto questo, arrivo alla seguente:
$ (x^3+1)^2=(x^2+1)^3 $
Poi ho fatto la seguente scomposizione:
$ x^2(3x^2-2x+3)=0 $
Con la prima soluzione $ x^2=0=>x=0 $
Con la seconda soluzione $ AA x in R $
Ho fatto la verifica ed effettivamente la soluzione $ x=0 $ e' accettabile!
Come faccio a verificare la seconda soluzione $ AA x in R $
Grazie mille!
Correggo il CE:
${(x^3+1>0=>x^3> -1=>x> -1),(x^2+1>0=>x^2> -1=>AA x):}=>x> -1$
Per il resto, tutto bene fino a $x=0$; non c'è una seconda soluzione perché non è una disequazione ma un'equazione impossibile.
${(x^3+1>0=>x^3> -1=>x> -1),(x^2+1>0=>x^2> -1=>AA x):}=>x> -1$
Per il resto, tutto bene fino a $x=0$; non c'è una seconda soluzione perché non è una disequazione ma un'equazione impossibile.
Esercizio 39
Questa che segue, non la sto riuscendo a risolvere, in piu' non sto capendo i risultati del testo.
$ log(x+sqrt(x^2-2))-log(2x+sqrt(x^2-4))=0 $
I risultati sono: $ S= O/ $ e $ x=sqrt(2+4/3sqrt(3)) $ non accettabile!
Ho pensato di cominciare a risolverla cosi':
$ log((x+sqrt(x^2-2))/(2x+sqrt(x^2-4)))=0 $
Ma con questa via, non sono riuscito ad arrivare alla conclusione!
Poi ho provato con questa via:
$ log(x+sqrt(x^2-2))=log(2x+sqrt(x^2-4))$
Non sono arrivato alla giusta conclusione e in piu' penso non sia la via giusta!
Cosa mi consigliate di fare?
Questa che segue, non la sto riuscendo a risolvere, in piu' non sto capendo i risultati del testo.
$ log(x+sqrt(x^2-2))-log(2x+sqrt(x^2-4))=0 $
I risultati sono: $ S= O/ $ e $ x=sqrt(2+4/3sqrt(3)) $ non accettabile!
Ho pensato di cominciare a risolverla cosi':
$ log((x+sqrt(x^2-2))/(2x+sqrt(x^2-4)))=0 $
Ma con questa via, non sono riuscito ad arrivare alla conclusione!
Poi ho provato con questa via:
$ log(x+sqrt(x^2-2))=log(2x+sqrt(x^2-4))$
Non sono arrivato alla giusta conclusione e in piu' penso non sia la via giusta!
Cosa mi consigliate di fare?
Per risolvere l'equazione
$log(x+sqrt(x^2-2))-log(2x+sqrt(x^2-4))=0$
devi imporre le condizioni
${(x+sqrt(x^2-2)>0), (x^2-2>=0), (2x+sqrt(x^2-4)>0), (x^2-4>=0):}$.
Le soluzioni del sistema sono $x>=2$
Poste queste, per risolvere l'equazione basta che sia
$x+sqrt(x^2-2)=2x+sqrt(x^2-4)->sqrt(x^2-2)=x+sqrt(x^2-4)$.
Ma a questo punto è evidente che, per $x>=2$, l'equazione precedente non può avere soluzioni. Infatti $sqrt(x^2-2)$ è minore di $x$ e a maggior ragione di $x+sqrt(x^2-4)$. Quindi il primo membro è minore del secondo e dunque non può essergli uguale per nessuna $x$.
Perciò l'equazione è impossibile.
$log(x+sqrt(x^2-2))-log(2x+sqrt(x^2-4))=0$
devi imporre le condizioni
${(x+sqrt(x^2-2)>0), (x^2-2>=0), (2x+sqrt(x^2-4)>0), (x^2-4>=0):}$.
Le soluzioni del sistema sono $x>=2$
Poste queste, per risolvere l'equazione basta che sia
$x+sqrt(x^2-2)=2x+sqrt(x^2-4)->sqrt(x^2-2)=x+sqrt(x^2-4)$.
Ma a questo punto è evidente che, per $x>=2$, l'equazione precedente non può avere soluzioni. Infatti $sqrt(x^2-2)$ è minore di $x$ e a maggior ragione di $x+sqrt(x^2-4)$. Quindi il primo membro è minore del secondo e dunque non può essergli uguale per nessuna $x$.
Perciò l'equazione è impossibile.
Infatti, facendo delle prove di verifica, ho provato a dare ad $ x $ un valore arbritario, es. $ x=2 $ e mi sono trovato con una equazione impossibile, cioe' $ 2=4 $
Esercizio 40
$ log_a x = (log_a x)^2 $
Ma per le proprieta' delle potenze, e' possibile fare cosi'?
$ log_a x = log_a x^2 $
Oppure ho sbagliato?
$ log_a x = (log_a x)^2 $
Ma per le proprieta' delle potenze, e' possibile fare cosi'?
$ log_a x = log_a x^2 $
Oppure ho sbagliato?
Hai sbagliato.
$log_a x^2=2log_a x!=(log_a x)^2$
Questa equazione si risolve con la sostituzione $y=log_a x$.
$log_a x^2=2log_a x!=(log_a x)^2$
Questa equazione si risolve con la sostituzione $y=log_a x$.
"giammaria":
Hai sbagliato.
$log_a x^2=2log_a x!=(log_a x)^2$
Questa equazione si risolve con la sostituzione $y=log_a x$.
Non sto capendo come risolverla, dici che devo fare cosi'?
$ y=y^2 $
Apparte il fatto che non sto riuscendo a risolvere l'esercizio, non capisco come bisogna comportarsi con le proprieta' delle potenze quando si ha:
$ (log_a x)^2 $
Penso che se riesco a capire come applicare quella proprieta', forse riesco a risolverlo!
Quel quadrato mi sta confondendo le idee!
$log_a x = (log_a x)^2 ->(log_a x)^2 -log_a x=0->log_ax*(log_ax-1)=0$.
Perciò, o
$log_ax=0->x=a^0=1$,
oppure
$log_ax-1=0->log_ax=1->x=a^1=a$.
Perciò, o
$log_ax=0->x=a^0=1$,
oppure
$log_ax-1=0->log_ax=1->x=a^1=a$.
Adesso ho capito!
Non stavo riuscendo a trovare la combinazione.......
Era banale e non me stavo rendendo conto!
Grazie mille!
Non stavo riuscendo a trovare la combinazione.......
Era banale e non me stavo rendendo conto!
Grazie mille!
Esercizio 41
Ho risolto il seguente esercizio, ma non vorrei che sia stato un caso e quindi chiedo a voi una conferma.....
$ 2logx=3+log(x/10) $
Ho fatto cosi':
$ 2logx-log(x/10)=3 $
$ log(x^2/(x/10))= 3 $
$ log(x^2*10/(x))= 3 $
$ log(x*10)= 3 $
$ x*10=10^3 $
$ x=10^2 $
$ x=100 $
Dite che ho fatto bene?
Ho risolto il seguente esercizio, ma non vorrei che sia stato un caso e quindi chiedo a voi una conferma.....
$ 2logx=3+log(x/10) $
Ho fatto cosi':
$ 2logx-log(x/10)=3 $
$ log(x^2/(x/10))= 3 $
$ log(x^2*10/(x))= 3 $
$ log(x*10)= 3 $
$ x*10=10^3 $
$ x=10^2 $
$ x=100 $
Dite che ho fatto bene?
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