Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

Non sto capendo...
Ho trovato nel web, che si potrebbe continuare cosi':

$ 4log_6 2= 4/(log_2 6) $

Non sto capendo...

[Bad90]

Altra cosa che non sto capendo ...

$ 9^(1-x) $

A quanto e' uguale?
Devo usare la proprieta' delle potente che mi porta ai seguenti passaggi?

$ 9^(1-x)=>9^1:9^x=>9/(9^x) $

Giusto?

[giammaria2]

Si fanno quei passaggi che sono leciti e servono al nostro scopo: volta per volta bisogna chiedersi se è opportuno o no farli. Per le tue ultime due domande i passaggi che indichi sono leciti; occorre vedere in cosa sono inseriti per sapere se ci servono o no.
Ad esempio, per la formula del cambiamento di base si ha $log_6 2=1/(log_2 6)$; se però l'esercizio non continua questo calcolo è inutile ed ha come unico effetto una scrittura più brutta.
Inoltre è vero che $9^(1-x)=9/(9^x)$ : ci è anche utile scriverlo così?

[Bad90]

Per l'esercizio del cambiamento di base, ecco i passaggi che fa il testo, (che non sto capendo)...

$ log_6 16=4log_6 2 $ (questo passaggio l'ho compreso)

$ 4log_6 2=4/(log_2 6) $ (questo passaggio non l'ho capito)

Come ha utilizzato la formula del cambiamento di base
Correggimi se sbaglio.....

$ log_6 16=x=>16=6^x $

$ 2^4 =6^x $

Adesso voglio il $ log_2 $ , anche perchè per il momento sto utilizzando solo i logaritmi base 2 e base 10, quindi:

$ log_2 2^4 =log_2 6^x $

$ 4 =log_2 6^x $

$ 4 =xlog_2 6 $

Ed alla fine avrò:

$ x=4/(log_2 6) $

Va bene così

[Bad90]

Esercizio 27
Dire se la seguente equazione ammette soluzioni:

$ 0,5^x=-3x+1 $

Faccio qualche considerazione, ma mi farebbe piacere comprendere meglio questo concetto....

Identifico con
$ f(x)=0,5^x $
$g(x)=-3x+1 $

Vista così, mi sembra che sia $ f(x)=0,5^x $ una curva esponenziale che decresce, cioè $ y=a^x $, mentre $g(x)=-3x+1 $ è $y=-3x+1 $ è una curva lineare con coefficiente angolare $ -3 $.
Penso che la soluzione sia trovare il punto di intersezione delle due curve e l'ideale è fare un bel grafico (Voi cosa ne dite)

Per $ f(x)=0,5^x $ la curva è decrescente e incontra l'ascissa nel punto $ 0,1 $
Per $g(x)=-3x+1 $ la curva è una retta passante per il punto di intersezione $ 0,1 $ ma con $ m=-3 $

Adesso mi ritrovo con il seguente grafico, ma come faccio a trarre le conclusioni



Noto che ci può essere un secondo punto di intersezione dopo $ x<-2 $ , ma come faccio a stabilire il punto di intersezione Devo mettere a sistema le due funzioni Come devo fare

Grazie mille!

[giammaria2]

Equazione
Il metodo grafico da te usato è effettivamente il migliore e da esso ricaviamo la $x$ delle intersezioni; la $y$ non ci interessa. Hai già notato che un'intersezione si ha per $x=0$ ed infatti sostituendo questo valore nell'equazione ottieni
$(1/2)^0=-3*0+1->1=1$, vero.
L'altra intersezione sembra avere $x=-4$ ma sostituendo abbiamo
$(1/2)^(-4)=-3*(-4)+1->2^4=12+1->16=13$, falso.
Guardando meglio notiamo che l'intersezione è un po' più a destra e possiamo dare la soluzione approssimata $x=-3,7$. In futuro studierai dei metodi per trovarne un valore più preciso.

Esercizio precedente
La formula del cambiamento di base è $log_a b=(log_c b)/(log_c a)$ e, se non sbaglio, l'hai capita senza problemi. Da questa, ponendo $c=b$ e ricordando che $log_b b=1$ ottieni
$log_a b=1/(log_b a)$
cioè: "si possono scambiare fra loro argomento e base, purché si prenda l'inverso del risultato". Forse questo risolve il tuo dubbio.
Quanto al resto, si possono fare i tuoi calcoli (c'è qualche giro a vuoto, ma nel complesso vanno bene) ma se la domanda era "scrivere $log_6 16$ usando i logaritmi in base 2" il metodo più semplice sarebbe stato

$log_6 16=(log_2 16)/(log_2 6)=(log_2 2^4)/(log_2 6)=4/(log_2 6)$

Una precisazione: di solito si passa da $log_a b=x$ all'equivalente $a^x=b$ solo per dimostrare le formule o in qualche caso eccezionale (ad esempio, quando non si ricorda la formula); negli esercizi si preferisce usare le formule.

[Bad90]

Ma io per l'esercizio 27, vorrei ricavere un intervallo analiticamente!
Come devo fare?

[Bad90]

Esercizio 28
Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$ ((a^x)/a^2)+((a^x)/a)=(a+1)^(x-1) $

Poi mi chiedevo, quanto fa $ In10+In2 $

Help!

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 28
...

$((a^x)/a^2)+((a^x)/a)=(a+1)^(x-1) ->a^x(1/a^2+1/a)=((a+1)^x)/(a+1)->$
$a^x(1+a)/a^2=((a+1)^x)/(a+1)->a^x/(a+1)^x=a^2/(a+1)^2->$
$(a/(a+1))^x=(a/(a+1))^2->x=2$.

[Bad90]

Adesso ho capito.....
In questo punto:

$a^x(1+a)/a^2=((a+1)^x)/(a+1) => a^x/(a+1)^x=a^2/(a+1)^2 $.

Ai invertito il denominatore del primo membro, con il numeratore del secondo membro!

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 29
Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$ 5^(x+4)-5*3^(x+4)=5^(x+2)-5*3^(x+2) $

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 29
...

$ 5^(x+4)-5*3^(x+4)=5^(x+2)-5*3^(x+2) ->$
$5^(x+4)-5^(x+2)=5*3^(x+4)-5*3^(x+2)->$
$5^x*5^4-5^x*5^2=5*(3^x*3^4-3^x*3^2)->$
$5^x*(5^4-5^2)=5*3^x*(3^4-3^2)->$
$5^x/3^x=(5*(3^4-3^2))/(5^4-5^2)->$
$(5/3)^x=(5*3^2(3^2-1))/(5^2(5^2-1))->$
$(5/3)^x=(5*3^2*8)/(5^2*24)->$
$(5/3)^x=3/5->(5/3)^x=(5/3)^-1->x=-1$.

[Bad90]

"chiaraotta"

Grazie mille chiarotta!
Devo prendere un pò di confidenza con questi passaggi!

[Bad90]

Esercizio 30
Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$ a^(x+1)+(a^2)/(a^(x+1))=a^2+1 $

Sto provando a risolverla, ma secondo me ho qualche problema nel comprendere le proprietà delle potenze
Dunque.....

$ a^(x+1)-1=a^2-(a^2)/(a^(x+1)) $

$ a^(x+1)-1=a^2*(1-(1)/(a^(x+1))) $

$ a^(x+1)-1=a^2*((a^(x+1)-1)/(a^(x+1))) $

$ (a^(x+1)-1)/(a^(x+1)-1)=a^2*(1/(a^(x+1))) $

Poi non so proprio continuare! Voglio riuscire a fare come fa chiaraotta...

Help!

[giammaria2]

Questa si risolve con un altro metodo, e cioè con la sostituzione $y=a^(x+1)$ o, se vuoi, $y=a^x$: l'importante è far sparire $x$.
In quelle precedenti in tutti i termini c'era ad esponente una $x$ senza coefficiente e questo permetteva il metodo di chiaraotta, che sarebbe andato bene anche se $x$ avesse avuto sempre uno stesso coefficiente. Qui invece dando denominatore comune troveresti esponenti diversi e che restano tali anche spezzando le somme in essi contenute: occorre cercare un altro metodo. Notando che $x$ compare solo ad esponente di una stessa base, si fa una sostituzione del tipo che ho indicato all'inizio.

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 30
Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$ a^(x+1)+(a^2)/(a^(x+1))=a^2+1 $ ...

$a^(x+1)+(a^2)/(a^(x+1))=a^2+1->(a^(x+1))^2+a^2=(a^2+1 )*a^(x+1)->$

$(a^(x+1))^2-(a^2+1 )*a^(x+1)+a^2=0->(a^(x+1)-a^2)(a^(x+1)-1)=0$.

Da cui
$a^(x+1)-a^2=0->a^(x+1)=a^2->x+1=2->x=1$
oppure
$a^(x+1)-1=0->a^(x+1)=1->x+1=0->x=-1$.

[Bad90]

"giammaria":Questa si risolve con un altro metodo, e cioè con la sostituzione $y=a^(x+1)$ o, se vuoi, $y=a^x$: l'importante è far sparire $x$.

Non mi è tanto chiaro il fatto "o se vuoi ($y=a^(x+1)$ o, se vuoi, $y=a^x$).
Comunque, ho provato a fare i seguenti passaggi sono arrivato alla giusta soluzione $ s_1=+1^^s_2=-1 $ .

$ a^(x+1)+(a^2)/(a^(x+1))=a^2+1 $

Se $ y=a^(x+1) $ allora

$ y+(a^2)/(y)=a^2+1 $

$ (y^2+a^2)/(y)=(ya^2+y)/(y) $

$ (y^2+a^2)=(ya^2+y) $

$ y^2-y=ya^2-a^2 $

$ y(y-1)=a^2(y-1) $

$ y(y-1)-a^2(y-1)=0 $

Ovviamente

$ (y-a^2)(y-1)(y-1)=0 $ posso escludere una stessa soluzione e allora avrò

$ (y-a^2)(y-1)=0 $

E alla fine si arriva alle due soluzioni $ x=-1^^x=1 $

P.S. Se non avessi fatto la sostituzione, non sarebbe stato facile Grazie mille!

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 31

Risolvere la seguente equazione esponenziale.

$ a^(x+1)+(a^3)/(a^(x-1))=a^4+a $

Ci sono riuscito con lo stesso metodo dell'esercizio precedente, solo che ho dovuto fare vari tentativi e alla fine ci sono riuscito.. Ecco quello che ho fatto....

$ a^x*a+(a^3)/(a^(x-1))=a^4+a =>a(a^x+(a^2)/(a^(x-1)))=a^4+a $

$ (a^x+(a^2)/(a^(x-1)))=(a^4+a)/a => a^x+(a^2)/(a^(x-1))=a(a^3+1)/a $

$ a^x+(a^2)/(a^(x-1))=a^3+1 =>a^x+a^2:a^(x-1)=a^3+1 $

$ a^x+a^2:(a^x:a)=a^3+1 =>a^x+a^2:a^x/a=a^3+1 $

$ a^x+a^2*a/a^x=a^3+1 $

L'obbiettivo è quello di avere una base con la stessa potenza per poter usufruire di una sostituzione tipo $ y=a^x $ , quindi avrò:

$ y+a^2*a/y=a^3+1 => y^2+a^3=ya^3+y $

Poi bisogna trovare il modo più idoneo nel raccoglimento a fattor comune per sfruttare le semplificazioni....
Ecco quì:

$ y^2-y=ya^3-a^3 =>y(y-1)=a^3(y-1) =>y(y-1)-a^3(y-1)=0 $

$ (y-a^3)(y-1)=0 $

$ y-a^3=0=>y=a^3 =>a^x=a^3=>x=3$
$ y-1=0 => y=1=>a^x=a^0=>x=0$

[giammaria2]

Da $ y(y-1)-a^2(y-1)=0 $ non si deduce $ (y-a^2)(y-1)(y-1)=0 $ perché nessuna regola permette di farlo; devi invece mettere in evidenza il fattore comune ottenendo $ (y-a^2)(y-1)=0 $ e poi applicare la legge di annullamento del prodotto. Il risultato non cambia, ma solo per caso.
Non ti è chiaro come fare con la sostituzione $y=a^x$; te lo illustro svolgendo l'esercizio 31, in cui faccio quella sostituzione.
$a^x*a+(a^3)/(a^x*1/a)=a^4+a$

$ay+(a^4)/y=a^4+a$

$ay^2+a^4-a^4y-ay=0$

$ay(y-1)-a^4(y-1)=0$

$a(y-1)(y-a^3)=0$

Applico la legge di annullamento del prodotto; trascuro il primo fattore che è diverso da zero e trovo le soluzioni

$y=1->a^x=1->x=0$

$y=a^3->a^x=a^3->x=3$

[Bad90]

Esecizio 32
E con un radicale, come devo fare?

$ a^(x+1)+a^(x+2)=asqrt((a+1)^(x+2)) $