Dubbi su esercizi del libro Algebra 1
Salve cari amici del forum! 
Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito!
Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito! Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Risposte
Penso che hai fatto bene. Il simbolo sta per composizione tra le due funzioni, questo equivale a $f \circ g=f(g(x))$.
"phi.89":
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
Il simbolo $ \circ $ è un simbolo di operazione che in questo caso è usato per definire l'operazione appena inventata, ha ragione anche CaMpIoN, perché di solito il simbolo si usa per una determinata operazione che è la comosizione di funzioni, ma non in questo caso.
Che cosa fa questa operazione? Prende il primo termine e lo moltiplica per 2, poi prende il secondo termine e lo moltiplica per 3, infine chiede di eseguire la somma dei risultati ottenuti.
L'operazione non è commutativa perché $a\circ b=2a+3b$ mentre $b\circ a=2b+3a$, e questi risultati di solito sono diversi.
L'operazione non è neppure associativa perché
$a \circ (b \circ c)= a \circ (2b+3c) = 2a+3*(2b+3c) = 2a + 6b +9c$ mentre
$(a \circ b )\circ c)= (2a+3b) \circ c = 2(2a+3b)+3c = 4a + 6b +3c$
Né $0$ è elemento neutro, infatti $a \circ 0 = 2a + 3*0 =2a$ che in generale è diverso da $a$
e $0 \circ a = 2*0 +3a =3a$ e anche questo di solito è diverso da $a$.
Ti ringrazio molto @melia. 
12.18. Esegui i seguenti prodotti applicando la regola \(\displaystyle (A + B) (A − B) = A^2 − B^2 \).
d ) \(\displaystyle (3a - 5y)(- 3a - 5y) \);
Moltiplico per \(\displaystyle (- 1) \):
\(\displaystyle (3a - 5y)(- 3a - 5y)(-1) = (5y - 3a)(5y + 3a) = 25y^2 - 9a^2 \)
È giusto?
d ) \(\displaystyle (3a - 5y)(- 3a - 5y) \);
Moltiplico per \(\displaystyle (- 1) \):
\(\displaystyle (3a - 5y)(- 3a - 5y)(-1) = (5y - 3a)(5y + 3a) = 25y^2 - 9a^2 \)
È giusto?
Parafraso il tuo ragionamento: fuori c'è una temperatura di $-20 °C$. Moltiplico per $-1$ ed ottengo $20 °C$, quindi per uscire mi basta indossare un golfino. E' giusto?
P.S.: come hai ottenuto la E accentata dell'ultima riga?
P.S.: come hai ottenuto la E accentata dell'ultima riga?
"giammaria":
Parafraso il tuo ragionamento: fuori c'è una temperatura di $-20 °C$. Moltiplico per $-1$ ed ottengo $20 °C$, quindi per uscire mi basta indossare un golfino. E' giusto?
Non è la stessa cosa. Io so che cambiando di segno tutti i termini di un'espressione il risultato non cambia. Me l'hanno insegnato alle scuole medie e a quei tempi avevo tutti Ottimo in matematica, se permetti.
P.S.: come hai ottenuto la E accentata dell'ultima riga?
La e maiuscola accentata si fa premendo Alt+212 su Windows.
"phi.89":
Io so che cambiando di segno tutti i termini di un'espressione il risultato non cambia.
Ti confondi, si possono cambiare tutti i segni in una equazione, e il valore dell'incognita non cambia, ma in una espressione questo non è vero, pensa di moltiplicare $5*6$ che ne dici di scrivere $5*(-6)$ ? Pensi di poter mettere il simbolo di $=$ tra le due moltiplicazioni?
Invece se hai l'equazione $5-x=-1$ puoi trasformarla in $-5+x=1$ e il valore della $x$ che le rende vere è in entrambi i casi $x=6$.
"phi.89":
12.18. Esegui i seguenti prodotti applicando la regola \(\displaystyle (A + B) (A − B) = A^2 − B^2 \).
d ) \(\displaystyle (3a - 5y)(- 3a - 5y) \);
Per fare le cose correttamente dal punto di vista formale puoi pensare di raccogliere un $-1$ da entrambe le parentesi: \[(-1)(5y-3a)(-1)(5y+3a)\] A questo punto i due $-1$ si possono trascurare perchè il loro prodotto fa $1$, quindi resta \[(5y-3a)(5y+3a) = 25y^2-9a^2\]
Ringrazio molto entrambi, adesso è tutto chiaro.
Comunque ho trovato un altro procedimento che dice di considerare \(\displaystyle -5y \) come \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle 3a \) come \(\displaystyle B \).
A questo punto si ha:
\(\displaystyle (-5y + 3a)(-5y - 3a) = 25y^2 - 9a^2 \)
È corretto anche così?
Comunque ho trovato un altro procedimento che dice di considerare \(\displaystyle -5y \) come \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle 3a \) come \(\displaystyle B \).
A questo punto si ha:
\(\displaystyle (-5y + 3a)(-5y - 3a) = 25y^2 - 9a^2 \)
È corretto anche così?
Certamente. In generale puoi vedere la regola in questo modo:
Il quadrato dell'addendo che MANTIENE il suo segno meno il quadrato dell'addendo che CAMBIA segno.
Il quadrato dell'addendo che MANTIENE il suo segno meno il quadrato dell'addendo che CAMBIA segno.
Bene, perché al raccoglimento devo ancora arrivarci. Anche se ho capito cosa hai fatto.
Anche se ho capito cosa hai fatto.
"phi.89":
Salve cari amici del forum!
Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Hai fatto un po' di errori.
a) prendi $a=2$ e $b=3$ , $ab=2*3=2a+3b = 4+9=13$ e $ba=3*2=2*3+3*2=12$. A questo punto ti convinci da solo che il prodotto sopra-definito non può essere commutativo.
Anche la b) mi sembra sbagliata. Sapresti dire perché?
Per la c), errata. Devi provare sostanzialmente che $\forall a in NN : 0a=a0=a$ (Secondo la tua operazione.)
Ma ciò è errato, infatti :
$a0 = 2*a+3*0 =2a!=a $ .
Insomma, devi chiarire il significato di "operazione". Me lo esponi?
"Kashaman":
[quote="phi.89"]Salve cari amici del forum!
Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Hai fatto un po' di errori.
a) prendi $a=2$ e $b=3$ , $ab=2*3=2a+3b = 4+9=13$ e $ba=3*2=2*3+3*2=12$. A questo punto ti convinci da solo che il prodotto sopra-definito non può essere commutativo.
Anche la b) mi sembra sbagliata. Sapresti dire perché?
Per la c), errata. Devi provare sostanzialmente che $\forall a in NN : 0a=a0=a$ (Secondo la tua operazione.)
Ma ciò è errato, infatti :
$a0 = 2*a+3*0 =2a!=a $ .
Insomma, devi chiarire il significato di "operazione". Me lo esponi?[/quote]
Caro Kashaman, hai fatto benissimo a riprendere questo discorso. Infatti mi rendo conto di non aver ancora capito realmente il significato del simbolo \(\displaystyle \circ \). Purtroppo non trovo nessuna informazione su internet, quindi se sei così gentile da indicarmi una pagina web oppure da spiegarmelo tu stesso, te ne sarei molto grata.
"phi.89":
[quote="Kashaman"][quote="phi.89"]
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \),
[intervento di Kashaman][/quote]
Caro Kashaman, hai fatto benissimo a riprendere questo discorso. Infatti mi rendo conto di non aver ancora capito realmente il significato del simbolo \(\displaystyle \circ \). Purtroppo non trovo nessuna informazione su internet, quindi se sei così gentile da indicarmi una pagina web oppure da spiegarmelo tu stesso, te ne sarei molto grata.[/quote]
Il cerchietto ha il significato di "operazione generica".
Mi spiego meglio, si espone (testo quotato in quello quotato) un'operazione e la indichi con il cerchietto: è solo un simbolo, in pratica crei un'operazione con determinate proprietà e la indichi con il cerchietto.
Tanto per un raffronto, così come il "+" è il simbolo dell'addizione, il cerchietto è il simbolo di quell'operazione che hai definito con quelle determinate proprietà.
Potresti anche dire
"si definisce l'operazione ££ tra i naturali tale che a££b =..." in pratica è solo un simbolo per indicare l'operazione che definisci (ho usato una cosa astrusa come le doppie lire, tanto per dare l'idea).
@ kashaman e phi.89: Per favore, evitate di quotare interi interventi e per due motivi:
1) nel regolamento è scritto
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.
2) ne risulta un inutile appesantimento per chi legge.
1) nel regolamento è scritto
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.
2) ne risulta un inutile appesantimento per chi legge.
Non riesco a scomporre questi tre trinomi particolari.
18.8
c) \(\displaystyle x^6 + 9x^3y^2 - 36y^4 \);
d) \(\displaystyle x^2y^2 - 2xy - 35 \);
e) \(\displaystyle a^4b^2 - a^2b - 72 \);
Potreste spiegarmi come risolverli, soprattutto gli ultimi due?
18.8
c) \(\displaystyle x^6 + 9x^3y^2 - 36y^4 \);
d) \(\displaystyle x^2y^2 - 2xy - 35 \);
e) \(\displaystyle a^4b^2 - a^2b - 72 \);
Potreste spiegarmi come risolverli, soprattutto gli ultimi due?
Si fanno più o meno nella stessa maniera: nel primo chiami $x^3 = t$ e ti riconduci a un polinomio di secondo grado, nel secondo chiami $xy=t$ e nel terzo poni $a^2b = t$.
Faccio il terzo: $$t^2-t-72 = \left(t-9\right)\left(t+8\right) \quad\Rightarrow\quad \left(a^2b -9\right)\left(a^2b+8\right)$$
Faccio il terzo: $$t^2-t-72 = \left(t-9\right)\left(t+8\right) \quad\Rightarrow\quad \left(a^2b -9\right)\left(a^2b+8\right)$$
Grazie minomic!
Un esercizio sempre sui trinomi particolari.
18.9. Scomponi i seguenti polinomi seguendo la traccia.
a) \(\displaystyle 2x^2 - 3x - 5 = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = ... \)
Non ho capito, cosa devo fare?
18.9. Scomponi i seguenti polinomi seguendo la traccia.
a) \(\displaystyle 2x^2 - 3x - 5 = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = ... \)
Non ho capito, cosa devo fare?
Ti fa vedere che quel trinomio si può scomporre scrivendo $$-3x = 2x-5x$$ e applicando il raccoglimento parziale, quindi $$
2x^2+2x-5x-5 = 2x(x+1) -5(x+1) = (2x-5)(x+1)
$$
2x^2+2x-5x-5 = 2x(x+1) -5(x+1) = (2x-5)(x+1)
$$
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