Dubbi su esercizi del libro Algebra 1

[phi.89]

Salve cari amici del forum! Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito!



Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.

Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.

Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:

a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.

La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);

La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);

La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).

Ho fatto bene?

Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...

[burm87]

La questione della radice terza mi sembra corretta.

Non ho rifatto nessun calcolo ma noto questo:
$(x^2-5)(x+1)=x^3+x^2-5x-5$, che non è il quadrinomio dal quale arrivi tu.

[Zero87]

"phi.89":Poi non mi è chiaro, come si risolve \(\displaystyle x^3 - 27 = 0 \)? Io ho pensato che, in questo caso, l'unico numero per cui l'equazione si annulla è \(\displaystyle \sqrt[3]{27} \) che è uguale a \(\displaystyle 3 \), quindi ha una sola soluzione. Giusto?

Fino a quando siamo con i numeri reali va benissimo quanto dici:
$x^3=27$ implica $x=3$ come unica soluzione.

Con la formula della scomposizione di una differenza di cubi, però, si arriva a
$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)=0$
in cui il primo dà come soluzione $x=3$ mentre il secondo termine non ha soluzioni reali (ma 2 complesse che insieme a quella reale formano le 3 radici cubiche di 27).

[phi.89]

@Zero87:

Ti ringrazio per il chiarimento.

@burm87:

Grazie, ho risolto!

\(\displaystyle 4(x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 11x - 6)(x^6 - 54x^3 + 729) = 0 \);
\(\displaystyle 4(x^3 + 2x^2 - 5x - 6)(x + 1)(x^6 - 27x^3 - 27x^3 + 729) = 0 \);
\(\displaystyle 4(x^2 + x - 6)(x + 1)(x + 1)[x^3(x^3 - 27) - 27(x^3 -27)] = 0 \);
\(\displaystyle 4(x^2 + 3x - 2x - 6)(x + 1)(x + 1)(x^3 - 27)(x^3 - 27) = 0 \);
\(\displaystyle 4[x(x + 3) - 2(x + 3)](x + 1)(x + 1)(x^3 - 27)(x^3 - 27) = 0 \);
\(\displaystyle 4(x - 2)(x + 3)(x + 1)(x + 1)(x^3 - 27)(x^3 - 27) = 0 \).

Soluzioni:
\(\displaystyle 2, -3, -1,3 \).

Grazie amici, ci vediamo nei prossimi thread!

[burm87]

Di nulla!