Dubbi su esercizi del libro Algebra 1
Salve cari amici del forum! 
Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito!
Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito! Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Risposte
Ok, ma qual è il metodo per ottenere il secondo passaggio? Perché poi ce ne sono altri senza suggerimento. 
Parli del raccoglimento parziale? Allora puoi vedere qui o su un qualsiasi libro di testo.
EDIT: forse parlavi di come si faccia a vedere che la cosa giusta da fare è scrivere $-3x=2x-5x$. Lì ci vuole un po' di occhio...
EDIT: forse parlavi di come si faccia a vedere che la cosa giusta da fare è scrivere $-3x=2x-5x$. Lì ci vuole un po' di occhio...
"phi.89":
a) \( \displaystyle 2x^2 - 3x - 5 = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = ... \)
No, proprio di questo secondo passaggio. Deve esserci una regola, credo.
"minomic":
EDIT: forse parlavi di come si faccia a vedere che la cosa giusta da fare è scrivere $-3x=2x-5x$. Lì ci vuole un po' di occhio...
Esattamente.
"phi.89":
[quote="phi.89"]
a) \( \displaystyle 2x^2 - 3x - 5 = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = ... \)
No, proprio di questo secondo passaggio. Deve esserci una regola, credo.
[/quote]Sì, in esercizi "appositi" però, nella pratica non è così semplice trovarla.
In genere la regola è proprio quella di esprimere il termine intermedio in modo da poter raccogliere la stessa quantità.
Per esempio
$x^2+3x+2$
a occhio puoi vedere che il passaggio "giusto" è $3x=x+2x$ in modo che ottieni
$x^2+3x+2=x^2+x+2x+2= x(x+1)+2(x+1)$.
Questo era un caso molto semplice, ma ce ne possono essere di parecchio più complicati e in genere non è così facile come detto. Il "trucco", se così può essere, è quello di scomporre il termine (o i termini) intermedi in modo da ottenere, come dire, uno stesso multiplo.
Per esempio in
$x^2+4x-12$
non è così immediato. Però scrivendo $4x=6x-2x$ hai
$x^2+4x-12=x^2+6x-2x-12=x(x+6)-2(x+6)$ ecc...
Alla fine ci vuole occhio e allenamento: facendo tanti esercizi e riflettendoci su troverai la risposta da te.
La regola esiste ed è questa:
Sia da scomporre un trinomio di secondo grado a coefficienti interi \(\displaystyle ax^2 + bx + c \) con \(\displaystyle a \not= 1 \), cerchiamo due numeri \(\displaystyle m \) ed \(\displaystyle n \) tali che \(\displaystyle m + n = b \) e \(\displaystyle m \cdot n = a \cdot c \); se riusciamo a trovarli, li useremo per dissociare il coefficiente \(\displaystyle b \) e riscrivere il polinomio nella forma \(\displaystyle p = ax^2 + (m + n) \cdot x + c \) su cui poi eseguire un raccoglimento parziale.
Un po' difficile da memorizzare, spesso faccio confusione con la regola del caso \(\displaystyle a = 1 \) del trinomio particolare. Ma... dovrò abituarmici.
Sia da scomporre un trinomio di secondo grado a coefficienti interi \(\displaystyle ax^2 + bx + c \) con \(\displaystyle a \not= 1 \), cerchiamo due numeri \(\displaystyle m \) ed \(\displaystyle n \) tali che \(\displaystyle m + n = b \) e \(\displaystyle m \cdot n = a \cdot c \); se riusciamo a trovarli, li useremo per dissociare il coefficiente \(\displaystyle b \) e riscrivere il polinomio nella forma \(\displaystyle p = ax^2 + (m + n) \cdot x + c \) su cui poi eseguire un raccoglimento parziale.
Un po' difficile da memorizzare, spesso faccio confusione con la regola del caso \(\displaystyle a = 1 \) del trinomio particolare. Ma... dovrò abituarmici.
"phi.89":
La regola esiste ed è questa:
Io dicevo in generale, anche per polinomi di grado superiore al secondo: quella regola vale solo per i trinomi di secondo grado.
"phi.89":
Un po' difficile da memorizzare, spesso faccio confusione con la regola del caso \(\displaystyle a = 1 \) del trinomio particolare. Ma... dovrò abituarmici.
La regola che dai relativamente ad $a!=1$ può essere applicata anche nel caso $a=1$ e va tutto bene. L'unica vera differenza è che in quest'ultimo caso si possono trascurare i passaggi intermedi e scrivere subito il risultato, ma lo si ottiene comunque.
Naturalmente mi riferisco ai polinomi di secondo grado o riconducibili ad essi.
21.4. Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
d ) \(\displaystyle −x^6 + 7x^5 − 10x^4 = 0 \);
Qui l'unica cosa che mi viene in mente è scomporre con Ruffini fino a quando non ottengo un polinomio di secondo grado e poi applicare la regola del trinomio particolare. Esiste un metodo più sbrigativo?
d ) \(\displaystyle −x^6 + 7x^5 − 10x^4 = 0 \);
Qui l'unica cosa che mi viene in mente è scomporre con Ruffini fino a quando non ottengo un polinomio di secondo grado e poi applicare la regola del trinomio particolare. Esiste un metodo più sbrigativo?
non scomporre dall'inizio con Ruffini
metti prima di tutto in evidenza $x^4$
metti prima di tutto in evidenza $x^4$
Giustooo! 
Grazie!
Grazie!
21.6 . Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
a ) \(\displaystyle −x^3 − 5x^2 − x − 5 = 0 \);
Scompongo con Ruffini;
\(\displaystyle (-x^2 - 1)(x + 5) = 0 \);
Scompongo la differenza di due quadrati nella prima parentesi;
\(\displaystyle (-x - 1)(-x + 1)(x + 5) = 0 \);
Le soluzioni sono:
\(\displaystyle x = - 5 \)
\(\displaystyle x = - 1 \)
\(\displaystyle x = 1 \)
Ma il libro mi dà come soluzione solo \(\displaystyle - 5 \). Cosa ho sbagliato?
a ) \(\displaystyle −x^3 − 5x^2 − x − 5 = 0 \);
Scompongo con Ruffini;
\(\displaystyle (-x^2 - 1)(x + 5) = 0 \);
Scompongo la differenza di due quadrati nella prima parentesi;
\(\displaystyle (-x - 1)(-x + 1)(x + 5) = 0 \);
Le soluzioni sono:
\(\displaystyle x = - 5 \)
\(\displaystyle x = - 1 \)
\(\displaystyle x = 1 \)
Ma il libro mi dà come soluzione solo \(\displaystyle - 5 \). Cosa ho sbagliato?
"phi.89":
$(-x^2 - 1)(x + 5) = 0 $;
Scompongo la differenza di due quadrati nella prima parentesi;
Ne sei sicura?
$(-x^2-1)=-(x^2+1)$
Vediamo se ho capito. \(\displaystyle x^2 + 1 = 0 \) non si può risolvere perché non esiste un numero che elevato al quadrato e sommato a \(\displaystyle 1 \) mi dà \(\displaystyle 0 \). Giusto?
"phi.89":
Vediamo se ho capito. \(\displaystyle x^2 + 1 = 0 \) non si può risolvere perché non esiste un numero che elevato al quadrato e sommato a \(\displaystyle 1 \) mi dà \(\displaystyle 0 \). Giusto?
Esattamente, trattasi di somma di quadrati.
@Zero87:
Potresti spiegarti meglio?
Ad esempio, nell'equazione \(\displaystyle x^2 + 3 = 0 \) non si tratta della somma di due quadrati, eppure il caso mi pare il medesimo.
Potresti spiegarti meglio?
Ad esempio, nell'equazione \(\displaystyle x^2 + 3 = 0 \) non si tratta della somma di due quadrati, eppure il caso mi pare il medesimo.
a parte il fatto che ogni numero positivo è il quadrato di due numeri reali opposti ( ),la questione è che l'equazione
$x^2+a=0$
non ha soluzione se a>0
),la questione è che l'equazione$x^2+a=0$
non ha soluzione se a>0
@raf85 & @Zero87:
Appunto. Allora, quadrati o no, diciamo subito le cose come stanno.
Perché, ad esempio, anche \(\displaystyle x^4 + a = 0 \) non ha soluzioni.
@Zero87:
Seguendo questo ragionamento, poi, non c'è bisogno di portare fuori il \(\displaystyle -1 \) dalla parentesi \(\displaystyle (-x^2 - 1) \) perché anche così, come vediamo, l'equazione \(\displaystyle -x^2 - 1 = 0 \) non ha soluzioni.
Quindi, tutto questo ambaradan è inutile.
Appunto. Allora, quadrati o no, diciamo subito le cose come stanno.
Perché, ad esempio, anche \(\displaystyle x^4 + a = 0 \) non ha soluzioni.
@Zero87:
Seguendo questo ragionamento, poi, non c'è bisogno di portare fuori il \(\displaystyle -1 \) dalla parentesi \(\displaystyle (-x^2 - 1) \) perché anche così, come vediamo, l'equazione \(\displaystyle -x^2 - 1 = 0 \) non ha soluzioni.
Quindi, tutto questo ambaradan è inutile.
chiudiamo la questione una volta per tutte
l'equazione
$x^n+a=0$,con n pari e a>0
non ha soluzione perchè non esiste nessun numero b tale che $b^n=-a$
l'equazione
$x^n+a=0$,con n pari e a>0
non ha soluzione perchè non esiste nessun numero b tale che $b^n=-a$
@raf85:
Questo solo nel campo dei numeri reali.
Questo solo nel campo dei numeri reali.
ovvio
ma non mi sembra il caso di scomodare,in questo ambito,i numeri complessi
ma non mi sembra il caso di scomodare,in questo ambito,i numeri complessi
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