Dubbi su esercizi del libro Algebra 1
Salve cari amici del forum! 
Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito!
Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Come promesso a me stessa sto facendo una super mega ripassata generale, e per fare questo sto usando gli ebook di questo sito! Scriverò in questo topic tutti i dubbi che incontrerò risolvendo gli esercizi proposti nel libro Algebra 1.
Esercizio 1.9 sulle proprietà delle operazioni.
Data la seguente operazione tra i numeri naturali \(\displaystyle a \circ b = 2 \cdot a + 3 \cdot b \), verifica se è:
a ) commutativa, cioè se \(\displaystyle a \circ b = b \circ a \);
b ) associativa, cioè se \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \);
c ) \(\displaystyle 0 \) è elemento neutro.
La a ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + 3b = 3b + 2a \);
La b ) è verificata perché:
\(\displaystyle 2a + (3b + c) = (2a + 3b) + c \);
La c ) è verificata perché:
\(\displaystyle 0 + 2a + 3b = 2a + 3b \).
Ho fatto bene?
Soprattutto poi, non capisco cosa vuol dire quel simbolo del cerchietto. Spiegatemi...
Risposte
Rispondo con calma. 
Allora
Comunque $3$ è il quadrato di $\sqrt(3)$ (e anche di $-\sqrt(3)$ ma fa lo stesso). In generale però un discorso del genere viene riassunto come "somma di due quantità positive" che fa lo stesso. Come dice raf85
che è quanto appena detto.
I know, l'ho fatto solo per farti vedere meglio la situazione. Per estensione puoi concludere che la somma (algebrica) di due quantità sempre negative è sempre negativa e quindi mai nulla.
... anche perché ce ne sarebbero addirittura $n$ di soluzioni.
Allora
"phi.89":
Ad esempio, nell'equazione \(\displaystyle x^2 + 3 = 0 \) non si tratta della somma di due quadrati, eppure il caso mi pare il medesimo.
Comunque $3$ è il quadrato di $\sqrt(3)$ (e anche di $-\sqrt(3)$ ma fa lo stesso). In generale però un discorso del genere viene riassunto come "somma di due quantità positive" che fa lo stesso. Come dice raf85
"raf85":
la questione è che l'equazione
$ x^2+a=0 $
non ha soluzione se a>0
che è quanto appena detto.
"phi.89":
@Zero87:
Seguendo questo ragionamento, poi, non c'è bisogno di portare fuori il \( \displaystyle -1 \) dalla parentesi \( \displaystyle (-x^2 - 1) \) perché anche così, come vediamo, l'equazione \( \displaystyle -x^2 - 1 = 0 \) non ha soluzioni.
Quindi, tutto questo ambaradan è inutile.
I know, l'ho fatto solo per farti vedere meglio la situazione. Per estensione puoi concludere che la somma (algebrica) di due quantità sempre negative è sempre negativa e quindi mai nulla.
"phi.89":
Questo solo nel campo dei numeri reali.
"raf85":
ovvio
ma non mi sembra il caso di scomodare,in questo ambito,i numeri complessi
... anche perché ce ne sarebbero addirittura $n$ di soluzioni.
21.9. Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
b ) \(\displaystyle x^4 − 10x^3 + 35x^2 − 50x + 24 = 0; \)
Qui ho dovuto applicare Ruffini per due volte. Anche se le soluzioni mi vengono esatte, il procedimento mi sembra un po' lungo. Alternative?
b ) \(\displaystyle x^4 − 10x^3 + 35x^2 − 50x + 24 = 0; \)
Qui ho dovuto applicare Ruffini per due volte. Anche se le soluzioni mi vengono esatte, il procedimento mi sembra un po' lungo. Alternative?
"phi.89":
Qui ho dovuto applicare Ruffini per due volte. Anche se le soluzioni mi vengono esatte, il procedimento mi sembra un po' lungo. Alternative?
Non ce ne sono molte, a meno che non hai l'occhio allenato dopo molti esercizi e, ad esempio,
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24=x^4-4x^3-6x^3+24x^2+11x^2-44x-6x+24=$
$=x^3(x-4)-6x^2(x-4)+11x(x-4)-6(x-4)=(x^3-6x^2+11x-6)(x-4)$
ottenuto "sdoppiando ad hoc" i termini intermedi per poi raccogliere due a due.
Andando avanti
$x^3-6x^2+11x-6=x^3-2x^2-4x^2+8x+3x-6=x^2(x-2)-4x(x-2)+3(x-2)=(x^2-4x+3)(x-2)=(x-1)(x-3)(x-2)$.
Se ci pensi bene, tutti questi spezzettamenti interni non sono molto differenti rispetto ad usare Ruffini. In altre parole, usa Ruffini, poi se hai curiosità puoi vedere - una volta trovata una radice - che sfruttandola si può raccogliere il tutto.
Nota: da qui in poi sono "fantasie" - per non dire usuali parole volgari
- mentali, della serie CCCS (come complicare cose semplici: sigla presa da un post di giammaria): quindi se non capisci puoi saltare e passare oltre. Ti faccio un esempio pratico: trovi con Ruffini che una radice del polinomio di quarto grado è $1$, dunque il polinomio è divisibile per $(x-1)$.
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24$.
Cosa fai?
Prova a "isolare" questo "-1", in altre parole a dividere i termini in mezzo in modo che si possa raccogliere $x-1$.
$x^4-x^3-9x^3+9x^2+26x^2-26x-24x+24=x^3(x-1)-9x^2(x-1)+26x(x-1)-24(x-1)=$ ecc...
In pratica
- togli $-x^3$ dal termine di terzo grado (per raccogliere i primi due come detto) e quindi di resta un $-9x^3$
- togli $9x^2$ dal termine di secondo grado (per raccoglierlo con $-9x^3$ come detto) e ti resta un $26x^2$
- e così via fino alla fine.
Dunque, se hai l'occhio allenato il secondo procedimento "risparmia" Ruffini e si rivela più veloce semplicemente perché è la "mente" a dettare i passaggi intermedi ed è sempre la mente allenata a suggerirti il termine da isolare. Poi, certo, se le radici sono numeri irrazionali con l'occhio e la mente non si arriverà mai a nulla (ma anche con Ruffini non si ottiene tanto di più). Però, si può supporre che essendo esercizi per le secondarie, ci siano almeno un paio di soluzioni intere da trovare.
In realtà sono molto collegati questi due metodi perché entrambi si basano sul... come si chiama... mannaggia, non mi ricordo, intendo quel $1^4-10 \cdot 1^3+35 \cdot 1^2-50 \cdot 1+24=0$ che ti dice che tutto il polinomio si divide per $(x-1)$ (e lì si applica Ruffini).
Dimenticavo: questo trucchetto del quale non ricordo il nome si insegna ancora alle superiori?
@Zero87:
Grazie. Ho capito tutto perfettamente però mi conviene di più continuare ad applicare Ruffini alla solita maniera (parlo per me, che non ho, come dici tu, l'occhio allenato](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
).
Neanche io so come si chiama questo "trucchetto". Speriamo che intervenga qualcuno a illuminarci.
Comunque certo che s'insegna, infatti è fondamentale per scomporre un polinomio.
Oppure conosci alternative? 
Grazie. Ho capito tutto perfettamente però mi conviene di più continuare ad applicare Ruffini alla solita maniera (parlo per me, che non ho, come dici tu, l'occhio allenato
)."Zero87":
In realtà sono molto collegati questi due metodi perché entrambi si basano sul... come si chiama... mannaggia, non mi ricordo, intendo quel $1^4-10 \cdot 1^3+35 \cdot 1^2-50 \cdot 1+24=0$ che ti dice che tutto il polinomio si divide per $(x-1)$ (e lì si applica Ruffini).
Dimenticavo: questo trucchetto del quale non ricordo il nome si insegna ancora alle superiori?
Neanche io so come si chiama questo "trucchetto". Speriamo che intervenga qualcuno a illuminarci.
Comunque certo che s'insegna, infatti è fondamentale per scomporre un polinomio.
Oppure conosci alternative?
d ) \(\displaystyle −5x^4 + 125x^2 + 10x^3 − 10x − 120 = 0 \)
Il polinomio si annulla per \(\displaystyle x = 1 \);
Scompongo con Ruffini;
\(\displaystyle (-5x^3 + 120x^2 + 130x +120)(x - 1) = 0 \);
A questo punto dovrei scomporre il polinomio di terzo grado nella prima parentesi sempre con il metodo di Ruffini, ma ciò non mi sembra possibile. Non riuscendo a trovare nessuna \(\displaystyle x \) per cui il polinomio si annulla, disperata, ho controllato le soluzioni del libro e poi ho provato a sostituire la \(\displaystyle x \) con ciascuna delle soluzioni per vedere se il polinomio si annullava, ma ciò non avviene. Ho sbagliato io o il libro? Nel caso non si possa scomporre con Ruffini, allora come procedere?
Soluzioni del libro \(\displaystyle {1, −1, −4, +6} \).
Il polinomio si annulla per \(\displaystyle x = 1 \);
Scompongo con Ruffini;
\(\displaystyle (-5x^3 + 120x^2 + 130x +120)(x - 1) = 0 \);
A questo punto dovrei scomporre il polinomio di terzo grado nella prima parentesi sempre con il metodo di Ruffini, ma ciò non mi sembra possibile. Non riuscendo a trovare nessuna \(\displaystyle x \) per cui il polinomio si annulla, disperata, ho controllato le soluzioni del libro e poi ho provato a sostituire la \(\displaystyle x \) con ciascuna delle soluzioni per vedere se il polinomio si annullava, ma ciò non avviene. Ho sbagliato io o il libro? Nel caso non si possa scomporre con Ruffini, allora come procedere?
Soluzioni del libro \(\displaystyle {1, −1, −4, +6} \).
"phi.89":
d ) \(\displaystyle −5x^4 + 125x^2 + 10x^3 − 10x − 120 = 0 \)
Innanzitutto sempre meglio ridurre le costanti anche solo per semplificare i conti: ogni coefficiente è divisibile per $5$.
Ho rifatto i conti - non ho nemmeno diviso per 5 per seguire i tuoi - riordinando il polinomio (per comodità, nel tuo c'era il termine in $x^2$ prima di quello in $x^3$), utilizzando Ruffini in orizzontale come detto nel CCCS (
).Mi viene
$(-5x^3+5x^2+120x+120)(x-1)=0$
che credo sia (più) giusto semplicemente perché, ad esempio, si annulla per $x=-1$.
@Zero87:
Sì, avevo dimenticato di riordinare il polinomio prima di scomporre con Ruffini.
Ho rifatto i calcoli riordinando il polinomio e mi viene:
\(\displaystyle (-5x^3 + 5x^2 + 130x + 120)(x - 1) = 0 \).
Semplificando il polinomio invece, mi viene:
\(\displaystyle (-x^3 + 24x^2 + 26x + 24)(x - 1) = 0 \).
Niente da fare.
Sì, avevo dimenticato di riordinare il polinomio prima di scomporre con Ruffini.
Ho rifatto i calcoli riordinando il polinomio e mi viene:
\(\displaystyle (-5x^3 + 5x^2 + 130x + 120)(x - 1) = 0 \).
Semplificando il polinomio invece, mi viene:
\(\displaystyle (-x^3 + 24x^2 + 26x + 24)(x - 1) = 0 \).
Niente da fare.
"phi.89":
Niente da fare.
Hai semplificato male il termine in $x^2$: scommetto che avevi in mente ancora quel $120x^2$ - per questo hai scritto $24x^2$ dopo aver diviso per $5$.
@Zero87:
No! Prima ho diviso per 5 e poi ho applicato Ruffini, capito?
No! Prima ho diviso per 5 e poi ho applicato Ruffini, capito?
"phi.89":
@Zero87:
No! Prima ho diviso per 5 e poi ho applicato Ruffini, capito?
Ah, sono 2 cose diverse?
Credevo che il secondo fosse la semplificazione del primo: chiedo venia.
Quindi il primo è quello ottenuto applicando Ruffini a secco mentre il secondo è quello ottenuto semplificando e poi applicando Ruffini?
Comunque, se prendiamo l'equazione di partenza e la dividiamo ambo i membri per un bel 5, otteniamo
$-x^4+2x^3+25x^2-2x-24=0$.
Tutto ok fino a qui?
Se sì, dividendo per $x-1$ ottengo (non posto i calcoli) ottengo quello che avrei ottenuto semplificando. Tralasciando la tabellina di Ruffini, possiamo fare la controprova
$(-x^3+x^2+26x+24)(x-1)=-x^4+x^3+26x^2+24x+x^3-x^2-26x-24=-x^4+2x^3+25x^2-2x-24$
che è il polinomio di partenza... fossi in te controllerei la divisione.
"Zero87":
possiamo fare la controprova
Ooops! Ho dimenticato di riordinare il polinomio, di nuovo.
Adesso mi metto a bestemmiare.
Allora ho diviso per \(\displaystyle 5 \), ho riordinato il polinomio, ho scomposto con Ruffini ed ho ottenuto:
\(\displaystyle (-x^3 + x^2 + 26x + 24)(x - 1) = 0 \)
Tutto ok.
"Zero87":
Ah, sono 2 cose diverse?
No no, avevi ragione tu.
Ehm... State dimenticando che non si può dividere per 5 solo perché ci piace; si può invece mettere il 5 in evidenza, ottenendo
$5(x-1)(-x^3+x^2+26x+24)$
Inoltre il polinomio è ulteriormente scomponibile con Ruffini.
$5(x-1)(-x^3+x^2+26x+24)$
Inoltre il polinomio è ulteriormente scomponibile con Ruffini.
"giammaria":
Ehm... State dimenticando che non si può dividere per 5 solo perché ci piace.
I know, però phi.89 aveva messo un bell'uguale a zero nell'esercizio, dunque in un'equazione si possono dividere ambo i membri per una costante.
In pratica davo per scontato che il polinomio era uno dei due membri di un'equazione.
Cito
"phi.89":
d ) \( \displaystyle −5x^4 + 125x^2 + 10x^3 − 10x − 120 = 0 \)
Il polinomio si annulla per \( \displaystyle x = 1 \);
e nei post successivi - anche se io per semplificare le idee lo nascondo - compare sempre un $=0$.
Che poi, magari, entrambi ci siamo persi l'uguale a zero da qualche parte è un altro paio di maniche.
Se è un polinomio, ok, si mette in evidenza, se è un'equazione pure, ma alla fine se c'è lo zero dall'altra parte si può togliere quel cinque da lì sfruttando il secondo principio di equivalenza delle equazioni (si divide ambo i membri per una stessa quantità non nulla).
"giammaria":
Ehm... State dimenticando che non si può dividere per 5 solo perché ci piace; si può invece mettere il 5 in evidenza, ottenendo
$5(x-1)(-x^3+x^2+26x+24)$
Quando ho detto che dividevo per \(\displaystyle 5 \) mi riferivo all'equazione originaria, che è:
\(\displaystyle -5x^4 + 125 x^2 + 10x^3 -10x - 120 = 0 \).
"giammaria":
Inoltre il polinomio è ulteriormente scomponibile con Ruffini.
Questo lo so.
Infatti viene:
\(\displaystyle (-x^2 + 2x + 24)(x + 1)(x - 1) = 0 \);
Applico la regola del trinomio particolare nella prima parentesi e ottengo:
\(\displaystyle (-x - 4)(x - 6)(x + 1)(x - 1) = 0 \).
I risultati sono:
\(\displaystyle -4, 6, -1, 1 \);
e mi ritrovo con il libro!
21.10. Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.
d ) \(\displaystyle (x - 4)^3 (2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^9 = 0 \);
Come posso scomporre questa equazione?
Non mi viene in mente niente, a parte risolvere il cubo di binomio e scomporre la seconda parentesi in quattro quadrati di polinomio + 1. Non so se mi sono spiegata. Così:
\(\displaystyle (x^3 - 12x^2 + 48x - 64)(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16) = 0 \).
Ma possibile che devo risolvere tutti questi calcoli?
d ) \(\displaystyle (x - 4)^3 (2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^9 = 0 \);
Come posso scomporre questa equazione?
Non mi viene in mente niente, a parte risolvere il cubo di binomio e scomporre la seconda parentesi in quattro quadrati di polinomio + 1. Non so se mi sono spiegata. Così:
\(\displaystyle (x^3 - 12x^2 + 48x - 64)(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^2(2x^3 - 4x^2 - 8x + 16) = 0 \).
Ma possibile che devo risolvere tutti questi calcoli?
"phi.89":
Non mi viene in mente niente, a parte risolvere il cubo di binomio e scomporre la seconda parentesi in quattro quadrati di polinomio + 1. Non so se mi sono spiegata.
Sinceramente mi sembra contorto come ragionamento.
Ok, $(x-4)^3$ è a posto così perché equivale a $(x-4)(x-4)(x-4)$.
Sinceramente per l'altro lo scomporrei - se te la senti raccoglierei un $2$ all'interno per poi portare fuori un $2^9$ e eliminarlo pure - per poi ottenere qualcosa del tipo $(ax+b)^9 (cx+d)^9 (ex+f)^9$...
Ammesso che si possa scomporre, se c'è qualcosa tipo un falso quadrato che, dunque, non si annulla mai, si può anche eliminare e basta dal momento che siamo in un contesto di equazione e non di polinomio.
No assolutamente, meglio scomporre, non la sapresti mica risolvere dopo aver fatto tutti i conti.
$(x - 4)^3 (2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^9 = 0$ diventa
$(x - 4)^3 [2x^2(x-2)-8(x-2)]=0$
$(x - 4)^3 (2x^2-8)(x-2)=0$
$(x - 4)^3 *2*(x^2-4)(x-2)=0$
$(x - 4)^3 *2*(x+2)(x-2)(x-2)=0$ infine
$(x - 4)^3 *2*(x+2)(x-2)^2=0$
adesso devi applicare la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è 0 solo se uno dei fattori è 0.
l'esercizio si scompone, quindi, in 3 equazioni:
$(x - 4)^3 =0$ che si annulla se $x-4=0$ cioè $x=4$
$x+2=0$ che si annulla per $x= -2$
$(x-2)^2=0$ che si annulla se $x-2=0$ cioè $x=2$
$(x - 4)^3 (2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)^9 = 0$ diventa
$(x - 4)^3 [2x^2(x-2)-8(x-2)]=0$
$(x - 4)^3 (2x^2-8)(x-2)=0$
$(x - 4)^3 *2*(x^2-4)(x-2)=0$
$(x - 4)^3 *2*(x+2)(x-2)(x-2)=0$ infine
$(x - 4)^3 *2*(x+2)(x-2)^2=0$
adesso devi applicare la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è 0 solo se uno dei fattori è 0.
l'esercizio si scompone, quindi, in 3 equazioni:
$(x - 4)^3 =0$ che si annulla se $x-4=0$ cioè $x=4$
$x+2=0$ che si annulla per $x= -2$
$(x-2)^2=0$ che si annulla se $x-2=0$ cioè $x=2$
"Zero87":
Ok, $(x-4)^3$ è a posto così perché equivale a $(x-4)(x-4)(x-4)$.
Ok.
"Zero87":
Sinceramente per l'altro lo scomporrei - se te la senti raccoglierei un $2$ all'interno per poi portare fuori un $2^9$ e eliminarlo pure - per poi ottenere qualcosa del tipo $(ax+b)^9 (cx+d)^9 (ex+f)^9$...
Come, così?
\(\displaystyle (x - 4)^3[2(x^3 - 2x^2 - 4x + 8)]^9 = 0 \);
\(\displaystyle (x - 4)^3[2(x^2 - 4)(x - 2)]^9 = 0 \);
\(\displaystyle (x - 4)^3[2(x + 2)(x - 2)(x - 2)]^9 = 0 \).
Soluzioni:
\(\displaystyle 4, -2, 2 \)
@@melia:
Io ho risolto come sopra, va bene?
Ottimo!
21.14. Risolvere la seguente equazione riconducendola a una equazione di primo grado.
\(\displaystyle (x^4 + 3x^3 − 3x^2 − 11x − 6)(4x^6 − 216x^3 + 2916) = 0 \);
Raccolgo il 4 nella seconda parentesi;
\(\displaystyle 4(x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 11x - 6)(x^6 - 54x^3 + 729) = 0 \);
Scompongo la prima parentesi con Ruffini;
\(\displaystyle 4(x^3 + 2x^2 - 5x - 6)(x + 1)(x^6 - 54x^3 + 729) = 0 \);
Scompongo ulteriormente con Ruffini e applico la regola del trinomio particolare nella terza parentesi;
\(\displaystyle 4(x^2 - 5)(x + 1)(x + 1)(x^3 - 27)(x^3 - 27) = 0 \);
Risultati:
\(\displaystyle \sqrt{5}, -\sqrt{5}, -1, 3 \);
Risultati del libro:
\(\displaystyle −1, +2, +3, −3 \).
Dove ho sbagliato?
Poi non mi è chiaro, come si risolve \(\displaystyle x^3 - 27 = 0 \)? Io ho pensato che, in questo caso, l'unico numero per cui l'equazione si annulla è \(\displaystyle \sqrt[3]{27} \) che è uguale a \(\displaystyle 3 \), quindi ha una sola soluzione. Giusto?
\(\displaystyle (x^4 + 3x^3 − 3x^2 − 11x − 6)(4x^6 − 216x^3 + 2916) = 0 \);
Raccolgo il 4 nella seconda parentesi;
\(\displaystyle 4(x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 11x - 6)(x^6 - 54x^3 + 729) = 0 \);
Scompongo la prima parentesi con Ruffini;
\(\displaystyle 4(x^3 + 2x^2 - 5x - 6)(x + 1)(x^6 - 54x^3 + 729) = 0 \);
Scompongo ulteriormente con Ruffini e applico la regola del trinomio particolare nella terza parentesi;
\(\displaystyle 4(x^2 - 5)(x + 1)(x + 1)(x^3 - 27)(x^3 - 27) = 0 \);
Risultati:
\(\displaystyle \sqrt{5}, -\sqrt{5}, -1, 3 \);
Risultati del libro:
\(\displaystyle −1, +2, +3, −3 \).
Dove ho sbagliato?
Poi non mi è chiaro, come si risolve \(\displaystyle x^3 - 27 = 0 \)? Io ho pensato che, in questo caso, l'unico numero per cui l'equazione si annulla è \(\displaystyle \sqrt[3]{27} \) che è uguale a \(\displaystyle 3 \), quindi ha una sola soluzione. Giusto?
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