Domanda su disequazioni
Ho un dubbio sulle disequazioni in generale: mi è sempre stato insegnato di risolvere dìle disequazioni fratte e prodotto col maggiore indipendentementa dal segno di questa e solo alla fine considerare il segno della disequazione di partenza. Ma non mi sono mai chiesto il perchè. Se non rispettassi la regola, pechè la disequazione dovrebbe venire sbagliata?
Risposte
Allora … premettiamo che dovresti sforzarti di esprimerti meglio, nel senso di essere più preciso, perché volendo essere rigorosi quello che hai scritto significa poco …
Assumendo che tu intenda dire che quando si vuole risolvere una disequazione fratta, la tecnica (e non la "regola") frequentemente usata sia quello di studiare, separatamente, il segno di numeratore e denominatore, la motivazione per cui si fa questo è semplicissima: il segno di un prodotto (o di una divisione, che però di fatto è ancora un prodotto) dipende da quello dei suoi fattori quindi è più semplice (generalmente) studiare questi che l'espressione completa.
Studiare il segno di un'espressione, in generale, significa trovare i valori per cui quell'espressione è positiva, negativa o nulla; quindi, di fatto, è indifferente porre quell'espressione maggiore o minore di zero, in quanto le soluzioni che troverai ti diranno in quale intervallo tale espressione è positiva o negativa e di conseguenza negli altri intervalli sarà vero il contrario (escluso i punti dove si annulla).
Cordialmente, Alex
Assumendo che tu intenda dire che quando si vuole risolvere una disequazione fratta, la tecnica (e non la "regola") frequentemente usata sia quello di studiare, separatamente, il segno di numeratore e denominatore, la motivazione per cui si fa questo è semplicissima: il segno di un prodotto (o di una divisione, che però di fatto è ancora un prodotto) dipende da quello dei suoi fattori quindi è più semplice (generalmente) studiare questi che l'espressione completa.
Studiare il segno di un'espressione, in generale, significa trovare i valori per cui quell'espressione è positiva, negativa o nulla; quindi, di fatto, è indifferente porre quell'espressione maggiore o minore di zero, in quanto le soluzioni che troverai ti diranno in quale intervallo tale espressione è positiva o negativa e di conseguenza negli altri intervalli sarà vero il contrario (escluso i punti dove si annulla).
Cordialmente, Alex
In effetti provando, ho scoperto che era indifferente porre l'espressione maggiore o minore di zero, ma mi hanno detto che non sempre funzionava. Evidentemente ciò non è vero. Grazie per il chiarimento.
Scusate se riprendo, ma mi è sorto un dubbio a riguardo: se la disequazione è del tipo $f(x)/(g(x))<0$ perchè se studio numeratore col maggiore e denominatore col minore o viceversa è sbagliato, mentre sudiandoli entrambi col maggiore viene giusto?
Non è sbagliato, è indifferente, l'importante è trarre le conclusioni corrette da quello che fai …
Il consiglio che si dà di solito è quello di porre entrambi maggiori (o uguali se del caso) di zero al fine di avere una procedura standard che evita di "pensare" ogni volta quale sia l'insieme soluzione.
Però va da sé che basta riflettere su quel che si fa per non sbagliare …
Cordialmente, Alex
Il consiglio che si dà di solito è quello di porre entrambi maggiori (o uguali se del caso) di zero al fine di avere una procedura standard che evita di "pensare" ogni volta quale sia l'insieme soluzione.
Però va da sé che basta riflettere su quel che si fa per non sbagliare …
Cordialmente, Alex
Ok, evidentemente non usando la procedura standard, non traggo le giuste conclusioni. Se per esempio prendo questa
disequazione: $(x-2)/(x-3)<0$, studio numeratore e denominatore col maggiore e ootengo $x>2$ e $x>3$, poi dal grafico dei segni capisco che il rapporto è negativo qquando prendo valori compresi tra $2$ e $3$, $2
disequazione: $(x-2)/(x-3)<0$, studio numeratore e denominatore col maggiore e ootengo $x>2$ e $x>3$, poi dal grafico dei segni capisco che il rapporto è negativo qquando prendo valori compresi tra $2$ e $3$, $2
Non ho capito molto del tuo ragionamento … saresti così gentile da riportare il grafico dei segni dell'ultimo caso?
Cioè numeratore posto maggiore di zero e denominatore minore di zero?
Cioè numeratore posto maggiore di zero e denominatore minore di zero?
Ecco qua.
Come sospettavo ...
Cosa sono "le soluzioni" della disequazione $x-3<0$?
Sono l'insieme dei valori da dare all'incognita $x$ tali da rendere vera la disequazione in esame.
Quindi nel nostro caso l'intervallo $x<3$ è quello che soddisfa la disequazione $x-3<0$ ovvero che rende NEGATIVO il denominatore.
E allora perché nel tuo grafico dei segni lo denoti come POSITIVO?
Cordialmente, Alex
Cosa sono "le soluzioni" della disequazione $x-3<0$?
Sono l'insieme dei valori da dare all'incognita $x$ tali da rendere vera la disequazione in esame.
Quindi nel nostro caso l'intervallo $x<3$ è quello che soddisfa la disequazione $x-3<0$ ovvero che rende NEGATIVO il denominatore.
E allora perché nel tuo grafico dei segni lo denoti come POSITIVO?
Cordialmente, Alex
Ma io nel grafico ho messo $x<3$. Quello che denonoto con $x>3$ è l'intervallo in cui la frazione risulta negativa.
Non c'è la posso fare ... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Tu, nel grafico dei segni, hai messo una linea continua (che significa valore positivo) alla prima riga (cioè al denominatore che corrisponde all'espressione $x-3$) nell'intervallo $x<3$ ma lì il denominatore è NEGATIVO (d'altronde basta provare a metterci qualche valore come zero o uno per verificarlo)
Tu, nel grafico dei segni, hai messo una linea continua (che significa valore positivo) alla prima riga (cioè al denominatore che corrisponde all'espressione $x-3$) nell'intervallo $x<3$ ma lì il denominatore è NEGATIVO (d'altronde basta provare a metterci qualche valore come zero o uno per verificarlo)
Nella prima riga dal basso c'è il segno di $x-2>0$, nella seconda c'è il segno di $x-3<0$
Scusate se riprendo, ma vorrei chiarire i dubbi: se ho una disequazione del tipo: $(f(x))/(g(x))<0$, risolvendo numeratore e denominatore col maggiore e poi andando a prendere gli intervalli di negatività il risultato viene corretto, ma studiando numeratore col maggiore e denominatore col minore o viceversa dato che il rapporto deve essere negativo, e poi andando a prendere i segni giusti, il risultato non viene giusto. Potreste chiarirmi il perchè? Lo stesso vale per le disequazioni prodotto.
Perché sbagli, semplice ...
Quello di cui non ti rendi conto è il fatto che quando "risolvi" una disequazione, qualsiasi disequazione, qualsiasi verso abbia, tu trovi uno o più intervalli che soddisfano la disequazione (cioè che la rendono vera) e CONTEMPORANEAMENTE trovi anche gli intervalli che NON la soddisfano (cioè che la rendono falsa) e come "bonus" anche i punti che la rendono un'uguaglianza.
Di conseguenza se inverti il verso di una disequazione non fai altro che far diventare "buoni" gli intervalli "cattivi" e viceversa; tutto qui ...
Quello di cui non ti rendi conto è il fatto che quando "risolvi" una disequazione, qualsiasi disequazione, qualsiasi verso abbia, tu trovi uno o più intervalli che soddisfano la disequazione (cioè che la rendono vera) e CONTEMPORANEAMENTE trovi anche gli intervalli che NON la soddisfano (cioè che la rendono falsa) e come "bonus" anche i punti che la rendono un'uguaglianza.
Di conseguenza se inverti il verso di una disequazione non fai altro che far diventare "buoni" gli intervalli "cattivi" e viceversa; tutto qui ...
Considero per esempio la disequazione: $(x-4)/(x+6)<0$. La regola classica dice di studiare separatamente numeratore e denominatore maggiori di zero, facendo questo ottengo N:$x>4$ e D:$x> -6$. Poi vado a rappresentare gli intervalli nel grafico dei segni e va do a prendere le zone di negatività, ovvero $-64$ e $x<-6$. Quando vado a metterli nel grafico dei segni, che intervallo/i devo andare a considerare?
Che tu studi il caso $<0$ o il caso $>0$ il quadro dei segni ti viene uguale, se non ti viene uguale vuol dire che hai sbagliato qualcosa. Non puoi mettere i $+$ dove una quantità è negativa.
Allora il mio errore sta nel studiare numeratore e denominatore con segni diversi. Ma questo l'ho fatto perchè ho ragionato così: se il verso della frazione è maggiore, vuol dire che numeratore e denominatore sono entrambi o positivi o negativi, ma se il verso è minore, allora numeratore e denominatore hanno segni discordi. A quanto pare però non funziona così. Potreste chiarirmi perchè?
Ma funziona così ...
Se N e D sono concordi (di segno) allora la frazione è positiva, se N e D sono discordi allora la frazione è negativa. Punto.
Se N e D sono concordi (di segno) allora la frazione è positiva, se N e D sono discordi allora la frazione è negativa. Punto.
E quindi è giusto studiare numeratore col maggiore e denominatore col minore o viceversa?
Secondo me stai/stiamo facendo "tanto rumore per nulla". Manda la foto dello schema perpiacere.
Questo è l'applicazione del metodo giusto, ma il risultato viene sbagliato.
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