Domanda su disequazioni

[oleg.fresi]

Ho un dubbio sulle disequazioni in generale: mi è sempre stato insegnato di risolvere dìle disequazioni fratte e prodotto col maggiore indipendentementa dal segno di questa e solo alla fine considerare il segno della disequazione di partenza. Ma non mi sono mai chiesto il perchè. Se non rispettassi la regola, pechè la disequazione dovrebbe venire sbagliata?

[StellaMartensitica]

il risultato viene sbagliato perché hai sbagliato a mettere i segni. Suppongo che la prima riga sia il segno del numeratore: tu hai scritto che per x>4 il mumeratore a segno negativo. Perché?

Io lo schema preferisco farlo diverso di solito. Dove hai la linea continua vuol dire che ha segno più?

[Zero87]

@Zfres, per favore, ti sembra questo il modo di scrivere un post dopo più di 1500 messaggi?
Non sai fare i grafici? Nemmeno io (e di messaggi ne ho scritti 5000 e passa). Però, per favore, invece di postare pezzi di paint, ingegnamoci un po', ti faccio un esempio
$\frac{x-4}{x+6} < 0$
Studio
$x-4>0 \qquad \qquad x>4$
$x+6>0 \qquad \qquad x> -6$
(ed è qui l'errore perché o studi quando sono tutti maggiori o quando sono tutti minori)
poi, come dicevo, ingegnati se non sai fare i grafici
........-6.........4
--------|----------|------->
--------o++++++|++++++
--------|----------o++++++
piùùùù,menoooo,piùùùù[nota]Se metto i simboli li vedo appiccicati, in qualche modo mi ignegno per il risultato complessivo. [/nota]
dove la prima è $x> -6$ e la seconda è $x>4$.

Con l'anteprima dei messaggi vedi se il grafico con i simboli viene allineato. Il trucco è farlo piccolo così non succedono casini con gli schermi più piccoli.

Ti chiedo un po' di impegno, @Zfres.

EDIT
Sul cellulare il grafico vedo che è una schifezza, però il discorso non cambia, usa di più le formule, cerca di metterci più impegno per rispetto degli utenti che ti rispondono, grazie.

[StellaMartensitica]

Non sapevo si potesse fare così.

[oleg.fresi]

Ok, scusate, adesso non postrò più immagini. Quel che ha detto Zero, ovvero studiare numeratore e denominatore o col maggiore o col minore và contro quel che ho detto io qualche post fà

se il verso è minore, allora numeratore e denominatore hanno segni discordi

. Allora è sbagliato, ma perchè?

[axpgn]

@Sir
È una questione di concetto non del singolo esercizio ...

@Zfres
È Indifferente!!!!!
Il commento di Zero87 era un consiglio di buon senso come quello di studiarli sempre tutti e due come maggiori di zero, ma è indifferente come li studi. I N D I F F E R E N T E.
Il fatto che non ti sia ancora chiaro questo fatto dopo tanto tempo è IL problema, non la disequazione in sé.
Il grafico dei segni che hai postato è sbagliato.

[axpgn]

@Zfres
L'espressione $x+6$ quando è positiva? Quando è negativa? Quando è nulla?
Attenzione, non sto parlando di disequazioni, segni o versi, le domande che ho fatto danno SEMPRE lo stesso risultato, qualsiasi disequazione appartenga l'espressione. Di più, puoi rappresentare questa espressione sulla linea dei numeri (reali) indipendentemente da disequazione, equazioni e quant'altro; fallo e fallo per bene, magari con una legenda che elenchi i simboli rappresentati.

[oleg.fresi]

Ma se è indifferente, allora perchè i risultati vengono diversi? Potresti spiegarmi dove sbaglio nel grafico?

[axpgn]

Fai quello che ho detto qui sopra ...

[oleg.fresi]

Quell'espressione è positiva per $x>-6$, è negativa per $x<-6$ ed è nulla per $x=-6$. Tutto ruota attorno a 6.
Rappresentandola sulla retta reale: ----------o+++++++
-6
Il problema è quando devo studiare il segno di un rapporto. Se l'intero rapporto è negativo, deve essere negativo o il numeratore o il denominatore. Come devo esprimerlo nel quadro dei segni?

[axpgn]

Lascia stare le disequazioni per ora; come detto sopra quella rappresentazione che hai appena scritto vale SEMPRE, non dipende dalla disequazione a cui "appartiene", chiaro questo? Perché il nocciolo della questione è tutto qui.
Dato che quello che ho scritto è vero perché allora la rappresentazione che hai scritto qui sopra è diversa da quella che hai scritto nella foto che hai postato?
Riflettici, riflettici, riflettici.

[Zero87]

"axpgn":@Zfres
È Indifferente!!!!!
Il commento di Zero87 era un consiglio di buon senso come quello di studiarli sempre tutti e due come maggiori di zero, ma è indifferente come li studi. I N D I F F E R E N T E.

Confermo, ho ripreso @Zfres per le molte immagini e non ho pensato che ho usato il metodo a cui sono abituato.
La differenza - e parlo secondo me - è che il metodo che uso io mi sembra più semplice perché si tratta di uno studio del segno "classico" senza mescolanze di segni dove poi si seleziona la parte che ci interessa alla fine.
Ci sono molti e molti modi per studiare queste disequazioni, ma alla fine, a prescindere dal modo, se il modo è corretto il risultato è quello.

Tornando a prima

"ZfreS":Ok, scusate, adesso non postrò più immagini.

puoi postare immagini ma è sconsigliato perché i siti host di immagini possono cancellare le immagini senza preavviso, poi restano post senza testi e/o discussioni troncate nelle quali non ci si capisce niente. Mi hai indispettito - e perdonami se posso averti urtato nella risposta, non è il mio obiettivo - perché hai all'attivo 1500 messaggi e più, quindi potresti usare almeno le formule...

"ZfreS":Se l'intero rapporto è negativo, deve essere negativo o il numeratore o il denominatore. Come devo esprimerlo nel quadro dei segni?

Nel quadro dei segni, a prescindere dal metodo che usi, basta che metti i "+" dove il termine è positivo e "-" dove il termine è negativo.
Quindi se poni (es.) $x-4>0$ hai $x>4$ e a destra del $4$ ci sono i "+" e a sinistra i "-". Se invece poni $x-4<0$ hai $x<4$ ma, ugualmente, a destra del $4$ ci sono i "+" e a sinistra i "-" perché il segno del termine resta uguale a prescindere dalla zona che ti interessa. In altre parole $x-4$ è una quantità che a prescindere dall'ottica in cui la guardi, per $x>4$ è positiva e per $x<4$ è negativa.

[oleg.fresi]

Ok. Il mio discorso è partito non dal fatto di non saper risolvere le disequazioni, ma capire se si potessero usare altri metodi oltre a quello tradizionale. Zero ha detto che ci sono tantissimi modi per risolverle. Potresti linkarmi qualche fonte da cui attingere, perchè a scuola insegnano solo quel metodo.
@ axpgn Potresti dirmi direttamente come andrebbe interpretato il gafico nel caso in cui studio numeratore e denominatore con segni diversi?

[Zero87]

"ZfreS":Zero ha detto che ci sono tantissimi modi per risolverle.

Eccomi, eccomi... Non scappo, sono ancora qui... è che al di fuori di qui sono pur sempre un impiegato in azienda.

Allora, "tantissimi" è un'iperbole, comunque ne conosco 4 e te li dico. Non so che link darti a dire il vero.

In ingresso hai una disequazione da studiare e devi fare lo studio del segno.

1.
Il più semplice, secondo me, consiste nello scomporre la disequazione e vedere dove sono positivi i singoli termini per poi tirare le somme.
Esempio pratico $\frac{x-1}{x+2}<0$
$x-1>0 \qquad x>1$
$x+2>0 \qquad x> -2$
poi si fa il grafico
....-2.....1.....
-----|-----|----->
-----|-----o++++
-----o+ ++|++++
piùù meno piùù
tra l'altro prometto che mi impegnerò a fare di meglio e a dare l'esempio da bravo mod e a fare qualche grafico, intanto me la cavo così. Comunque, volendo sapere dove è negativa, l'intervallo è quello al centro, quindi $-2 Attenzione: questo metodo funziona a prescindere dai termini, sia che ce ne sono 2, sia che ce ne sono 50...

2.
Il metodo che hai usato tu, ovvero studiare dove hanno segno "opposto". Quindi, prendendo l'esempio precedente,
$x-1> 0$ e $x+2<0$
$x-1<0$ e $x+2>0$
visto che vogliamo che sia negativa la disequazione totale. Occhio che questi sono due sistemi le cui soluzioni vanno unite, quindi ho idea che lo studio del segno non serva a granché ma basta trattarle come sistemi. In altre parole
${ ( x-1 > 0 ),( x+2 < 0 ):} \qquad \rightarrow \qquad { ( x > 1 ),( x < -2 ):}$
nessuna soluzione, unito a
${ ( x-1 < 0 ),( x+2 > 0 ):} \qquad \rightarrow \qquad { ( x < 1 ),( x > -2 ):}$
che dà $-2 Attenzione. Questo metodo funziona solamente se hai due termini, in casi più complessi diventi matto perché devi considerare tutte le alternanze di segno secondo la regola "più per meno = meno" "meno per più = meno", ...
Esempio pratico, come agiresti in questo caso con il tuo metodo?
$\frac{x(x-1)}{x+2}<0$
dovresti fare tutte le combinazioni di segno che danno "meno" come risultato finale... un po' troppo complesso, meglio il primo metodo.

3.
Come il numero 1. ma si vede dove i termini sono negativi, poi si fa lo studio del segno in modo analogo al 1. Secondo me dà confusione...

4.
Metodo utilizzato solo per le disequazioni del tipo $ax^2+bx+c > 0$ (o minore, non cambia), in altre parole quando c'è una parabola.
In questo metodo:
- si trovano le radici della corrispondente equazione di secondo grado, $ax^2+bx+c =0$ esse sono $x_1$ e $x_2$ dove pongo per semplicità $x_1 < x_2$;
- si vede il segno di $a$, se è positivo, la parabola ha la concavità verso l'alto, quindi la soluzione è $xx_2$, se $a$ è negativo, la soluzione è $x_1 < x < x_2$.
Si tratta di un metodo che va molto di moda in scuole extraliceali (quando studiavo io, ora non saprei).
Ovviamente se si vuole risolvere $ax^2+bx+c < 0$ con il minore, basta prendere il contrario come soluzioni.
Esempio pratico perché forse non si è capito niente
$x^2+2x-3<0$
- risolvo $x^2+2x-3=0$ e ottengo $x_1 = 1$ e $x_2 = -3$;
- il coefficiente del termine di grado massimo è positivo, quindi basterebbe $x> -3$ e $x<1$ ma siccome si chiede dov'è negativa, vale il complementare dell'intervallo rispetto a $\RR$ dunque $-3
Si è capito qualcosa? Lo spero.

[oleg.fresi]

Ti ringrazio tantissimo di avermi esposto i vari metodi di risoluzione. Sei stato chiarissimo. Quel che vorrei dire è che ciò che sbagliavo stava nel pensare di rsiolvere la fratta studiando numeratore e denominatore con segni alterni senza fare due sistemi ma applicando la regola dei segni. Fin dall'inizio bastava dirmi questo, per chi lo aveva capito. Tutto qui. Grazie ancora per l'esaustiva risposta.

[axpgn]

No, no e no.
Non è necessario fare due sistemi.

Dopo tanti messaggi ancora non hai capito la cavolata che hai scritto qui

"ZfreS":

Se scrivi $x+6<0$ vuol dire che stai cercando i valori della $x$ che rendono negativa l'espressione $x+6$ ma tu, nel grafico dei segni, riporti quell'intervallo come positivo.
Non è il metodo che è sbagliato ma solo un banale errore tuo …

[oleg.fresi]

Forse non ha capito cosa volevo fare nel grafico. $x<-6$ è rappresentato dalla linea continua che và verso sinistra verso numeri negativi. A destra invece non è verificata e quindi la linea è trateggiata. Il segno sopra invece è dato dal prodotto tra il segno di una e dell'altra disequazione. Dici che avrei dovuto trateggiare a sinitra di $-6$ ?

[axpgn]

Bene, allora è anche peggio di quanto pensavo …

Scrivi la linea continua per dire che è verificata la disequazione ma non ti preoccupi di cosa significhi questo fatto e quindi poi la prendi come positiva perché l'hai disegnata continua …

[oleg.fresi]

Beh, ho sempre pensato che la linea continua volesse dire positività e quella trateggiata negatività. Ho sempre risolto correttamente le disequazioni e ora scopro che ho sempre sbagliato.

[Zero87]

Anche per questo consiglio di studiare il segno in modo classico (quello che ho chiamato metodo 1 e che uso anch'io)...

[oleg.fresi]

Va bene, possiamo chiudere la discussione. Grazie per il contributo di tutti!