Domanda su disequazioni

[oleg.fresi]

Ho un dubbio sulle disequazioni in generale: mi è sempre stato insegnato di risolvere dìle disequazioni fratte e prodotto col maggiore indipendentementa dal segno di questa e solo alla fine considerare il segno della disequazione di partenza. Ma non mi sono mai chiesto il perchè. Se non rispettassi la regola, pechè la disequazione dovrebbe venire sbagliata?

[gugo82]

Prego, Oleg, figurati.

Osserva una cosa importante (e sulla quale molti studenti, anche tra i miei, fanno confusione): quando si risolve un sistema di disequazioni si devono disegnare nel grafico solo le linee continue che rappresentano le soluzioni delle varie disequazioni coinvolte; le linee tratteggiate non si devono disegnare!

Ad esempio, supponiamo di voler risolvere il sistema:
\[
\begin{cases}
x^2 - 1 \leq 0 \\
(x+1)x(x -2) > 0
\end{cases} \; .
\]
La strategia di attacco è quella di risolvere separatamente le due disequazioni del sistema, ricorrendo (se serve) allo studio del segno; dopodiché, si riscrive il sistema sostituendo al posto di ogni disequazione le sue soluzioni; infine si fa un diagrammino con solo linee continue per determinare le soluzioni del sistema.
Chiaramente, la prima disequazione è risolta da $-1 <= x <= 1$; per risolvere la seconda studiamo il segno dei tre fattori:

S.d.S.:

[*:3cwckrgr] $x + 1 >= 0 <=> x >= -1$[/*:m:3cwckrgr]
[*:3cwckrgr] $x >= 0$ (vabbè… già risolta)[/*:m:3cwckrgr]
[*:3cwckrgr] $x - 2 >= 0 <=> x >= 2$[/*:m:3cwckrgr][/list:u:3cwckrgr]

e costruiamo un diagramma con linee continue/tratteggiate/pallini “pieni” dai quali ricaviamo le informazioni complessive sul segno di $(x+1)x(x-2)$ (in cui ho dovuto sostituire il tratteggio con una linea in blu per i soliti motivi tecnici):
[asvg]xmin=-3; xmax =7; ymin =-2.5; ymax =0.5;
noaxes();
marker = "arrow"; line([-3,0],[3,0]);
marker = "none"; line([-1,0],[-1,-1.75]); line([0,0],[0,-1.75]); line([2,0],[2,-1.75]);
text([-1,0],"-1",above); text([0,0],"0",above); text([2,0],"2",above); text([3,0],"x",right);
strokewidth = 2;
stroke = "blue"; line([-3,-0.5],[-1,-0.5]); line([-3,-1],[0,-1]); line([-3,-1.5],[2,-1.5]);
stroke = "red"; line([-1,-0.5],[3,-0.5]); line([0,-1],[3,-1]); line([2,-1.5],[3,-1.5]);
dot([-1,-0.5]); dot([0,-1]); dot([2,-1.5]);
text([-2,-1.75],"-",below); text([-1,-1.75],"0",below); text([-0.5,-1.75],"+",below); text([0,-1.75],"0",below); text([1,-1.75],"-",below); text([2,-1.75],"0",below); text([2.5,-1.75],"+",below); text([3,-1.75],"segno di (x+1) x (x-2)",belowright);[/asvg]
dunque le soluzioni della seconda disequazione sono $-1 < x <0 vv x > 2$.

Sostituendo, troviamo il sistema equivalente:
\[
\begin{cases}
-1 \leq x \leq 1 \\
-1 < x < 0 \lor x > 2
\end{cases}
\]
da cui ricaviamo:
[asvg]xmin=-3; xmax =5; ymin =-1.5; ymax =1.5;
noaxes();
marker = "arrow"; line([-3,0],[3,0]);
marker = "none"; line([-1,0],[-1,-1]); line([0,0],[0,-1]); line([1,0],[1,-0.5]); line([2,0],[2,-1]); text([-1,0],"-1", above); text([0,0],"0", above); text([1,0],"1",above); text([2,0],"2", above); text([3,0],"x", right);
strokewidth = 2; stroke = "red"; path([[-1,-0.5],[1,-0.5]]); dot([-1,-0.5]); dot([1,-0.5]); line([-1,-1],[0,-1]); line([2,-1],[3,-1]);[/asvg]
e le soluzioni del sistema si trovano lì dove le linee continue si sovrappongono, cioè in $-1 < x < 0$.


P.S.: Disegnare con ASVG è davvero una rottura!

[oleg.fresi]

Grazie ancora!