Domanda su disequazioni
Ho un dubbio sulle disequazioni in generale: mi è sempre stato insegnato di risolvere dìle disequazioni fratte e prodotto col maggiore indipendentementa dal segno di questa e solo alla fine considerare il segno della disequazione di partenza. Ma non mi sono mai chiesto il perchè. Se non rispettassi la regola, pechè la disequazione dovrebbe venire sbagliata?
Risposte
Riprendo il thread perhè ho capito cosa intendeva axpgn.Tuttavia non é stato così banale arrivarci, infatti se prendo una banale disequazione da libro come $x-3<0$ in base a quanto detto andrebbe messa una linea trateggiata alla sinistra di 3 invece il libro mette una linea continua per dire che per $x<3$ la disequazione è verificata. Questo mi confonde.
Ti confonde perché applichi meccanicamente quanto leggi invece di andare oltre per comprenderne il significato profondo, tant'è che basta una linea tratteggiata invece che continua per mandarti in tilt.
Leggi di meno ma studia di più
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Ma quel che non capisco è perchè in un caso la linea trateggiata indica la negatività e in un altro caso indica il non verificare la disuguaglianza.
Perché, a volte, lo stesso simbolo può denotare cose diverse; per chiarire il significato di un simbolo serve capire il contesto in cui esso è inserito.
Non è una cosa nuova: cos’è “amo”?
Una voce del verbo “amare” o un “uncino metallico fissato all’estremo di una lenza al quale si attacca l’esca”?
Se non fai un controllo semantico (inserendo la parola nel contesto in cui si trova)[nota]Cosa che non fa, ad esempio, il correttore ortografico del mio tablet, il quale sostituisce “è” (voce del verbo “essere”) ad “e” (congiunzione) quasi sempre.[/nota], è impossibile distinguere le due accezioni.
Allo stesso modo, per capire cosa un simbolo denota devi conoscere ciò che gli sta intorno e capire ciò che stai facendo con tale simbolo.
Non è una cosa nuova: cos’è “amo”?
Una voce del verbo “amare” o un “uncino metallico fissato all’estremo di una lenza al quale si attacca l’esca”?
Se non fai un controllo semantico (inserendo la parola nel contesto in cui si trova)[nota]Cosa che non fa, ad esempio, il correttore ortografico del mio tablet, il quale sostituisce “è” (voce del verbo “essere”) ad “e” (congiunzione) quasi sempre.[/nota], è impossibile distinguere le due accezioni.
Allo stesso modo, per capire cosa un simbolo denota devi conoscere ciò che gli sta intorno e capire ciò che stai facendo con tale simbolo.
Ok, le disequazioni $x-5>0$ e $x-5<0$ cosa possono voler dire? Che la quantità $x-5$ è positiva se $x>5$ ed è negativa se $x<5$. Quindi rapperesento così la prima: -----------5+++++++++ ovvero prima di 5 è negativo, dopo è positiva e la seconda coì: ---------5+++++ il che vuol dire che prima di 5 è negativa come volevo sapere e dopo il 5 positiva, quindi è uguale a peima, oppure posso scriverla così: +++++5------- ovvero prima di 5 è verificata $x-5<0$ mentre dopo no. Come faccio a capire quale delle due usare? Nelle disequazioni fratte ho usato la seconda interpretazione ma poi axpgn mi ha detto che era sbagliato fare così, allora ho usato la prima.
Non ne veniamo fuori ...
Ti è chiaro che le due disequazioni che hai proposto sono differenti? Ovvero che esse NON sono equivalenti?
Ecco, questo è il primo punto che devi approfondire.
Secondariamente il fatto che siano differenti NON ci impedisce di ricavare le stesse informazioni ovvero stabilire il segno di una determinata espressione.
Perché?
Questo è l'altro punto che devi approfondire.
Ovviamente se parti da punti diversi per giungere comunque alla stessa meta, è logico che le strade da percorrere siano diverse, magari molto simili come in questo caso ma diverse.
Ti è chiaro che le due disequazioni che hai proposto sono differenti? Ovvero che esse NON sono equivalenti?
Ecco, questo è il primo punto che devi approfondire.
Secondariamente il fatto che siano differenti NON ci impedisce di ricavare le stesse informazioni ovvero stabilire il segno di una determinata espressione.
Perché?
Questo è l'altro punto che devi approfondire.
Ovviamente se parti da punti diversi per giungere comunque alla stessa meta, è logico che le strade da percorrere siano diverse, magari molto simili come in questo caso ma diverse.
Sono differenti ma possiamo ricavare le stesse informazioni. Per uscirne bisognerebbe spiegarmi bene come stanno le cose, visto che a scuola si punta a imaprare a farle in maniera meccanica.
Un post inutile ...
È esattamente quello che ho scritto sopra quindi a che serve riscriverlo se non aggiungi niente?
Ti ho fatto un paio di domande, risposte?
Inutile perché è già stato ampiamente fatto ...
Può darsi che sia anche così ma allora ci si deve dar da fare per conto proprio (se interessa) ...
Ritornando in topic:
Cosa significa che due equazioni (o disequazioni) sono equivalenti?
Perché possiamo ricavare le stesse informazioni da quelle due disequazioni pur se differenti?
Riflettici e proponi la tua risposta ...
"ZfreS":
Sono differenti ma possiamo ricavare le stesse informazioni.
È esattamente quello che ho scritto sopra quindi a che serve riscriverlo se non aggiungi niente?
Ti ho fatto un paio di domande, risposte?
"ZfreS":
Per uscirne bisognerebbe spiegarmi bene come stanno le cose, ...
Inutile perché è già stato ampiamente fatto ...
"ZfreS":
..., visto che a scuola si punta a imaprare a farle in maniera meccanica.
Può darsi che sia anche così ma allora ci si deve dar da fare per conto proprio (se interessa) ...
Ritornando in topic:
Cosa significa che due equazioni (o disequazioni) sono equivalenti?
Perché possiamo ricavare le stesse informazioni da quelle due disequazioni pur se differenti?
Riflettici e proponi la tua risposta ...
Due disequazioni si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni. Possiamo ricavare le stesse informazioni perchè una disequazione ci dice auando quella quantità è positiva o negativa e per esclusione scopriamo il viceversa.
Bene, quindi dov'è il problema?
Le due disequazioni che hai scritto non sono equivalenti dato che l'insieme delle soluzioni della prima è $x>5$ mentre l'insieme delle soluzioni della seconda è $x<5$
Riflettendo su quanto trovato cosa possiamo concludere?
Se analizziamo la prima disequazione possiamo concludere che l'espressione $x-5$, che chiamerò $S$ per comodità, è positiva per valori dell'incognita $x$ maggiori di $5$, è nulla per $x=5$ ed è negativa per valori della $x$ minori di $5$
Analizzando la seconda disequazione a che conclusioni arriviamo? Le stesse.
Ovvero $S$ è negativa per valori di $x$ minori di $5$, è nulla per $x=5$ ed è positiva per valori della $x$ maggiori di $5$.
Come puoi notare non usato "schemini" di nessun tipo, ho semplicemente ragionato su quanto ho fatto.
Le due disequazioni che hai scritto non sono equivalenti dato che l'insieme delle soluzioni della prima è $x>5$ mentre l'insieme delle soluzioni della seconda è $x<5$
Riflettendo su quanto trovato cosa possiamo concludere?
Se analizziamo la prima disequazione possiamo concludere che l'espressione $x-5$, che chiamerò $S$ per comodità, è positiva per valori dell'incognita $x$ maggiori di $5$, è nulla per $x=5$ ed è negativa per valori della $x$ minori di $5$
Analizzando la seconda disequazione a che conclusioni arriviamo? Le stesse.
Ovvero $S$ è negativa per valori di $x$ minori di $5$, è nulla per $x=5$ ed è positiva per valori della $x$ maggiori di $5$.
Come puoi notare non usato "schemini" di nessun tipo, ho semplicemente ragionato su quanto ho fatto.
"ZfreS":
Due disequazioni si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni. Possiamo ricavare le stesse informazioni perchè una disequazione ci dice quando quella quantità è positiva o negativa e per esclusione scopriamo il viceversa.
Ok.
Ma, nel caso in esame quali informazioni vuoi ricavare/rappresentare dalla disequazione $x-5<0$?
Quelle sul segno di $x-5$, oppure quella sull’essere soddisfatta o no della condizione $x-5<0$?
Queste due informazioni si rappresentano in maniera differente.
Ok, potresti dirmi come andrebbe rappresentata una e l'altra. Perchè pensavo fosse la stessa cosa ma a quanto pare non lo è.
Ma le rappresenti come vuoi, come più ti piace, basta che tu capisca quello che stai facendo ...
Ok, ma nello stesso problema (come la disequazione fratta) assumono significati differenti. Uno non equivale all'altro.
Assumono "significati differenti" cosa?
Non è possibile che dopo sei pagine di discussione non hai compreso che il modo con cui rappresenti "qualcosa" non conta un piffero mentre l'importante è il senso di quel "qualcosa".
Sta a te definire il significato dei vari simboli, sia utilizzando quelli, diciamo così, standard sia quelli "creati" da te; l'importante è che ti siano comprensibili e siano coerenti lungo tutti il procedimento.
Non è possibile che dopo sei pagine di discussione non hai compreso che il modo con cui rappresenti "qualcosa" non conta un piffero mentre l'importante è il senso di quel "qualcosa".
Sta a te definire il significato dei vari simboli, sia utilizzando quelli, diciamo così, standard sia quelli "creati" da te; l'importante è che ti siano comprensibili e siano coerenti lungo tutti il procedimento.
Dire che $x-5>0$ è positiva per $x>5$ significa dire che è verificata per $x>5$? Se questo è vero allora non c'è alcun dubbio.
"ZfreS":
Dire che $x-5>0$ è positiva ...
Questa è una frase senza senso.
Una disequazione NON è positiva o negativa ma o è vera o è falsa; non è una "pedanteria" ma il punto su cui ti imbrogli ...
Ok, se scrivo $x-3<0$ e la rappresento così: ++++++3------- è verificata per $x<3$
--------3++++++ è negativa per $x<3$
Sono entrambe giuste, no?
--------3++++++ è negativa per $x<3$
Sono entrambe giuste, no?
Come ogni studente delle superiori che si rispetti, fai confusione tra due cose che pur avendo simili rappresentazioni hanno significati e senso differente: lo studio del segno (dei fattori di un prodotto/rapporto) e la rappresentazione delle soluzioni di una disequazione.
Consideriamo la disequazione $x^2 - 1 <= 0$, la quale è soddisfatta per $-1 <= x <= 1$.
Se di tale equazione ci interessa rappresentare solo l’insieme delle soluzioni, ricorriamo ad un diagramma del tipo:
[asvg]xmin=-3; xmax =5; ymin =-1.5; ymax =1.5;
noaxes();
marker = "arrow";
line([-3,0],[3,0]);
marker = "none"; line([-1,0],[-1,-0.5]); line([1,0],[1,-0.5]); text([-1,0],"-1", above); text([1,0],"1",above); text([3,0],"x", right);
strokewidth = 2; stroke = "red"; path([[-1,-0.5],[1,-0.5]]); dot([-1,-0.5]); dot([1,-0.5]); text([3,-0.5],"x^2 - 1 <= 0",right);[/asvg]
in cui la linea continua è usata per evidenziare l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, i.e. l’insieme delle soluzioni, insieme al pallino “pieno” che serve per identificare i numeri in cui è soddisfatta l’uguaglianza.
Invece, per rappresentare le informazioni sul segno di $x^2 - 1$ usualmente si procede così.
Si risolve la disequazione $x^2 - 1 >= 0$[nota]Questa è pura convenzione ed il motivo sarà spiegato più avanti (cfr. spoiler più sotto).[/nota] e si traccia una linea continua lì dove si trovano le sue soluzioni, ed una linea tratteggiata altrimenti. Ciò comporta che convenzionalmente viene scelta la seguente identificazione:
Consideriamo la disequazione $x^2 - 1 <= 0$, la quale è soddisfatta per $-1 <= x <= 1$.
Se di tale equazione ci interessa rappresentare solo l’insieme delle soluzioni, ricorriamo ad un diagramma del tipo:
[asvg]xmin=-3; xmax =5; ymin =-1.5; ymax =1.5;
noaxes();
marker = "arrow";
line([-3,0],[3,0]);
marker = "none"; line([-1,0],[-1,-0.5]); line([1,0],[1,-0.5]); text([-1,0],"-1", above); text([1,0],"1",above); text([3,0],"x", right);
strokewidth = 2; stroke = "red"; path([[-1,-0.5],[1,-0.5]]); dot([-1,-0.5]); dot([1,-0.5]); text([3,-0.5],"x^2 - 1 <= 0",right);[/asvg]
in cui la linea continua è usata per evidenziare l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, i.e. l’insieme delle soluzioni, insieme al pallino “pieno” che serve per identificare i numeri in cui è soddisfatta l’uguaglianza.
Invece, per rappresentare le informazioni sul segno di $x^2 - 1$ usualmente si procede così.
Si risolve la disequazione $x^2 - 1 >= 0$[nota]Questa è pura convenzione ed il motivo sarà spiegato più avanti (cfr. spoiler più sotto).[/nota] e si traccia una linea continua lì dove si trovano le sue soluzioni, ed una linea tratteggiata altrimenti. Ciò comporta che convenzionalmente viene scelta la seguente identificazione:
[*:1kfqhal4] linea continua $->$ segno $+$ (è verificata la disuguaglianza $>0$)
[/*:m:1kfqhal4]
[*:1kfqhal4] linea tratteggiata $->$ segno $-$ (è soddisfatta la disuguaglianza $<0$)
[/*:m:1kfqhal4]
[*:1kfqhal4] pallino “pieno” $->$ punti di nullo (vale lo $=0$).[/*:m:1kfqhal4][/list:u:1kfqhal4]
La convenzione sulle linee e sullo studio del segno (che usualmente viene fatto risolvendo la disequazione col verso $>=0$) si spiega come segue.
Si ottiene così il seguente diagramma dei segni (in cui ho dovuto sostituire il tratteggio con una linea in blu per motivi tecnici):
[asvg]xmin=-3; xmax =5; ymin =-1.5; ymax =1.5;
noaxes();
marker = "arrow"; line([-3,0],[3,0]);
marker = "none"; line([-1,0],[-1,-0.5]); line([1,0],[1,-0.5]); text([-1,0],"-1", above); text([1,0],"1",above); text([3,0],"x", right);
strokewidth = 2; stroke = "blue"; path([[-1,-0.5],[1,-0.5]]);
stroke = "red"; path([[-3,-0.5],[-1,-0.5]]); path([[1,-0.5],[3,-0.5]]); dot([-1,-0.5]); dot([1,-0.5]);
text([-2,-1],"+"); text([-1,-1],"0"); text([0,-1],"-"); text([2,-1],"+"); text([1,-1],"0"); text([3,-1],"segno di x^2-1",right);[/asvg]
Ovviamente, quelle esposte sono convenzioni usate comunemente. Ciò non impedisce di crearti le tue convenzioni, ma economia di pensiero vuole che, quando sono ragionevoli, le convenzioni elaborate da altri si possano accettare ed usare tranquillamente.
Perfetto gugo, hai chiarito definitivamente il mio dubbio. Grazie tante!
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