Derivata prima di funzione....
buona sera a tutti volevo postare un esercizio molto semplice sulla derivata io l'ho svolta solo che poi non riesco ad andare avanti....l'esercizio è:
$f'(x)=(sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)$ io l'ho svolta così: $([(1/(2sqrt(x^2-3x+2))(2x-3))*(x-3)]-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2=$
$=(((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3))-(sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3))= (2x-3)/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3)$ e poi non so più continuare come posso fare?
$f'(x)=(sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)$ io l'ho svolta così: $([(1/(2sqrt(x^2-3x+2))(2x-3))*(x-3)]-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2=$
$=(((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3))-(sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3))= (2x-3)/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3)$ e poi non so più continuare come posso fare?
Risposte
Arrivati a questo punto
$...= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2$
conveniva dare denominatore comune dentro alla parentesi e fare i relativi calcoli.
$...= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2$
conveniva dare denominatore comune dentro alla parentesi e fare i relativi calcoli.
ho seguito il suggerimento e mi trovo in questo modo (non so se ho fatto bene per questo posto tutti i passaggi):
$...= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3)-(sqrt(x^2-3x+2))(2sqrt(x^2-3x+2)))/(2sqrt(x^2-3x+2)))*1/(x-3)^2=$ $ ((2x^2-6x-3x+9-2x^2+6x-4)/(2sqrt(x^2-3x+2)))*1/(x-3)^2= $ $((-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)))*1/(x-3)^2=$
$=(-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)(x-3)^2)$ non so se si può fare però io avrei pensato di semplificare il due a cui è elevato $(x-3)$ col 2 che moltiplica la radice o proprio la radice...????
$...= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3)-(sqrt(x^2-3x+2))(2sqrt(x^2-3x+2)))/(2sqrt(x^2-3x+2)))*1/(x-3)^2=$ $ ((2x^2-6x-3x+9-2x^2+6x-4)/(2sqrt(x^2-3x+2)))*1/(x-3)^2= $ $((-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)))*1/(x-3)^2=$
$=(-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)(x-3)^2)$ non so se si può fare però io avrei pensato di semplificare il due a cui è elevato $(x-3)$ col 2 che moltiplica la radice o proprio la radice...????
Non ho capito il senso dell'ultima fase.... 
con cosa vuoi semplificare l'esponente di $(x-3)$?
con cosa vuoi semplificare l'esponente di $(x-3)$?
si ma dalla tua espressione suppngo che sia sbagliato.... 
Non la prendere male, era una faccina simpatica, non prenderla come un rimprovero, qui siamo tutti ragazzi e siamo qui per imparare. Con cosa volevi semplificare il quadrato all'esponente?! :O
I calcoli sono giusti; ti prego di andare a capo dopo il secondo passaggio per evitare una formula troppo lunga, che fa debordare tutto il testo.
Le semplificazioni di cui parli non sono lecite e te ne puoi convincere calcolando $2sqrta*b^2$: dai alle lettere dei valori a tuo piacere e calcola il risultato; poi fai una delle tue semplificazione e calcolalo di nuovo: otterrai due risultati diversi. Meglio usare numeri dispari; con i pari può capitare che per puro caso i due risultati siano uguali.
Scusami, Lorin: quando ho iniziato ha scrivere la mia risposta (non sono certo veloce) non c'era ancora la tua. Comunque, già che c'è, la lascio egualmente.
Le semplificazioni di cui parli non sono lecite e te ne puoi convincere calcolando $2sqrta*b^2$: dai alle lettere dei valori a tuo piacere e calcola il risultato; poi fai una delle tue semplificazione e calcolalo di nuovo: otterrai due risultati diversi. Meglio usare numeri dispari; con i pari può capitare che per puro caso i due risultati siano uguali.
Scusami, Lorin: quando ho iniziato ha scrivere la mia risposta (non sono certo veloce) non c'era ancora la tua. Comunque, già che c'è, la lascio egualmente.
ok grazie Lorin.....
hai ragione giammaria non si può fare scelgo $a=3$ e $b=7$ con questo dovrebbe uscire: $2sqrt3*7^2=169,74... $ poi se faccio le mie semplificazioni $sqrt3*7=12,12$.....poi l'altra esce $2*3*7=42$
corretto anche il secondo passaggio che faceva debordare il testo, verifica se va bene........
hai ragione giammaria non si può fare scelgo $a=3$ e $b=7$ con questo dovrebbe uscire: $2sqrt3*7^2=169,74... $ poi se faccio le mie semplificazioni $sqrt3*7=12,12$.....poi l'altra esce $2*3*7=42$
corretto anche il secondo passaggio che faceva debordare il testo, verifica se va bene........
Si va bene in quella forma!
ok grazie, dunque tornando alla derivata siamo arrivato a questo punto:
$...(-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)(x-3)^2)= (-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)(x^2-6x+9))= (-3x+5)/(2sqrt((x^2-3x+2)(x^2-6x+9))=$ $(-3x+5)/(2sqrt(x^4-9x^3+27x^2-27x+18)$ e penso che sia finita così non posso fare niente più oltre che la derivata seconda.....
$...(-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)(x-3)^2)= (-3x+5)/(2sqrt(x^2-3x+2)(x^2-6x+9))= (-3x+5)/(2sqrt((x^2-3x+2)(x^2-6x+9))=$ $(-3x+5)/(2sqrt(x^4-9x^3+27x^2-27x+18)$ e penso che sia finita così non posso fare niente più oltre che la derivata seconda.....
No aspetta c'è un piccolo errore al denominatore perchè se porti qualcosa sotto radice ovviamente non puoi farlo così, ricorda la proprietà:
$aroot(n)(.)=root(n)(a^n)$
Quindi quando trasporti da fuori a dentro alla radice devi mettere all'esponente, di ciò che hai trasportato, l'indice della radice. Quindi al denominatore avremo:
$2(x-3)^2sqrt(x^2-3x+2) = 2sqrt((x-3)^4(x^2-3x+2))$
PS: Comunque non sempre sei costretto a fare tutti i calcoli, anzi alcune volte è più comodo tenere la derivata in una forma "compatta"
$aroot(n)(.)=root(n)(a^n)$
Quindi quando trasporti da fuori a dentro alla radice devi mettere all'esponente, di ciò che hai trasportato, l'indice della radice. Quindi al denominatore avremo:
$2(x-3)^2sqrt(x^2-3x+2) = 2sqrt((x-3)^4(x^2-3x+2))$
PS: Comunque non sempre sei costretto a fare tutti i calcoli, anzi alcune volte è più comodo tenere la derivata in una forma "compatta"
A quanto scritto da Lorin aggiungo che quasi sempre è meglio lasciare (o addirittura portare) fuori radice tutti i fattori possibili. Tutto quello che puoi fare è scrivere il risultato in bell'ordine: prima i fattori più semplici, poi via via aumentando la loro complessità: quindi scriverai
$=(-3x+5)/(2(x-3)^2sqrt(x^2-3x+2))$
$=(-3x+5)/(2(x-3)^2sqrt(x^2-3x+2))$
Giusto!
Approfitto di questo topic già aperto.
$y=sqrt((1-senx)/(1+senx))$
Derivando la funzione, dopo qualche passaggio, ottengo $ y'=-cosx/((1+senx)^2*sqrt((1-senx)/(1+senx)) $
Ora, il libro riporta il risultato come $y'=-cosx/(|cosx|(1+senx)$. Per ricondurmi a tale risultato ho portato, a denominatore, $(1+senx)^2$ sotto radice (diventa quindi $(1+senx)^4$). Dopo qualche altro calcolo, sotto radice ottengo $(1+senx)^2*cos^2x$. Ora la mia domanda è: perchè facendo adesso l'estrazione dalla radice devo mettere il valore assoluto solo a $cosx$ e non a $1+senx$? Grazie in anticipo per le risposte =)
NB. Usando firefox vedo la radice che prende solo il numeratore di $(1-senx)/(1+senx)$ ma, ovviamente, prende anche il denominatore. Spero voi non abbiate questo inconveniente e se esistesse il modo per me di risolverlo e qualcuno me lo indicasse, gli sarei molto grato =)
EDIT: Ho pensato che, essendo $-1<=senx<=1$, la quantità $senx+1$ risulta $>=0$ e quindi il valore assoluto sarebbe sovrabbondante. Ci sta come risposta alla mia stessa domanda??
$y=sqrt((1-senx)/(1+senx))$
Derivando la funzione, dopo qualche passaggio, ottengo $ y'=-cosx/((1+senx)^2*sqrt((1-senx)/(1+senx)) $
Ora, il libro riporta il risultato come $y'=-cosx/(|cosx|(1+senx)$. Per ricondurmi a tale risultato ho portato, a denominatore, $(1+senx)^2$ sotto radice (diventa quindi $(1+senx)^4$). Dopo qualche altro calcolo, sotto radice ottengo $(1+senx)^2*cos^2x$. Ora la mia domanda è: perchè facendo adesso l'estrazione dalla radice devo mettere il valore assoluto solo a $cosx$ e non a $1+senx$? Grazie in anticipo per le risposte =)
NB. Usando firefox vedo la radice che prende solo il numeratore di $(1-senx)/(1+senx)$ ma, ovviamente, prende anche il denominatore. Spero voi non abbiate questo inconveniente e se esistesse il modo per me di risolverlo e qualcuno me lo indicasse, gli sarei molto grato =)
EDIT: Ho pensato che, essendo $-1<=senx<=1$, la quantità $senx+1$ risulta $>=0$ e quindi il valore assoluto sarebbe sovrabbondante. Ci sta come risposta alla mia stessa domanda??
io direi che moltiplica sotto radice per $(1+sinx)/(1+sinx)$.
prova e facci sapere. ciao.
prova e facci sapere. ciao.
Non credo di aver capito... Forse sbagliando ho proposto una "soluzione" nel post precedente. Non è corretta?
"Albert Wesker 27":
Approfitto di questo topic già aperto.
$y=sqrt((1-senx)/(1+senx))$
Derivando la funzione, dopo qualche passaggio, ottengo $ y'=-cosx/((1+senx)^2*sqrt((1-senx)/(1+senx)) $
Ora, il libro riporta il risultato come $y'=-cosx/(|cosx|(1+senx)$.
...
EDIT: Ho pensato che, essendo $-1<=senx<=1$, la quantità $senx+1$ risulta $>=0$ e quindi il valore assoluto sarebbe sovrabbondante. Ci sta come risposta alla mia stessa domanda??
non credo sia sbagliato.
riprendo la tua formula e faccio quello che ti ho suggerito. vediamo se torna il risultato del libro:
$ y'=-cosx/((1+senx)^2*sqrt((1-senx)/(1+senx))) $
$ y'=-cosx/((1+sinx)^2*sqrt(((1-sinx)*(1+sinx))/((1+sinx)*(1+sinx)))) = -cosx/((1+sinx)^2*sqrt((1-sin^2x)/((1+sinx)^2))) = -cosx/(((1+sinx)^2)/|1+sinx|*sqrt(cos^2x)) = - cosx/(|1+sinx|*|cosx|)="risultato libro"$, perché $1+sinx>=0$
Perfetto. Per una via un pò diversa ero arrivato alla medesima conclusione. Grazie e buona giornata
posso fare un attimo una piccola domanda riguardo questa derivata??? arrivati alla fine:
$...= -cosx/(((1+sinx)^2)/|1+sinx|*sqrt(cos^2x)) = - cosx/(|1+sinx|*|cosx|)$ si è portato il coseno fuori dalla radice diventando modulo cioè si è pensato in questo modo:
$...= -cosx/(((1+sinx)^2)/|1+sinx|*|cosx|*sqrt1)$ ma poi non si perde niente, cioè il risultato intendo....
$...= -cosx/(((1+sinx)^2)/|1+sinx|*sqrt(cos^2x)) = - cosx/(|1+sinx|*|cosx|)$ si è portato il coseno fuori dalla radice diventando modulo cioè si è pensato in questo modo:
$...= -cosx/(((1+sinx)^2)/|1+sinx|*|cosx|*sqrt1)$ ma poi non si perde niente, cioè il risultato intendo....
prego.
$sqrt1=1$ ... ?
io avrei semplificato $cosx/|cosx|=sign(cosx)$ ....
$sqrt1=1$ ... ?
io avrei semplificato $cosx/|cosx|=sign(cosx)$ ....
cioè quello che volevo sapere è come fa a scomparire la radice......
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