Derivata prima di funzione....
buona sera a tutti volevo postare un esercizio molto semplice sulla derivata io l'ho svolta solo che poi non riesco ad andare avanti....l'esercizio è:
$f'(x)=(sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)$ io l'ho svolta così: $([(1/(2sqrt(x^2-3x+2))(2x-3))*(x-3)]-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2=$
$=(((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3))-(sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3))= (2x-3)/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3)$ e poi non so più continuare come posso fare?
$f'(x)=(sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)$ io l'ho svolta così: $([(1/(2sqrt(x^2-3x+2))(2x-3))*(x-3)]-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))/(x-3)^2= (((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3)^2=$
$=(((2x-3)(x-3))/(2sqrt(x^2-3x+2))*1/(x-3))-(sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3))= (2x-3)/(2sqrt(x^2-3x+2))-sqrt(x^2-3x+2)*1/(x-3)$ e poi non so più continuare come posso fare?
Risposte
Scusate la mia ignoranza ma qualcuno può spiegarmi perchè il denominatore della derivata di questa funzione $De^((2-x^2)/(1-x^2))$ e cioè $e^((2-x^2)/(1-x^2))*(2x)/((1-x^2)^2)>=0$, è sempre positivo????
è strano perchè il denominatore, si è vero che è sempre positivo, ma si annulla nei punti $+-1$ però il libro dice che è sempre positivo non dice che si annulla in que punti....
è strano perchè il denominatore, si è vero che è sempre positivo, ma si annulla nei punti $+-1$ però il libro dice che è sempre positivo non dice che si annulla in que punti....
Perchè in quei punti la funzione $f(x)=e^((2-x^2)/(1-x^2))$ non è definita.
Quindi $(1-x^2)^2$ è sempre positivo in tutti i punti in cui $f$ è definita, cioè $RR-{-1,1}$
Quindi $(1-x^2)^2$ è sempre positivo in tutti i punti in cui $f$ è definita, cioè $RR-{-1,1}$
Ok quindi ho ragione io per il denominatore la soluzione è $AA x in RR-{-1,1}$; il libro invece dice che è sempre positiva....
non è che per caso aggiunge che è il denominatore è sempre positivo in tutti i punti del dominio? (in questo caso sarebbe giusto)
no dice: poichè il denominatore della derivata è sempre positivo, il segno della derivata dipende solo dal numeratore. quindi $f'(x)>=0 hArr x>=0$...
ma perchè la derivata di $1/(sqrt(e^x (1-x^2)))=(e^x(-2x)+e^x (1-x^2)) /(2e^x(1-x^2)sqrt(e^x (1-x^2)))$??? io mi trovo diverso:
$D1/(sqrt(e^x (1-x^2)))=(1/(2sqrt(e^x (1-x^2)))*e^x(-2x))/( e^x(1-x^2))= (e^x(-2x))/(2sqrt(e^x (1-x^2)))*1/( e^x(1-x^2))= (e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt(e^x (1-x^2)))$ da dove è uscito quel termine al numeratore $+e^x(1-x^2)$?
$D1/(sqrt(e^x (1-x^2)))=(1/(2sqrt(e^x (1-x^2)))*e^x(-2x))/( e^x(1-x^2))= (e^x(-2x))/(2sqrt(e^x (1-x^2)))*1/( e^x(1-x^2))= (e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt(e^x (1-x^2)))$ da dove è uscito quel termine al numeratore $+e^x(1-x^2)$?
devi fare la derivata di una funzione composta, quindi prima derivi $1/(sqrt(f(x)))$ , la cui derivata è: $1/(2sqrt(f(x)^3))$, cioè nel tuo caso:
$1/(2sqrt((e^x(1-x^2))^3))$ , poi si porta fuori di radice $e^x(1-x^2)$
questa va moltiplicata per la derivata del prodotto (che va messa al numeratore):
$ e^x(1-x^2)-2xe^x$
$1/(2sqrt((e^x(1-x^2))^3))$ , poi si porta fuori di radice $e^x(1-x^2)$
questa va moltiplicata per la derivata del prodotto (che va messa al numeratore):
$ e^x(1-x^2)-2xe^x$
Perchè $1/(2sqrt(f(x)^3))$????
perchè $1/sqrtf(x)$ può essere scritto come:
$(f(x))^(-1/2)$ ; applicando la regola di derivazione di una potenza abbiamo:
$-1/2 * (f(x))^(-3/2)= -1/(2sqrt(f(x)^3))$ (a proposito, mi sono scordata il $-$ davanti alla linea di frazione)
$(f(x))^(-1/2)$ ; applicando la regola di derivazione di una potenza abbiamo:
$-1/2 * (f(x))^(-3/2)= -1/(2sqrt(f(x)^3))$ (a proposito, mi sono scordata il $-$ davanti alla linea di frazione)
$1/(sqrt(f(x)))=(f(x))^(-1/2)$ ,
$D[1/(sqrt(f(x)))]=D[(f(x))^(-1/2)]=-1/2*f(x)^(-1/2-1)*f'(x)=-1/2*f(x)^(-3/2)*f'(x)=- (f'(x))/(f(x))^(3/2)=- (f'(x))/(sqrtf(x))^3=- (f'(x))/(sqrt(f(x)^3)$ ,
$D[1/(sqrt(f(x)))]=D[(f(x))^(-1/2)]=-1/2*f(x)^(-1/2-1)*f'(x)=-1/2*f(x)^(-3/2)*f'(x)=- (f'(x))/(f(x))^(3/2)=- (f'(x))/(sqrtf(x))^3=- (f'(x))/(sqrt(f(x)^3)$ ,
il fatto che non abbiamo il due al denominatore come nell'ultimo intervento di nicole a che cosa è dovuto?
è sicuramente una svista, poichè il 2 al denominatore non può sparire
ok dunque dovrei fare: $-(e^x(-2x))/(2sqrt((e^x(1-x^2))^3))=$ porto fuori radice $e^x(1-x^2)$ e ottengo:
$-(e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt((e^x(1-x^2)))$ poi non capisco perchè va anche al numeratore....
$-(e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt((e^x(1-x^2)))$ poi non capisco perchè va anche al numeratore....
ok dunque dovrei fare: $-(e^x(-2x))/(2sqrt((e^x(1-x^2))^3))=$ porto fuori radice $e^x(1-x^2)$ e ottengo:
$-(e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt((e^x(1-x^2)))$ però poi non capisco perchè va anche al numeratore....
$-(e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt((e^x(1-x^2)))$ però poi non capisco perchè va anche al numeratore....
$e^x(1-x^2)$ è un prodotto, quindi devi applicare al regola della derivata di un prodotto
ma quindi cioè questa: $Dg[f(x)]=g'[f(x)]f'(x)$?
quella è una funzione composta, mentre la funzione prodotto è:
$y=f(x)*g(x)$ e la sua derivata è :
$f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)$
$y=f(x)*g(x)$ e la sua derivata è :
$f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)$
ho capito quindi viene $De^x(1-x^2)=$ $e^x(1-x^2)+e^x(-2x)$ e si ha
$-(e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt((e^x(1-x^2))))*e^x(1-x^2)+e^x(-2x)$?...
$-(e^x(-2x))/(2e^x(1-x^2)sqrt((e^x(1-x^2))))*e^x(1-x^2)+e^x(-2x)$?...
cosa c'entra $e^x(-2x)$ al numeratore, se la derivata del prodotto è quella che hai scritto?
ah si ho capito ho sbagliato $e^x(-2x)$, scusami....
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