Campo di esistenza

[Bad90]

Esercizio 1

Come faccio a determinare il campo di esistenza della seguente??

$ y = sqrt(log_(1/3)(2x-1))$

Ho pensato di fare nel seguente modo, cioè impostare il seguente sistema:

$log_(1/3)(2x-1)>=0$
$(2x-1)>0$

Risolvendo avrò:

$log_(1/3)(2x-1)>=0 => (2x-1)>=(1/3)^0 => 2x-1 >=1 => x>=1$
$(2x-1)>0=>x>1/2$

Adesso come faccio a dire qual'è il campo di esistenza

[marcosocio]

Semplicemente devi mettere a sistema quelle due soluzioni che hai trovato

[Bad90]

"marcosocio":Semplicemente devi mettere a sistema quelle due soluzioni che hai trovato

E tu quanto otterresti?

[marcosocio]

La soluzione finale dovrebbe essere $x\geq1$

[Bad90]

E perche' il mio testo dice che deve essere il seguente intervallo?

$(1/2,1]$

Perche'???

[Bad90]

Esercizio 2

Trovare il campo di esistenza della seguente:

$ y= (log_3 x)^pi $

Mi sto incasinando, perche' so benissimo che l'argomento $log_3 >0$ , giusto?
Ma poi c'e' quel $pi$, cone devo fare?

Insomma, come si risolve questo esercizio?
Il testo mi dice che la soluzioje deve essere $[1,+oo)$, ma non sto capendo?!?!?

[marcosocio]

Me lo sono perso anch'io! Poichè il logaritmo è in base $1/3$, quando passi dai logaritmi agli argomenti devi invertire il verso della disequazione!

Per l'altro esercizio, il $\pi$ non ti deve dare preoccupazioni perchè non richiede condizioni aggiuntive. Solo che non mi risulta che $1$ sia incluso nel dominio.

[Bad90]

"marcosocio":Me lo sono perso anch'io! Poichè il logaritmo è in base $1/3$, quando passi dai logaritmi agli argomenti devi invertire il verso della disequazione.

Potresti fare un piccolo esempio?
Non sto riuscendo a seguirti!

[marcosocio]

Devi guardare l'andamento delle funzioni.
In una generica funzione $y=log_a(x)$, se $a>1$ la funzione è crescente (all'aumentare delle $x$ aumentano le $y$) e perciò se $log_a(x_1)>log_a(x_2)$ allora $x_1>x_2$.

Se invece $0log_a(x_2)$ allora $x_1
Esempio:
1) $log_2(x)>1$, $log_2(x)>log_2(2)$, $x>2$
2) $log_(1/2)(x)>1$, $log_(1/2)(x)>log_(1/2)(1/2)$, $x<1/2$
Qui è necessaria però anche la condizione $x>0$, quindi la soluzione finale è $0

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[chiaraotta1]

${(log_(1/3)(2x-1)>=0), (2x-1>0):}->{(2x-1<=1), (x>1/2):}->{(x<=1), (x>1/2):}->1/2

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[Bad90]

Vi ringrazio, ma perche' si cambia il verso della disequazione?
Che regola e'??

[marcosocio]

Si cambia appunto perchè se la funzione è crescente $x$ e $y$ aumentano o diminuiscono entrambe allo stesso modo, quindi se $log_a(x_1)>log_a(x_2)$ (che è come dire $y_1>y_2$), allora $x_1>x_2$; mentre se la funzione è decrescente all'aumentare di $x$, diminuiscono le $y$ e viceversa, cioè il loro verso è opposto.

[giammaria2]

"marcosocio":Solo che non mi risulta che $1$ sia incluso nel dominio.

E' incluso. La funzione era $y=(log_3x)^pi$; per $x=1$ ottieni $\ 0^pi$ e zero può essere elevato a qualsiasi esponente positivo.

[marcosocio]

Sì hai ragione, avevo letto male!

[Bad90]

Comunque io lo risolverei in questo modo:

$y = (log_3 x)^pi$

$log_3 x >=0 => x>=3^0=> x>=1$

E allora la conclusione è $[1,+oo)$

[marcosocio]

Ma la sola condizione da porre che io vedo lì è $x>0$ in quanto argomento del logaritmo.

[Bad90]

"marcosocio":Ma la sola condizione da porre che io vedo lì è $x>0$ in quanto argomento del logaritmo.

Allora non mi è chiaro il fatto che il testo scrive il seguente risultato $[1,+oo)$.

[Bad90]

Esercizio 3

E questo come faccio a risolverlo?
Devo trovare il campo di esistenza, ma e' la prima volta che mi capita una funzione del genere............

$y=(sqrt(3x) -6)^(-1/6)$

Come devo fare per arrivare alla soluzione del testo che e' $(12,+oo)$

Help!

[chiaraotta1]

La funzione
$y=(sqrt(3x) -6)^(-1/6)=1/(root(6)(sqrt(3x)-6))$,
è definita se
${(3x>=0), (sqrt(3x) -6>0):}->{(x>=0), (3x>36):}->{(x>=0), (x>12):}->x>12$.

[giammaria2]

Ricordiamo le regole:
- i numeri negativi possono essere elevati solo ad esponenti interi (l'esponente può essere positivo, negativo o nullo);
- lo zero può essere elevato a qualsiasi esponente positivo;
- i numeri positivi possono essere elevati a qualsiasi esponente.

Applichiamole:
- in $(log_3x)^pi$ l'esponente non è intero, quindi escludo i numeri negativi; l'esponente è positivo, quindi accetto base zero: $log_3x>=0$;
- in $(sqrt(3x)-6)^(-1/6)$ l'esponente non è intero, quindi escludo i numeri negativi; l'esponente è negativo, quindi escludo lo zero: $sqrt(3x)-6>0$

[Bad90]