Aiuto su una derivata
ciao a tutti sto svolgendo degli esercizi presenti sul forum sulle derivate però ho un problema con questa
http://appunti.****/appunti/ ... x-5685.htm
non so se sarò chiaro ma comunque ci provo
allora:
nel primo passaggio:
$1* sinx$ il numero 1 è la derivata di x,
che moltiplica sinx che è la non derivata del secondo elemento
+ x che è la non derivata del primo elemento,
che moltiplica la derivata del secondo ossia
$x*(cosx)$
Da quì in poi si riprende con la regola di derivazione di una funzione fratta, per cui si moltiplica tutto per la non derivata del secondo.
ora mi sorge il problema perchè è $- (xsenx)$??
http://appunti.****/appunti/ ... x-5685.htm
non so se sarò chiaro ma comunque ci provo
allora:
nel primo passaggio:
$1* sinx$ il numero 1 è la derivata di x,
che moltiplica sinx che è la non derivata del secondo elemento
+ x che è la non derivata del primo elemento,
che moltiplica la derivata del secondo ossia
$x*(cosx)$
Da quì in poi si riprende con la regola di derivazione di una funzione fratta, per cui si moltiplica tutto per la non derivata del secondo.
ora mi sorge il problema perchè è $- (xsenx)$??
Risposte
La derivata di un quoziente $(f(x))/(g(x))$ si calcola così:
$D[(f(x))/(g(x))]=(D[f(x)]*g(x)-f(x)*D[g(x)])/(g^2(x))$.
Nel tuo caso
$f(x)=x*sinx$
e
$g(x)=1-x$.
Allora
$D[x*sinx]=1*sinx+x*cosx=sinx+x*cosx$,
$D[g(x)]=-1$.
Perciò il numeratore della derivata è
$D[f(x)]*g(x)-f(x)*D[g(x)]=(sinx+x*cosx)(1-x)-x*sinx*(-1)=$
$sinx+x*cosx-x*sinx-x^2*cosx+x*sinx=sinx+x*cosx-x^2*cosx$,
il denominatore è
$(1-x)^2$
e la derivata del rapporto
$(sinx+x*cosx-x^2*cosx)/(1-x)^2$.
$D[(f(x))/(g(x))]=(D[f(x)]*g(x)-f(x)*D[g(x)])/(g^2(x))$.
Nel tuo caso
$f(x)=x*sinx$
e
$g(x)=1-x$.
Allora
$D[x*sinx]=1*sinx+x*cosx=sinx+x*cosx$,
$D[g(x)]=-1$.
Perciò il numeratore della derivata è
$D[f(x)]*g(x)-f(x)*D[g(x)]=(sinx+x*cosx)(1-x)-x*sinx*(-1)=$
$sinx+x*cosx-x*sinx-x^2*cosx+x*sinx=sinx+x*cosx-x^2*cosx$,
il denominatore è
$(1-x)^2$
e la derivata del rapporto
$(sinx+x*cosx-x^2*cosx)/(1-x)^2$.
ah ok quindi il $-senx$ che nn capivo è la non derivata del primo elemento..
ok grazie.
PS
in questi giorni mi sto facendo esercizi sulle derivate,però sto riscontrando svariati problemi.
posso utilizzare questo stesso topic per chiedervi ulteriori chiarimenti anche su altre derivate? (ciò per evitare che il forum si affolli di miei messaggi)
grazie
ok grazie.
PS
in questi giorni mi sto facendo esercizi sulle derivate,però sto riscontrando svariati problemi.
posso utilizzare questo stesso topic per chiedervi ulteriori chiarimenti anche su altre derivate? (ciò per evitare che il forum si affolli di miei messaggi)
grazie
Certo che sì, come dici tu è meglio che affolare il forum 
.
Paola
.Paola
ok perfetto allora inizio subito 
ad esempio se prendo una derivata del genere
$sqrt(x ln (x^2))$
il primo passaggio è quello di fare la derivata di $x^2$ che è uguale a 1.
successivamente si fa la derivata della radice che secondo la formula dovrebbe venire
$1/(2*sqrt(x ln (x^2)))$
e poi??
fin quì è giusto o no?
ad esempio se prendo una derivata del genere
$sqrt(x ln (x^2))$
il primo passaggio è quello di fare la derivata di $x^2$ che è uguale a 1.
successivamente si fa la derivata della radice che secondo la formula dovrebbe venire
$1/(2*sqrt(x ln (x^2)))$
e poi??
fin quì è giusto o no?
No, per niente proprio . Allora, si comincia dalla funzione più "esterna", cioè l'ultima applicata diciamo. In questo caso la radice, quindi:
1. $1/2 \cdot (x \log(x^2))^{-1/2}\cdot D(x \log (x^2))$
Ora manca da fare la derivata a destra, che è
2. $D(x\log x^2)=$(derivata di un prodotto + funzione composta)$ D(x) \log x^2 + x D(\log x^2)= \log x^2 + x(2x \cdot 1/(x^2))= \log x^2+2$
Quindi alla fine la derivata iniziale è
3. $1/2 \cdot (x \log(x^2))^{-1/2}\cdot (\log x^2+2) $
Paola
. Allora, si comincia dalla funzione più "esterna", cioè l'ultima applicata diciamo. In questo caso la radice, quindi:1. $1/2 \cdot (x \log(x^2))^{-1/2}\cdot D(x \log (x^2))$
Ora manca da fare la derivata a destra, che è
2. $D(x\log x^2)=$(derivata di un prodotto + funzione composta)$ D(x) \log x^2 + x D(\log x^2)= \log x^2 + x(2x \cdot 1/(x^2))= \log x^2+2$
Quindi alla fine la derivata iniziale è
3. $1/2 \cdot (x \log(x^2))^{-1/2}\cdot (\log x^2+2) $
Paola
ok spero di capirle.
consideriamo questa :
$(3/x +1)^4$
il primo passaggio è di prendere quella più esterna quindi la potenza e avrò:
$4*(3/x +1)^3$
il secondo passaggio è di trovare le derivate che stanno dentro la parentesi giusto?
però visto che il primo elemento è una frazione devo derivarla tramite la regola di derivazione fratta? ossia
però su questo procedimento mi trovo un po' in difficoltà perchè mi da un numero negativo.
Come dovrei proseguire?
grazie
consideriamo questa :
$(3/x +1)^4$
il primo passaggio è di prendere quella più esterna quindi la potenza e avrò:
$4*(3/x +1)^3$
il secondo passaggio è di trovare le derivate che stanno dentro la parentesi giusto?
però visto che il primo elemento è una frazione devo derivarla tramite la regola di derivazione fratta? ossia
"chiaraotta":
$D[(f(x))/(g(x))]=(D[f(x)]*g(x)-f(x)*D[g(x)])/(g^2(x))$.
però su questo procedimento mi trovo un po' in difficoltà perchè mi da un numero negativo.
Come dovrei proseguire?
grazie
$D[(3/x +1)^4]=4*(3/x +1)^3*D[3/x+1]$.
Ma
$D[3/x+1]=D[3/x]+D[1]$.
Mentre è immediato che
$D[1]=0$,
è comodo pensare $3/x$ come $3*x^-1$.
Per cui
$D[3/x]=D[3*x^-1]=3*D[x^-1]=3*(-1)*x^-2=-3/(x^2)$.
Per cui
$D[(3/x +1)^4]=4*(3/x +1)^3*(-3)/(x^2)=-12*(3+x)^3/(x^5)$.
Ma
$D[3/x+1]=D[3/x]+D[1]$.
Mentre è immediato che
$D[1]=0$,
è comodo pensare $3/x$ come $3*x^-1$.
Per cui
$D[3/x]=D[3*x^-1]=3*D[x^-1]=3*(-1)*x^-2=-3/(x^2)$.
Per cui
$D[(3/x +1)^4]=4*(3/x +1)^3*(-3)/(x^2)=-12*(3+x)^3/(x^5)$.
ok
avrei un altro quesito
sto esercitandomi con uno studio di funzione però ho un dubbio nel calcolo del segno
$f(x)>o$ di $x e^x$
ora il mio dubbio è questo:
inizialmente lo avevo posto sempre positivo in quanto esponenziale però non avevo considerato la $x$ prima dell'esponenziale $e$
quindi come faccio?
posso scomporlo e fare 2 condizioni? ossia
$x>0$ e $e^x>0$
si può fare così?
avrei un altro quesito
sto esercitandomi con uno studio di funzione però ho un dubbio nel calcolo del segno
$f(x)>o$ di $x e^x$
ora il mio dubbio è questo:
inizialmente lo avevo posto sempre positivo in quanto esponenziale però non avevo considerato la $x$ prima dell'esponenziale $e$
quindi come faccio?
posso scomporlo e fare 2 condizioni? ossia
$x>0$ e $e^x>0$
si può fare così?
Se la funzione è $f(x)=xe^x$ il segno si studia in modo molto semplice.
Il fattore $e^x$ è $>0$ qualunque sia $x$. Perciò il segno della funzione è il segno di $x$:
$f(x)=0$ per $x=0$,
$f(x)<0$ per $x<0$,
$f(x)>0$ per $x>0$.
Il fattore $e^x$ è $>0$ qualunque sia $x$. Perciò il segno della funzione è il segno di $x$:
$f(x)=0$ per $x=0$,
$f(x)<0$ per $x<0$,
$f(x)>0$ per $x>0$.
la funzione è $(x e^x)/ (x-2)$
però per il denominatore il segno è facile da trovare cioè $x>2$ è positiva
mentre per $ x<2$ è negativa
quindi il numeratore è sempre positivo anche se c'è una $x$ prima dell'esponenziale?
però per il denominatore il segno è facile da trovare cioè $x>2$ è positiva
mentre per $ x<2$ è negativa
quindi il numeratore è sempre positivo anche se c'è una $x$ prima dell'esponenziale?
Il fattore $e^x$ è $>0$ qualunque sia $x$. Perciò il segno di $xe^x$ è il segno di $x$:
$xe^x=0$ per $x=0$,
$xe^x<0$ per $x<0$,
$xe^x>0$ per $x>0$
$xe^x=0$ per $x=0$,
$xe^x<0$ per $x<0$,
$xe^x>0$ per $x>0$
quindi il segno della funzione è $>o$ da $2+\infty$ giusto?
"xab":
quindi il segno della funzione è $>o$ da $2+\infty$ giusto?
No.
$|( , 0, , 2, , ),( -, \|, +, \|, +, xe^x),( -, \|, -, \|, +, x-2),( +, \|, -, \|, +, f(x)=(xe^x)/(x-2))|$
La funzione è $>0$ per $x<0$ e $x>2$.
a ok mentre se fosse solo $e^x$ sarebbe sempre positiva giusto?
Invece nella funzione
$f(x) = sqrt(e^-x -1)$
per cercare il dominio ho la condizione che $e^-x -1$ sia $>0$ perchè la radice è di indice pari.
ora posso scomporre quello che sta dentro la radice
mettendo $e^-x > 0$ e quindi sempre
e $-1 >0$ e quindi mai..dunque nn c'è un campo d'esistenza?
grazie del vostro aiuto.
siete davvero gentili
Invece nella funzione
$f(x) = sqrt(e^-x -1)$
per cercare il dominio ho la condizione che $e^-x -1$ sia $>0$ perchè la radice è di indice pari.
ora posso scomporre quello che sta dentro la radice
mettendo $e^-x > 0$ e quindi sempre
e $-1 >0$ e quindi mai..dunque nn c'è un campo d'esistenza?
grazie del vostro aiuto.
siete davvero gentili
"xab":
... se fosse solo $e^x$ sarebbe sempre positiva giusto?...
Sì, $e^x$ è $>0$ qualunque sia $x$.
"xab":
Invece nella funzione
$f(x) = sqrt(e^-x -1)$
per cercare il dominio ....
La funzione $f(x)=sqrt(e^-x-1)$ è definita se $e^-x-1>=0$.
Ma
$e^-x-1=1/e^x-1=(1-e^x)/e^x$.
Ora
$e^x$ è $>0$ qualsiasi sia $x$
e quindi
$(1-e^x)/e^x>=0$
se
$1-e^x>=0->e^x<=1->x<=0$.
ok capito.
ho dei dubbi su questa
$ f(x) x^4/4 - x^3/3 + (3x^2)/2 - x$
le derivate del numeratore sono:
$4x^3 - 3x^2 + 6x$
giusto?
ho dei dubbi su questa
$ f(x) x^4/4 - x^3/3 + (3x^2)/2 - x$
le derivate del numeratore sono:
$4x^3 - 3x^2 + 6x$
giusto?
$ D[ x^4/4 - x^3/3 + (3x^2)/2 - x]=1/4*4*x^3-1/3*3*x^2+3/2*2x-1$
non capisco perchè $1/4 ,1/3 $e$ 3/2$
Perché esiste un teorema secondo cui
$D[k*f(x)]=k*D[f(x)]$, se $k$ è una costante.
Per cui
$D[35/431*x^26]=35/431*D[x^26]=35/431*26*x^25$.
$D[k*f(x)]=k*D[f(x)]$, se $k$ è una costante.
Per cui
$D[35/431*x^26]=35/431*D[x^26]=35/431*26*x^25$.
a ok quindi è sottinteso che al numeratore ci sia $1$ e che quindi si considera $1/4 o 1/3$ come costante k.
una volta fatto ciò posso semplificare il $4$ del denominatore con il $4x^3$?
anche se però il $4x^3$ è un unico elemento
$1/4 *4x^3$
una volta fatto ciò posso semplificare il $4$ del denominatore con il $4x^3$?
anche se però il $4x^3$ è un unico elemento
$1/4 *4x^3$
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