Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
Infatti il tuo primo non lo avevo capito, sono un po' tardo in queste cose; al secondo avviso non avevo ancora capito con tanto di spiegazione, sono proprio indietro... e per di più l'avatar non mi avrebbe mai suggerito il sesso di alexp e non avevo letto quel suo messaggio, o se letto avevo trascurato il particolare... insomma sono decisamente messo male....
ragazza?
con un avatar simile?
ma va!
e, poi, un post precedente di Alexp:
"Forum: Congetture e Ricerca Libera Inviato: 10/04/2006, 10:01 Oggetto: Teorema dei residui ed integrali fratti
Ciao a tutti,
sono un ragazzo appassionato di matematica" (bold mio, hehe)
comunque lo "smile" ne richiamava uno precedente e non era altro che un preavviso di una scenata di gelosia!
vabbé, chiudo l'OT
con un avatar simile?
ma va!
e, poi, un post precedente di Alexp:
"Forum: Congetture e Ricerca Libera Inviato: 10/04/2006, 10:01 Oggetto: Teorema dei residui ed integrali fratti
Ciao a tutti,
sono un ragazzo appassionato di matematica" (bold mio, hehe)
comunque lo "smile" ne richiamava uno precedente e non era altro che un preavviso di una scenata di gelosia!
vabbé, chiudo l'OT
1) Certo, la metrica varia da punto a punto.
2) La prima forma fondamentale è il prodotto scalare tra i vettori tangenti; se li normalizziamo diventa il coseno dell'angolo compreso tra i vettori, che è invariante rispetto al cambiamento di coordinate, e non è sempre retto.
Per Fioravante: di cosa ti preoccupi? Se è quello che penso dallo smile..... beh, Alexp potrebbe anche essere una ragazza no?
2) La prima forma fondamentale è il prodotto scalare tra i vettori tangenti; se li normalizziamo diventa il coseno dell'angolo compreso tra i vettori, che è invariante rispetto al cambiamento di coordinate, e non è sempre retto.
Per Fioravante: di cosa ti preoccupi? Se è quello che penso dallo smile..... beh, Alexp potrebbe anche essere una ragazza no?
Luca,
devo cominciare a preoccuparmi?
Grazie......due cose:
1) Essendo che la metrica cambia da punto a punto (a meno di curvatura costante) si parlerà allora di metrica del punto di una superficie, mentre per parlare di metrica della superficie si intende in generale la prima forma quadratica fondamentale in cui i coefficienti non sono precisati nel punto, ma funzioni di u,v (ovviamente avendo scelto u e v come variabili curvilinee), è corretto?
2) In che senso la prima forma fondamentale è l'invariante coseno dell'angolo tra le tangenti? le tangenti essendo derivate parziali (ad es. in u e in v, essendo u e v assi ortogonali tra loro) sono derivate anch'esse ortogonali tra loro......dunque cosa significa? non mi è chiaro.
1) Essendo che la metrica cambia da punto a punto (a meno di curvatura costante) si parlerà allora di metrica del punto di una superficie, mentre per parlare di metrica della superficie si intende in generale la prima forma quadratica fondamentale in cui i coefficienti non sono precisati nel punto, ma funzioni di u,v (ovviamente avendo scelto u e v come variabili curvilinee), è corretto?
2) In che senso la prima forma fondamentale è l'invariante coseno dell'angolo tra le tangenti? le tangenti essendo derivate parziali (ad es. in u e in v, essendo u e v assi ortogonali tra loro) sono derivate anch'esse ortogonali tra loro......dunque cosa significa? non mi è chiaro.
Giusto, la prima forma è un invariante, ed è l'invariante coseno dell'angolo tra i vettori tangenti; ed il tensore metrico è un tensore 2-covariante.
Esatto, un cambiamento di parametrizzazione è un cambiamento di coordinate (meglio dire cambiamento di coordinate, invece che cambiamento di base).
Giusto, le metriche riemanniane sono funzioni in generale, il tensore metrico è un campo tensoriale non necessariamente costante. Non a caso per le geodetiche uno calcola l'inf delle lunghezze dei percorsi accettabili.
Esatto, un cambiamento di parametrizzazione è un cambiamento di coordinate (meglio dire cambiamento di coordinate, invece che cambiamento di base).
Giusto, le metriche riemanniane sono funzioni in generale, il tensore metrico è un campo tensoriale non necessariamente costante. Non a caso per le geodetiche uno calcola l'inf delle lunghezze dei percorsi accettabili.
Si!!! Dunque:
La prima forma quadratica è un invariante, mentre il tensore metrico è covariante, giusto?
Il cambiamento di base può essere per esempio, ad una curva, il cambiamento della parametrizzazione?
Ho trovato un sito che asseriva che la metrica di una superficie varia di punto in punto, io ho pensato perchè variano i coefficienti della prima forma differenziale, la distanza tra due punti che in "linea d'aria" (intendo attraversando la superficie) è uguale a quella che c'e tra altri due, può non esserlo però percorrendola sulla superficie, è giusto?
La prima forma quadratica è un invariante, mentre il tensore metrico è covariante, giusto?
Il cambiamento di base può essere per esempio, ad una curva, il cambiamento della parametrizzazione?
Ho trovato un sito che asseriva che la metrica di una superficie varia di punto in punto, io ho pensato perchè variano i coefficienti della prima forma differenziale, la distanza tra due punti che in "linea d'aria" (intendo attraversando la superficie) è uguale a quella che c'e tra altri due, può non esserlo però percorrendola sulla superficie, è giusto?
Sì, se un vettore inverso esiste allora l'inverso di un covariante è un controvariante e viceversa.
Il tensore metrico non è invariante, è un vettore covariante. Gli invarianti sono gli scalari che non dipendono dal sistema di coordinate.
Il tensore metrico non è invariante, è un vettore covariante. Gli invarianti sono gli scalari che non dipendono dal sistema di coordinate.
Ma di un qualunque tensore (o anche vettore), ad esempio covariante, il controvariante è il vettore inverso?
Perchè ho visto che il tensore metrico è definito un tensore covariante ed il prodotto con il proprio controvariante da la delta di KronecKer (ossia la matrice unità).
Essendo il tensore metrico un'invariante, ossia che non dipende dalla parametrizzazione, significa che invariante è sinonimo di covariante?
Perchè ho visto che il tensore metrico è definito un tensore covariante ed il prodotto con il proprio controvariante da la delta di KronecKer (ossia la matrice unità).
Essendo il tensore metrico un'invariante, ossia che non dipende dalla parametrizzazione, significa che invariante è sinonimo di covariante?
No, non si tratta di quei cambiamenti, muovendosi sulla varietà.
Si tratta di cambiare proprio coordinate locali della varietà. Una varietà differenziabile è un qualcosa che pezzo per pezzo è omeomorfa a pezzi dello spazio euclideo, attraverso mappe che ti danno le coordinate locali dei punti della varietà.
Ma di carte locali se ne possono avere tante, così si avranno tanti sistemi di coordinate locali attorno ad un punto della varietà. E' su questi sistemi che si deve giocare.
Si tratta di cambiare proprio coordinate locali della varietà. Una varietà differenziabile è un qualcosa che pezzo per pezzo è omeomorfa a pezzi dello spazio euclideo, attraverso mappe che ti danno le coordinate locali dei punti della varietà.
Ma di carte locali se ne possono avere tante, così si avranno tanti sistemi di coordinate locali attorno ad un punto della varietà. E' su questi sistemi che si deve giocare.
Ok, dunque il problema del cambiamento di coordinate di un vettore su una superficie, lo si incontra ad esempio se si fa uno spostamento parallelo infinitesimo del vettore?
Se si, in che senso le coordinate cambiano? (cambiano forse perchè si aggiunge una componente infinitesima?)
Se si, in che senso le coordinate cambiano? (cambiano forse perchè si aggiunge una componente infinitesima?)
No no, hai centrato un bel punto però: è un cambiamento generico, il sistema di coordinate non necessariamente è un sistema affine, potrebbero essere polari, o di qualunque altro tipo.
Infatti le coordinate di un vettore ordinario di uno spazio euclideo non formano, in generale, le componenti di un vettore covariante nè controvariante, perchè non cambiano in quel modo, se non per cambiamenti di base.
Infatti le coordinate di un vettore ordinario di uno spazio euclideo non formano, in generale, le componenti di un vettore covariante nè controvariante, perchè non cambiano in quel modo, se non per cambiamenti di base.
Ma il cambiamento di coordinate è dovuto ad un cambiamento di base?
Non si tratta di fare un esempio, sono di per sè vettori covarianti e controvarianti.
Sia dato un vettore di componenti $A^k$ in un certo sistema di coordinate $x_k$; siano $B^k$ le nuove componenti dello stesso vettore rispetto al nuovo sistema di coordinate $y_k$. Allora tali componenti formano un vettore controvariante se
$A^k=\sum_(i=1)^n(\partial x_k) / (\partial y_i)B^i$.
Il vettore tangente ad una curva $(dx_k)/(dt)$ è un vettore controvariante. Infatti se cambiamo le coordinate si ha
$(dx_k)/(dt)=\sum_(i=1)^n(\partial x_k) / (\partial y_i)(dy_i)/(dt)$.
Sia dato un vettore di componenti $A_k$ in un certo sistema di coordinate $x_k$; siano $B_k$ le nuove componenti dello stesso vettore rispetto al nuovo sistema di coordinate $y_k$. Allora tali componenti formano un vettore covariante se
$B_k=\sum_(i=1)^n(\partial x_i) / (\partial y_k)A_i$.
Il gradiente di una funzione scalare $f$ dato da $(\partial f)/(\partial x_k)$ è un vettore covariante. Infatti se cambiamo le coordinate si ha
$(\partial f)/(\partial y_k)=\sum_(i=1)^n(\partial x_i) / (\partial y_k)(\partial f)/(\partial x_i)$.
Sia dato un vettore di componenti $A^k$ in un certo sistema di coordinate $x_k$; siano $B^k$ le nuove componenti dello stesso vettore rispetto al nuovo sistema di coordinate $y_k$. Allora tali componenti formano un vettore controvariante se
$A^k=\sum_(i=1)^n(\partial x_k) / (\partial y_i)B^i$.
Il vettore tangente ad una curva $(dx_k)/(dt)$ è un vettore controvariante. Infatti se cambiamo le coordinate si ha
$(dx_k)/(dt)=\sum_(i=1)^n(\partial x_k) / (\partial y_i)(dy_i)/(dt)$.
Sia dato un vettore di componenti $A_k$ in un certo sistema di coordinate $x_k$; siano $B_k$ le nuove componenti dello stesso vettore rispetto al nuovo sistema di coordinate $y_k$. Allora tali componenti formano un vettore covariante se
$B_k=\sum_(i=1)^n(\partial x_i) / (\partial y_k)A_i$.
Il gradiente di una funzione scalare $f$ dato da $(\partial f)/(\partial x_k)$ è un vettore covariante. Infatti se cambiamo le coordinate si ha
$(\partial f)/(\partial y_k)=\sum_(i=1)^n(\partial x_i) / (\partial y_k)(\partial f)/(\partial x_i)$.
Potresti (ovviamente quando hai tempo, non è assolutamente urgente) farmi un esempio, con il vettore tg e il gradiente, in modo che possa realizzare meglio il concetto di covarianza e controvarianza?
Vettori covarianti e controvarianti sono le fondamenta del calcolo tensoriale.
In parole povere si tratta di ennuple di numeri che si trasformano, al cambiare delle coordinate sulla varietà, in un determinato modo.
Il rappresentante fondamentale dei vettori controvarianti è il vettore tangente ad una curva; esso cambia in un modo ben preciso al cambiare delle coordinate, infatti cambia mediante i coefficienti $(\partial x_k) / (\partial y_k)$ se $y_k$ è il nuovo sistema di coordinate.
Invece i vettori covarianti cambiano mediante il coefficiente inverso: $(\partial y_k) / (\partial x_k)$; ad esempio il gradiente di una funzione scalare è un vettore covariante.
Questa scelta si opera per cercare di andare a trovare espressioni che, in un certo senso, non dipendano dalla scelta delle coordinate; infatti se troviamo, sulla varietà, dei vettori covarianti e controvarianti, e sappiamo le componenti in un sistema di coordinate, le sappiamo anche in tutti gli altri sistemi di coordinate. Ecco che l'avere questi oggetti, e più in generale tensori covarianti e controvarianti, è di fondamentale importanza per definire leggi sulla varietà che "non dipendono" dal sistema di riferimento scelto.
In parole povere si tratta di ennuple di numeri che si trasformano, al cambiare delle coordinate sulla varietà, in un determinato modo.
Il rappresentante fondamentale dei vettori controvarianti è il vettore tangente ad una curva; esso cambia in un modo ben preciso al cambiare delle coordinate, infatti cambia mediante i coefficienti $(\partial x_k) / (\partial y_k)$ se $y_k$ è il nuovo sistema di coordinate.
Invece i vettori covarianti cambiano mediante il coefficiente inverso: $(\partial y_k) / (\partial x_k)$; ad esempio il gradiente di una funzione scalare è un vettore covariante.
Questa scelta si opera per cercare di andare a trovare espressioni che, in un certo senso, non dipendano dalla scelta delle coordinate; infatti se troviamo, sulla varietà, dei vettori covarianti e controvarianti, e sappiamo le componenti in un sistema di coordinate, le sappiamo anche in tutti gli altri sistemi di coordinate. Ecco che l'avere questi oggetti, e più in generale tensori covarianti e controvarianti, è di fondamentale importanza per definire leggi sulla varietà che "non dipendono" dal sistema di riferimento scelto.
Potresti spiegarmi "alla buona" cosa sono i vettori covarianti e controvarianti?
In italiano non ne conosco purtroppo; ma non dovrebbe essere un problema l'inglese. Ti consiglio il DoCarmo, Riemannian geometry. E' un po' astratto ma fa tutto per bene, come è il suo stile.
Caspita!!! ho cercato in internet come calcolare l'equazione di una generica geodetica, ma è veramente un gran "casino"!
Non ho nemmeno capito i passaggi logici che si fa per arrivare all'equazione!
Non esiste una spiegazione più chiara che non implichi i simboli di Christoffel?
Sapresti indicarmi un ottimo libro di Geometria reinmaniana in italiano, che spieghi in modo chiaro, magari puntando sul lato intuitivo, e con molti esempi ed esercizi chiarificatori?
Mi piacerebbe per lo meno addentrarmici un pochino, ho svolto il programma di analisi 1, analisi 2, algebra lineare, geometria analitica, geometria differenziale ed ora vorrei provare con la geometria reinmaniana!
Non ho nemmeno capito i passaggi logici che si fa per arrivare all'equazione!
Non esiste una spiegazione più chiara che non implichi i simboli di Christoffel?
Sapresti indicarmi un ottimo libro di Geometria reinmaniana in italiano, che spieghi in modo chiaro, magari puntando sul lato intuitivo, e con molti esempi ed esercizi chiarificatori?
Mi piacerebbe per lo meno addentrarmici un pochino, ho svolto il programma di analisi 1, analisi 2, algebra lineare, geometria analitica, geometria differenziale ed ora vorrei provare con la geometria reinmaniana!
Dipende dal professore; in generale un primo corso di Geometria differenziale dovrebbe essere sulla curva e sulla superficie nello spazio, e questo ci sta anche al secondo anno. Un corso superiore (una istituzione o un geometria superiore) potrebbe essere di Geometria riemanniana.
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