Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
Si, alla fine c'ero arrivato........Grazie di tutto!!!
Alexp
Alexp
$ =g_(ij)v^iw^j$ è anche uguale a $||v||*||w||*cos \theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori. Nel caso particolare $v=w$ si ha dunque $\theta=0$ da cui $g_(ij)v^iv^j=||v||^2$.
"arriama":
Per Thomas.
Ho capito bene ? Sei uno studente di Fisica ? Allora non puoi prescindere dalla geometria differenziale e dal calcolo tensoriale ad essa collegato.
La teoria della relatività si basa essenzialmente sulla geometria differenziale ...
La base matematica della meccanica quantistica, invece, è l'analisi funzionale ma, con la nuova teoria delle stringhe si sta producendo una fusione delle due ... creando nuove matematiche ad hoc ...
eh beh... devo iniziare il secondo anno, non sono ancora così evoluto, anzi... ma prima o poi qualcosa bisognerà pur fare
... ringrazio Luca ed Alexp per i consigli: ora vedrò cosa fare... potresti venire da me a fare quel corso, Luca 
ps: scusate l'intromissione
, eh... ma mi avete incuriosito
Ma allora $ =g_(ij)v^iw^j$ dà ||v||^2 solo se v e w sono lo stesso vettore, altrimenti avrò ||v||.........mi sbaglio?
Certo.
Scusa, ma allora vale la stessa cosa anche per $ =g_(ij)v^iw^j$ ?
Quanto dici è vero se i 2 vettori sono uguali : $v*v = |v|^2 $, cioè il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del modulo del vettore stesso ed anche , il che è lo stesso : $ |v| = sqrt(v*v)$.
Se fai il prodotto scalare di un vettore con se stesso sì.
Ok......grazie, ora posso andare in ferie un po' più soddisfatto.........
Dunque un semplicissimo prodotto scalare $v1*v2=|v1|*|v2|*cos(b)$ da come risultato il modulo al quadrato di un vettore?
Dunque un semplicissimo prodotto scalare $v1*v2=|v1|*|v2|*cos(b)$ da come risultato il modulo al quadrato di un vettore?
Certo che è così, il simbolo di sommatoria è sottinteso, per la convenzione di Einstein.
AHHHHHHHHHHH........ho capito che scemo che sono!!!!!!!!!!! me ne vergogno 
In pratica i,j valgono 1 o 2 quindi sarebbe quello che avevo già scritto io :
"Io so che se:
v=aPu+bPv e w=cPu+dPv (Pu e Pv vettori tg)
allora:
v*w=E(u0,v0)*ac+F(u0,v0)*(ad+bc)+G(u0,v0)bd
(dove E,F,G sono le componenti del tensore metrico)"
Qui basta esprime i vettori v, w nella base (Pu,Pv) ed ottengo v=a,b e w=c,d a questo punto le combino con il tensore metrico......ma forse non bisogna aggiungere davanti il simbolo di sommatoria? ossia sum_$g_(ij)v^iw^j$?
In pratica i,j valgono 1 o 2 quindi sarebbe quello che avevo già scritto io :
"Io so che se:
v=aPu+bPv e w=cPu+dPv (Pu e Pv vettori tg)
allora:
v*w=E(u0,v0)*ac+F(u0,v0)*(ad+bc)+G(u0,v0)bd
(dove E,F,G sono le componenti del tensore metrico)"
Qui basta esprime i vettori v, w nella base (Pu,Pv) ed ottengo v=a,b e w=c,d a questo punto le combino con il tensore metrico......ma forse non bisogna aggiungere davanti il simbolo di sommatoria? ossia sum_$g_(ij)v^iw^j$?
Per Thomas.
Ho capito bene ? Sei uno studente di Fisica ? Allora non puoi prescindere dalla geometria differenziale e dal calcolo tensoriale ad essa collegato.
La teoria della relatività si basa essenzialmente sulla geometria differenziale ...
La base matematica della meccanica quantistica, invece, è l'analisi funzionale ma, con la nuova teoria delle stringhe si sta producendo una fusione delle due ... creando nuove matematiche ad hoc ...
Ho capito bene ? Sei uno studente di Fisica ? Allora non puoi prescindere dalla geometria differenziale e dal calcolo tensoriale ad essa collegato.
La teoria della relatività si basa essenzialmente sulla geometria differenziale ...
La base matematica della meccanica quantistica, invece, è l'analisi funzionale ma, con la nuova teoria delle stringhe si sta producendo una fusione delle due ... creando nuove matematiche ad hoc ...
Concordo con Arrigo, vai più piano, la Matematica non si studia così rapidamente, se no non si impara.
1) No, in generale non lo è. Se scorri indietro vedrai che tra me e Arrigo si parlava del $g_(ij)$ in teoria della relatività, che non è la delta di Kronecker.
2)No, non è un errore, il prodotto scalare $$ ti dà la lunghezza al quadrato del vettore $v$.
3)Se ti sentisse Arrigo.... il tensore metrico dà tutto sulla varietà!! Come la prima forma dà tutto sulla superficie immersa in $\RR^3$.
2)No, non è un errore, il prodotto scalare $
3)Se ti sentisse Arrigo.... il tensore metrico dà tutto sulla varietà!! Come la prima forma dà tutto sulla superficie immersa in $\RR^3$.
Caro Alexp, scusa se mi permetto, ma, secondo me, stai usando un metodo di studio errato !!!
Non si affronta una materia così complicata in questo modo, con botte e risposte a pioggia ... scusa ancora se mi permetto, ma temo che tu stia perdendo del tempo prezioso in questo modo rischiando poi di fare una gran confusione ...
Secondo me, dovresti procedere con più calma, sistematicamente, senza passare da un concetto all'altro, meditando a fondo e "digerendo" le cose un po' alla volta ovviamente studiando su un buon testo ...
Altrimenti, non dai tempo alle tue sinapsi di formarsi stabilmente ...
ps. la delta di K. corrisponde al tensore metrico DELLA varietà $R^n$, cioè di tutto lo spazio euclideo !!! rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, ovviamente. Se cambi coordinate, il tensore metrico cambia ...
ps. scusa ancora se ho giudicato il tuo metodo di studio
Non si affronta una materia così complicata in questo modo, con botte e risposte a pioggia ... scusa ancora se mi permetto, ma temo che tu stia perdendo del tempo prezioso in questo modo rischiando poi di fare una gran confusione ...
Secondo me, dovresti procedere con più calma, sistematicamente, senza passare da un concetto all'altro, meditando a fondo e "digerendo" le cose un po' alla volta ovviamente studiando su un buon testo ...
Altrimenti, non dai tempo alle tue sinapsi di formarsi stabilmente ...
ps. la delta di K. corrisponde al tensore metrico DELLA varietà $R^n$, cioè di tutto lo spazio euclideo !!! rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, ovviamente. Se cambi coordinate, il tensore metrico cambia ...
ps. scusa ancora se ho giudicato il tuo metodo di studio
Non capisco tre cose:
1) Perchè in $g_(ij)$ in $\RR^n$ è la delta di Kronecker, mentre generalmente non lo è?
2) il prodotto scalare mi procura il modulo di un vettore (per direzione si può scegliere quella di uno dei vettori implicati) non il modulo al quadrato, giusto? (il tuo è stato un errore di digitazione?)
3)Il tensore metrico quindi dice quanto sono lunghi i vettori tg oppure è utilizzato nel calcolare il mod. dei vettori tg (cioè di persè non dice nulla)?
1) Perchè in $g_(ij)$ in $\RR^n$ è la delta di Kronecker, mentre generalmente non lo è?
2) il prodotto scalare mi procura il modulo di un vettore (per direzione si può scegliere quella di uno dei vettori implicati) non il modulo al quadrato, giusto? (il tuo è stato un errore di digitazione?)
3)Il tensore metrico quindi dice quanto sono lunghi i vettori tg oppure è utilizzato nel calcolare il mod. dei vettori tg (cioè di persè non dice nulla)?
Certo che c'entra, è esattamente la stessa cosa, solo che le componenti del tensore metrico si chiamano $E,F,G$ se sei sopra una superficie di $\RR^3$, mentre si chiamano $g_(ij)$ se sei sopra una verietà.
Io so che se:
v=aPu+bPv e w=cPu+dPv (Pu e Pv vettori tg)
allora:
v*w=E(u0,v0)*ac+F(u0,v0)*(ad+bc)+G(u0,v0)bd
(dove E,F,G sono le componenti del tensore metrico)......centra con il tuo ragionamento precedente?
v=aPu+bPv e w=cPu+dPv (Pu e Pv vettori tg)
allora:
v*w=E(u0,v0)*ac+F(u0,v0)*(ad+bc)+G(u0,v0)bd
(dove E,F,G sono le componenti del tensore metrico)......centra con il tuo ragionamento precedente?
Ah..non lo sapevo, perchè in $g_(ij)$ in $\RR^n$ è la delta di Kronecker, mentre generalmente non lo è?
Certo, in $\RR^n$ hai che $ =v^iw^i$, ed infatti $g_(ij)$ in $\RR^n$ è la delta di Kronecker.
In generale non lo è, e quindi $ =g_(ij)v^iw^j$. Con il prodotto scalare si definisce subito la lunghezza di un vettore tangente; basta fare attenzione a quel dettaglio del fattore di correzione.
In generale non lo è, e quindi $
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