Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
Ok.......un'ultima cosa e poi ascolterò i vostri consigli e mi procurerò il Do Carmo......
In una superficie, in generale è corretto dire che non ha senso parlare di direzione di curvatura totale in un punto? Ho pensato, visto che la curvatura totale è data dal prodotto delle curvatura principali, ed essendo possibile che le curvature principali abbiano segno opposto (punto di sella), non esiste una direzione che "rappresenti" la direzione (scusate il gioco di parole) della curvatura totale......dunque secondo questo perde di senso....è corretto?
In una superficie, in generale è corretto dire che non ha senso parlare di direzione di curvatura totale in un punto? Ho pensato, visto che la curvatura totale è data dal prodotto delle curvatura principali, ed essendo possibile che le curvature principali abbiano segno opposto (punto di sella), non esiste una direzione che "rappresenti" la direzione (scusate il gioco di parole) della curvatura totale......dunque secondo questo perde di senso....è corretto?
In generale uno può parlare di parametrizzazione $r$ per una sottovarietà di $\RR^n$ come un diffeomorfismo che mappa un aperto $A$ di $\RR^k$ nella sua immagine $r(A)$ che risulta appunto essere una varietà differenziabile di dimensione $k$.
Questa è la situazione standard in cui ci si mette; tieni conto che la maggior parte delle definizioni che si danno su varietà sono date in termini di funzioni differenziabili sulla varietà stessa, e la differenziabilità di funzioni definite su varietà è consistente quando appunto le varietà sono differenziabili.
Ti consiglio di seguire il consiglio bibliografico di Arrigo, il DoCarmo, dal mio punto di vista, è il più bello e chiaro libro di Matematica che io abbia mai letto. Pensa che non c'è stata una pagina di questo stupendo testo che ho mai dovuto leggere più di una volta per essere capita. Non so se anche Arrigo, esperto in Geometria differenziale, la pensa come me, ma credo che sia anche per lui uno tra i preferiti. Quindi prima imparati appunto per bene e solidamente lo schema generale che c'è sotto, quando "tutto funziona bene". Poi per conto tuo è più facile vedere cosa succede quando varie cose cadono. Tieni conto che io come percorso ho sempre fatto così; e infatti adesso che ho padronanza con la teoria generale regolare, mi è "facile" rispondere alle tue domande, ma non perchè sia bravo, ma perchè sapere con fermezza come vanno le cose quando tutto è al posto giusto, ti permette di intuire e usare con padronanza le definizioni stesse e cercare di applicarle anche in contesti meno regolari.
Questa è la situazione standard in cui ci si mette; tieni conto che la maggior parte delle definizioni che si danno su varietà sono date in termini di funzioni differenziabili sulla varietà stessa, e la differenziabilità di funzioni definite su varietà è consistente quando appunto le varietà sono differenziabili.
Ti consiglio di seguire il consiglio bibliografico di Arrigo, il DoCarmo, dal mio punto di vista, è il più bello e chiaro libro di Matematica che io abbia mai letto. Pensa che non c'è stata una pagina di questo stupendo testo che ho mai dovuto leggere più di una volta per essere capita. Non so se anche Arrigo, esperto in Geometria differenziale, la pensa come me, ma credo che sia anche per lui uno tra i preferiti. Quindi prima imparati appunto per bene e solidamente lo schema generale che c'è sotto, quando "tutto funziona bene". Poi per conto tuo è più facile vedere cosa succede quando varie cose cadono. Tieni conto che io come percorso ho sempre fatto così; e infatti adesso che ho padronanza con la teoria generale regolare, mi è "facile" rispondere alle tue domande, ma non perchè sia bravo, ma perchè sapere con fermezza come vanno le cose quando tutto è al posto giusto, ti permette di intuire e usare con padronanza le definizioni stesse e cercare di applicarle anche in contesti meno regolari.
Si, scusa se i post presentano delle imprecisioni è che scrivendo velocemente a volte sono terribilmente non corretto....stessa cosa è per quanto riguarda i "ritocchi", cerchero' di pensare bene alla domanda prima di scriverla.
Dunque non esiste un concetto di biregolarità per le superfici, giusto?
Dunque non esiste un concetto di biregolarità per le superfici, giusto?
(1)
La tua domanda presenta, secondo me, due imprecisioni.
a) tu dici "... ma solo nell'intorno di 0 ..."
Cosa significa essere nullo nell'intorno di 0 ? Se mai in UN intorno di 0 ...
b) il prolungamento si fa, se possibile, in punti che non appartengono al dominio originario !!!
Se tu dici che una funzione è nulla in un intorno di 0, siccome un intorno di 0 contiene anche 0, la condizione di cui sopra non è soddisfatta. Il problema non si pone perchè la funzione è continua su tutto l'intorno.
La domanda andrebbe riformulata così (se ho inteso il senso del tuo ragionamento).
"... ma se la tosione non fosse stata nulla su tutto A, ma solo IN UN CERTO INTORNO di 0 MENO 0 STESSO, il prolungamento continuo implica comunque "l'estensione" anche nel punto 0 del valore nullo della torsione? ..."
Allora la risposta sarebbe : sì.
(2)
La risposta alla prima domanda della (2) è sì.
La risposta alla seconda domanda della (2) per me è :
la teoria standard intende per "liscia" una "cosa" avente TUTTE le derivate continue, quindi di classe C-infinito. In altri casi bisogna vedere volta per volta ...
(3)
La definizione di superficie regolare è più complicata di come l'hai detta. Manca il discorso circa l'omeomorfismo.
Comunque, il rango dello jacobiano deve essere 2 (parlo ovviamente si superficie di R^3).
Questo implica che il prodotto vettoriale dei vettori tangenti alla superficie in un suo punto, parlo dei vettori colonna dello jacobiano, sia non nullo. E' questa la condizione di regolarità !!!
Ciao. Arrigo.
ps. una notazione personale. Siccome io ho una formaziona da fisico ed ho anche una certa età (56, ahimè ...) per cui da giovane non mi sono abituato a fare certi ragionamenti matematici "sottili" e, come si sa, la forma mentis che si acquisisce da giovani è poi molto difficile da cambiare, chiederei l'aiuto di Luca. Grazie ...
ps. per Alexp. Tutti i dubbi che ti vengono (scusa se mi permetto di suggerirti) sono ben trattati e risolti dal Do Carmo, differential geometry of curves and surfaces. Io, se fossi in te, "butterei via tutto" (in senso figurato ...) e mi leggerei bene quello ... e tutto si chiarirà ... e ... non andare sempre a cercare le eccezioni, fatti uno schema mentale chiaro sui concetti generali ... il resto verrà da sè ...
ps. ancora per Alexp. Cerca di non cambiare il post dopo che l'hai scritto, se no è difficile rispondere ... e scusa se sono stato troppo logorroico ...
La tua domanda presenta, secondo me, due imprecisioni.
a) tu dici "... ma solo nell'intorno di 0 ..."
Cosa significa essere nullo nell'intorno di 0 ? Se mai in UN intorno di 0 ...
b) il prolungamento si fa, se possibile, in punti che non appartengono al dominio originario !!!
Se tu dici che una funzione è nulla in un intorno di 0, siccome un intorno di 0 contiene anche 0, la condizione di cui sopra non è soddisfatta. Il problema non si pone perchè la funzione è continua su tutto l'intorno.
La domanda andrebbe riformulata così (se ho inteso il senso del tuo ragionamento).
"... ma se la tosione non fosse stata nulla su tutto A, ma solo IN UN CERTO INTORNO di 0 MENO 0 STESSO, il prolungamento continuo implica comunque "l'estensione" anche nel punto 0 del valore nullo della torsione? ..."
Allora la risposta sarebbe : sì.
(2)
La risposta alla prima domanda della (2) è sì.
La risposta alla seconda domanda della (2) per me è :
la teoria standard intende per "liscia" una "cosa" avente TUTTE le derivate continue, quindi di classe C-infinito. In altri casi bisogna vedere volta per volta ...
(3)
La definizione di superficie regolare è più complicata di come l'hai detta. Manca il discorso circa l'omeomorfismo.
Comunque, il rango dello jacobiano deve essere 2 (parlo ovviamente si superficie di R^3).
Questo implica che il prodotto vettoriale dei vettori tangenti alla superficie in un suo punto, parlo dei vettori colonna dello jacobiano, sia non nullo. E' questa la condizione di regolarità !!!
Ciao. Arrigo.
ps. una notazione personale. Siccome io ho una formaziona da fisico ed ho anche una certa età (56, ahimè ...) per cui da giovane non mi sono abituato a fare certi ragionamenti matematici "sottili" e, come si sa, la forma mentis che si acquisisce da giovani è poi molto difficile da cambiare, chiederei l'aiuto di Luca. Grazie ...
ps. per Alexp. Tutti i dubbi che ti vengono (scusa se mi permetto di suggerirti) sono ben trattati e risolti dal Do Carmo, differential geometry of curves and surfaces. Io, se fossi in te, "butterei via tutto" (in senso figurato ...) e mi leggerei bene quello ... e tutto si chiarirà ... e ... non andare sempre a cercare le eccezioni, fatti uno schema mentale chiaro sui concetti generali ... il resto verrà da sè ...
ps. ancora per Alexp. Cerca di non cambiare il post dopo che l'hai scritto, se no è difficile rispondere ... e scusa se sono stato troppo logorroico ...
1) Una precisazione.....ma se la tosione non fosse stata nulla su tutto A, ma solo nell'intorno di 0, il prolungamento continuo implica comunque "l'estensione" anche nel punto 0 del valore nullo della torsione?
2) Dunque si puo' dire che la curva del tuo esempio è regolare e liscia, ma non biregolare?
(dunque per far in modo che valga sempre la teoria generale bisogna avere curve lisce e biregolari). Se la curva è di classe 2 della continuità e quindi non liscia, cosa puo' implicare?
3) Mentre per una superficie occorre che sia differenziabile e che (per la regolarità) la matrice jacobiana delle derivate prime parziali abbia rango massimo, occorre anche qui la biregolarità? se si, come la si verifica?
2) Dunque si puo' dire che la curva del tuo esempio è regolare e liscia, ma non biregolare?
(dunque per far in modo che valga sempre la teoria generale bisogna avere curve lisce e biregolari). Se la curva è di classe 2 della continuità e quindi non liscia, cosa puo' implicare?
3) Mentre per una superficie occorre che sia differenziabile e che (per la regolarità) la matrice jacobiana delle derivate prime parziali abbia rango massimo, occorre anche qui la biregolarità? se si, come la si verifica?
Sì
Quello del prolungamento continuo è un concetto fondamentale.
Sia g una funzione definita su A ed ivi continua. Sia A sottoinsieme proprio di B e sia A denso in B. Sia g convergente in ogni punto di B - A.
Allora esiste UNA SOLA funzione f definita su B ed ivi continua tale che f/A = g (f/A è la restrizione di f ad A).
La funzione f si chiama prolungamento continuo di g su B.
Nel nostro caso A = R-{0} e B = R. A è denso in B. La torsione è nulla su tutto A per cui è una funzione continua su A (attenzione al tranello ...). Allora la funzione nulla su tutto B è il prolungamento continuo della prima funzione.
ps. i discosi con termini quali "intorni infinitesimi" ecc. non sono rigorosi ... e possono essere fuorvianti ...
Quello del prolungamento continuo è un concetto fondamentale.
Sia g una funzione definita su A ed ivi continua. Sia A sottoinsieme proprio di B e sia A denso in B. Sia g convergente in ogni punto di B - A.
Allora esiste UNA SOLA funzione f definita su B ed ivi continua tale che f/A = g (f/A è la restrizione di f ad A).
La funzione f si chiama prolungamento continuo di g su B.
Nel nostro caso A = R-{0} e B = R. A è denso in B. La torsione è nulla su tutto A per cui è una funzione continua su A (attenzione al tranello ...). Allora la funzione nulla su tutto B è il prolungamento continuo della prima funzione.
ps. i discosi con termini quali "intorni infinitesimi" ecc. non sono rigorosi ... e possono essere fuorvianti ...
Si...hai ragione!!! in questo caso curvatura e torsione li hai calcolati negli intorni del punto, ossia per t che tende a 0+ e per t che tende a 0- ?
Cosa si intende per prolungamento continuo? si intende di estendere il valore nel punto pari a quello ottenuto negli intorno infinitesimi?
Cosa si intende per prolungamento continuo? si intende di estendere il valore nel punto pari a quello ottenuto negli intorno infinitesimi?
Il modo con cui si definisce una funzione è ininfluente !! Non vi è nessuna restrizione a riguardo.
La nostra curva in t = 0 è differenziabile perchè tutte le derivate destre e sinistre di ogni ordine si "saldano" in t = 0 in modo che la curva è ivi "liscia".
Le curve regolari a tratti sono un'altra cosa ...
E' bello notare che la curva in questione ha due piani osculatori distiniti per t<0 e per t>0 ma, per prolungamento continuo, la sua torsione è identicamente nulla per ogni t reale. Questa, in definitiva, è una curva regolare (con tangente diversa da 0 ovunque), con curvatura nulla in t = 0 (anche in altri due punti non interessanti), torsione nulla ovunque, ma non è una curva piana ...
Per cui attenzione ai punti con curvatura nulla ...
La nostra curva in t = 0 è differenziabile perchè tutte le derivate destre e sinistre di ogni ordine si "saldano" in t = 0 in modo che la curva è ivi "liscia".
Le curve regolari a tratti sono un'altra cosa ...
E' bello notare che la curva in questione ha due piani osculatori distiniti per t<0 e per t>0 ma, per prolungamento continuo, la sua torsione è identicamente nulla per ogni t reale. Questa, in definitiva, è una curva regolare (con tangente diversa da 0 ovunque), con curvatura nulla in t = 0 (anche in altri due punti non interessanti), torsione nulla ovunque, ma non è una curva piana ...
Per cui attenzione ai punti con curvatura nulla ...
Si beh....in casi come questi è vero, ma sono funzioni (scusami, ma non so come definirle mi manca la terminologia) formate da spezzati di altre curve, ma con curve non spezzate è molto più difficile trovare un esempio, non dico che non esistano, però esempi al volo non me ne vengono....cosa ne pensi?
Le curve regolari che hanno curvatura nulla in un punto isolato ed in quel punto non è definibile un piano osculatore sono infinite ...
Questo ne è un bell'esempio (tratto dal Do Carmo) :
(t, 0, exp(-1/t^2)) ; t > 0
(t, exp(-1/t^2), 0) ; t < 0
(0, 0, 0) ; t = 0 .
Interessante anche quello che in questo caso si può dire sulla torsione ...
Ciao. Arrigo.
Questo ne è un bell'esempio (tratto dal Do Carmo) :
(t, 0, exp(-1/t^2)) ; t > 0
(t, exp(-1/t^2), 0) ; t < 0
(0, 0, 0) ; t = 0 .
Interessante anche quello che in questo caso si può dire sulla torsione ...
Ciao. Arrigo.
Ok....anche se sinceramente io penso che il discorso debba essere invertito, il fatto di non riuscire a calcolare il piano osculatore in un punto di curvatura nulla, valga solo per la retta e qualche altra funzione particolare, anche se non riesco a trovare neanche un esempio, in generale credo invece che utilizzando le definizioni il piano osculatore lo si trova sempre anche in punti di curvatura nulla.....non credi?
Eh sì, ha ragione Arrigo in generale, se la curvatura è nulla sei praticamente in un "pezzo di retta" e per la retta non è ben definito il piano osculatore. Questo vale in generale però, non è detto che sia così per tutte le curve. Nel tuo caso il piano osculatore c'è perchè il punto di curvatura nulla è isolato e i piani osculatori "vicini" tendono ad un unico piano, che è osculatore nel punto a curvatura zero.
Ciò conferma quanto si diceva da sempre: se non hai la regolarità sufficiente per usare la teoria classica va fatto tutto "a mano", o usando altre vie più teoriche.
Ciò conferma quanto si diceva da sempre: se non hai la regolarità sufficiente per usare la teoria classica va fatto tutto "a mano", o usando altre vie più teoriche.
Si scusami, hai ragione è regolare, mi sono confuso, intendevo dire che con il metodo "classico"
non si riesce a determinare il piano osculatore.....però usando la definizione risulta z=y.....ti dico questo perchè una volta sul forum di Arrigo Amadori mi era stato risposto che in un punto di curvatura nulla, non è possibile trovare il piano osculatore.
Ma secondo me è possibile, l'esempio lo dimostra.....cosa ne pensi?
non si riesce a determinare il piano osculatore.....però usando la definizione risulta z=y.....ti dico questo perchè una volta sul forum di Arrigo Amadori mi era stato risposto che in un punto di curvatura nulla, non è possibile trovare il piano osculatore.
Ma secondo me è possibile, l'esempio lo dimostra.....cosa ne pensi?
Perchè non è regolare? Mi sembra che il vettore normale venga....
Luca, un'ultima cosa per fare il riassunto sul primo argomento (dell'inizio).
Se io ho una curva:
x=t
y=t^3
z=t^3
e costruisco il piano osculatore in t=0 (ovviamente la parametrizzazione non è regolare nel punto) sfruttando la definizione, ottengo che il piano è z=y. E' corretto?
Dunque il piano osculatore è z=y, non è corretto dire che la curva nel punto ha infiniti piani osculatori, cioè avrà infiniti piani "incernierati" nella tangente che avranno un contatto del secondo ordine almeno con la curva, ma il piano osculatore è z=y.
Grazie
Alexp
Se io ho una curva:
x=t
y=t^3
z=t^3
e costruisco il piano osculatore in t=0 (ovviamente la parametrizzazione non è regolare nel punto) sfruttando la definizione, ottengo che il piano è z=y. E' corretto?
Dunque il piano osculatore è z=y, non è corretto dire che la curva nel punto ha infiniti piani osculatori, cioè avrà infiniti piani "incernierati" nella tangente che avranno un contatto del secondo ordine almeno con la curva, ma il piano osculatore è z=y.
Grazie
Alexp
Ok, grazie Luca!
No, non tutti. Ad esempio nello spazio euclideo $\RR^n$ il vettore generico non è nè covariante nè controvariante. Infatti al cambiamento di coordinate in $\RR^n$ non hai la trasformazione tensoriale del vettore. Ce l'hai solo se cambi la base in un'altra, poichè la matrice del cambiamento di base è proprio la matrice costante della trasformazione tensoriale. Ma se per esempio passi dalle coordinate cartesiane a quelle polari, le componenti del vettore non si trasformano come un tensore.
Luca, ma se ho capito bene, tutti i vettori sono o covarianti o controvarianti a seconda di come si trasformano al cambiare delle coordinate, non esistono altri tipi, giusto?
Dunque l'espressione tensoriale di un qualsiasi vettore sarebbe la "formula" della sua trasformazione (covariante o controvariante) ?
Dunque l'espressione tensoriale di un qualsiasi vettore sarebbe la "formula" della sua trasformazione (covariante o controvariante) ?
Se lo vuoi studiare seriamente, ovvero studiare le problematiche dei metodi diretti, semicontinuità ecc... allora ti occorre un background non indifferente: oltre all'Analisi 1 e 2 (vecchio stile) ti serve anche parecchia Analisi funzionale lineare, topologie deboli e spazi di Lebesgue e di Sobolev.
Altrimenti per quei cenni che si fanno per lo studio delle geodetiche serve poco: infatti quello si riferisce ad un accenno ai metodi classici del Calcolo delle variazioni, ovvero "derivare" un funzionale, e imporre la sua "derivata" zero per andare a trovare i punti di minimo. Questo, seguendo Eulero, si fa "a mano" andando a calcolare le variazioni (da cui il nome, Calcolo delle variazioni) del funzionale lungo famiglie di funzioni parametrizzate da un parametro reale.
Altrimenti per quei cenni che si fanno per lo studio delle geodetiche serve poco: infatti quello si riferisce ad un accenno ai metodi classici del Calcolo delle variazioni, ovvero "derivare" un funzionale, e imporre la sua "derivata" zero per andare a trovare i punti di minimo. Questo, seguendo Eulero, si fa "a mano" andando a calcolare le variazioni (da cui il nome, Calcolo delle variazioni) del funzionale lungo famiglie di funzioni parametrizzate da un parametro reale.
No, non è mia intenzione cimentarmi nel calcolo variazionale, era solo che ho visto in una lezione di Arrigo Amadori un accenno al calcolo variazionale per giungere alla dimostrazione della geodetica (partiva dal presupposto di porre nulla la variazione della lunghezza, tra la lungezza della geodetica e la lunghezza della linea infinitamente vicina alla geodetica).
Il fatto che ti ho chiesto in che corso di Analisi lo si affronta è proprio perchè nei corsi di Analisi 1 e Analisi 2 che ho svolto non era minimamente accennato.
Dunque è un argomento molto avvanzato?
Il fatto che ti ho chiesto in che corso di Analisi lo si affronta è proprio perchè nei corsi di Analisi 1 e Analisi 2 che ho svolto non era minimamente accennato.
Dunque è un argomento molto avvanzato?
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