Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
Ciao Luca,
volevo chiederti.....La parte sui simboli di Christoffel di prima e seconda specie, il trasporto per parallelismo, il tensore di curvatura di Riemann e il calcolo tensiorale in genere, si svolgono classicamente nel normale programma di geometria differenziale, oppure in qualche geometria superiore?
volevo chiederti.....La parte sui simboli di Christoffel di prima e seconda specie, il trasporto per parallelismo, il tensore di curvatura di Riemann e il calcolo tensiorale in genere, si svolgono classicamente nel normale programma di geometria differenziale, oppure in qualche geometria superiore?
Sì, in generale in Geometria differenziale di curve e superfici si ammette regolarità infinita per le parametrizzazioni, ovvero di classe $C^\infty$. Questo tuttavia come osservavi non basta; ad esempio per avere una curva regolare (o meglio una parametrizzazione regolare) serve avere vettore tangente non nullo.
Il vettore accelerazione è più delicato, ad esempio la retta nello spazio non ha un versore normale ben definito, ed infatti il versore tangente è costante. Ciononostante la retta è forse la curva più regolare che esista.
Il vettore accelerazione è più delicato, ad esempio la retta nello spazio non ha un versore normale ben definito, ed infatti il versore tangente è costante. Ciononostante la retta è forse la curva più regolare che esista.
Una funzione regolare è quella funzione che ammette vettore velocità NON nullo?
Ed una funzione bi-regolare è una funzione che ammette anche il vettore accelerazione NON nullo?
Dunque per non avere problemi a calcolare la curvatura una funzione dovrebbe appartenere almeno alla classe di continuità 2 ed essere biregolare, giusto?
Mentre se si volesse calcolare anche la torsione la classe di continuità 2 potrebbe non basterebbe più, giusto?
Ed una funzione bi-regolare è una funzione che ammette anche il vettore accelerazione NON nullo?
Dunque per non avere problemi a calcolare la curvatura una funzione dovrebbe appartenere almeno alla classe di continuità 2 ed essere biregolare, giusto?
Mentre se si volesse calcolare anche la torsione la classe di continuità 2 potrebbe non basterebbe più, giusto?
Direi di sì, la seconda forma fondamentale è un prodotto scalare tra due oggetti particolari, per cui è legata al tensore metrico, ovvero alla prima forma fondamentale.
Ok, grazie mille!!!! per me è fondamentale trovare persone professioniste e disponibili come te, io non ho avuto la possibilità di andare all'università, ma vista la grande passione e curiosità che nutro per la matematica, ho iniziato a studiare da autodidatta e quindi tutto ciò che imparo è frutto di studio solitario. Avere la possibilità di chiarirmi dei dubbi potendo fare affidamento di persone capaci, per me è di vitale importanza.
Un'ultima cosa, il fatto che il "Theorema Egregium" di Gauss sostenga che: se due superfici hanno localmente la stessa metrica allora hanno anche localmente la stessa curvatura totale, significa che, vista la seconda forma quadratica fondamentale come la rappresentante delle proprietà di curvatura della superficie stessa, allora la seconda forma quadratica dipende dalla metrica e quindi dalla prima forma quadratica fondamentale?
Alex
Un'ultima cosa, il fatto che il "Theorema Egregium" di Gauss sostenga che: se due superfici hanno localmente la stessa metrica allora hanno anche localmente la stessa curvatura totale, significa che, vista la seconda forma quadratica fondamentale come la rappresentante delle proprietà di curvatura della superficie stessa, allora la seconda forma quadratica dipende dalla metrica e quindi dalla prima forma quadratica fondamentale?
Alex
Sì, dovrebbe essere corretto.
Comunque quando ti ho indirizzato verso i miei appunti non intendevo che tu seguissi le formule dello scritto, per usare quelle ci vuole regolarità, ma seguire il procedimento, che comunque ricalca quello che hai già fatto: le sezioni normali le trovi senza bisogno di regolarità, trovi le curvature delle sezioni normali per quanto visto sulle curve e ne calcoli curvatura massima e minima al variare del piano normale su cui sta la sezione.
Algebricamente questo non dovrebbe allontanarsi da quello che hai fatto.
Comunque quando ti ho indirizzato verso i miei appunti non intendevo che tu seguissi le formule dello scritto, per usare quelle ci vuole regolarità, ma seguire il procedimento, che comunque ricalca quello che hai già fatto: le sezioni normali le trovi senza bisogno di regolarità, trovi le curvature delle sezioni normali per quanto visto sulle curve e ne calcoli curvatura massima e minima al variare del piano normale su cui sta la sezione.
Algebricamente questo non dovrebbe allontanarsi da quello che hai fatto.
Ciao Luca, oggi ci ho pensato e forse ho trovato un modo, per piacere fammi sapere se è corretto.
Si sa che la curvatura normale ad una superficie S la si può calcolare: Kn=(Wp0(v)*v/(v*v)).
Ora ipotizzando ||v||=1 si può scrivere:Kn=Wp0(v)*v (scusa con Wp0 indico l'operatore di Weingarten).
Sapendo che K1<=Kn<=K2 (K1 e K2 sono le curvature principali di S) scriviamo (come ci dice Eulero) Kn=K1(cos(w))^2 + K2(sin(w))^2
in cui il vettore v è dato dalla composizione lineare dei vettori principali ipotizzati anch'essi di modulo unitario.
Se adesso si calcola una Kn qualsiasi, ipotiziamo di valore A (dunque A lo conosciamo) possiamo scrivere che per un certo angolo w(sconosciuto) vale:
A=K1(cos(w))^2 + K2(sin(w))^2.
Continuando calcoliamo un'altra Kn, ipotiziamo di valore B (dunque conosciamo anche B) e sapremo che per un certo w+una quantita (che possiamo chiamare q) data dalla differenza tra questa direzione e quella della curvatura precedente ( quindi q è nota) vale:
B=K1(cos(w+q))^2+K2(sin(w+q))^2
Andando ancora avanti e trovando una terza Kn avremo creato un sistema di tre equazioni in tre incognite (K1, K2, w).
Risolvendo il sistema si trovano le curvature principali!
E' corretto?
Alex
Si sa che la curvatura normale ad una superficie S la si può calcolare: Kn=(Wp0(v)*v/(v*v)).
Ora ipotizzando ||v||=1 si può scrivere:Kn=Wp0(v)*v (scusa con Wp0 indico l'operatore di Weingarten).
Sapendo che K1<=Kn<=K2 (K1 e K2 sono le curvature principali di S) scriviamo (come ci dice Eulero) Kn=K1(cos(w))^2 + K2(sin(w))^2
in cui il vettore v è dato dalla composizione lineare dei vettori principali ipotizzati anch'essi di modulo unitario.
Se adesso si calcola una Kn qualsiasi, ipotiziamo di valore A (dunque A lo conosciamo) possiamo scrivere che per un certo angolo w(sconosciuto) vale:
A=K1(cos(w))^2 + K2(sin(w))^2.
Continuando calcoliamo un'altra Kn, ipotiziamo di valore B (dunque conosciamo anche B) e sapremo che per un certo w+una quantita (che possiamo chiamare q) data dalla differenza tra questa direzione e quella della curvatura precedente ( quindi q è nota) vale:
B=K1(cos(w+q))^2+K2(sin(w+q))^2
Andando ancora avanti e trovando una terza Kn avremo creato un sistema di tre equazioni in tre incognite (K1, K2, w).
Risolvendo il sistema si trovano le curvature principali!
E' corretto?
Alex
Sì, è vero. Il meglio che puoi fare rimane quindi passare al limite. Trovi la curvatura in un punto vicino e passi al limite. Se il limite esiste ed è finito allora potresti tentare di dimsotrare che effettivamente la curvatura vale il valore del limite, altrimenti se è infinito, a meno di situazioni patologiche, immagino ci sia poca speranza.
Ciao, ho guardato il tuo corso di Geometria differenziale, ma ho un dubbio:
Il metodo di Eulero, a quando ho capito, esige che si conosca il tipo di punto in cui si va a calcolare la curvatura (ellittico,iperbolico,parabolico), questo viene svolto studiando l'Hessiano, ma se siamo in una condizione in cui la parametrizzazione penalizza le derivate, come si può fare? (i coefficienti che si utilizzano (r,s,t) sono le derviate parziali seconde).
Il metodo di Eulero, a quando ho capito, esige che si conosca il tipo di punto in cui si va a calcolare la curvatura (ellittico,iperbolico,parabolico), questo viene svolto studiando l'Hessiano, ma se siamo in una condizione in cui la parametrizzazione penalizza le derivate, come si può fare? (i coefficienti che si utilizzano (r,s,t) sono le derviate parziali seconde).
Il meglio che si può dire, per la curva data, è che la curvatura in $P(t)$, per $t \ne 0$, tende a $+\infty$ per $t->0$.
Dire che la curvatura è infinita in un punto non ha molto senso; ha senso invece parlare di limite infinito per la funzione curvatura.
Dire che la curvatura è infinita in un punto non ha molto senso; ha senso invece parlare di limite infinito per la funzione curvatura.
Rispondo subito alla questione sulle superfici, per la curva alla prossima risposta.
Per trovare le curvature principali puoi sempre usare la teria super-classica delle curve sopra su una superficie. Ovvero uno traccia il piano tangente, le sezioni normali, va a tracciare l'indicatrice di Eulero, che è una conica a centro con due assi (tranne il caso della parabola degenere) che sta sul piano tangente. Le direzioni dei due assi ti danno le sezioni normali principali.
Guarda caso tutte queste cose le ho fatte nel corso di esercitazioni di Geometria differenziale a Brescia lo scorso anno; trovi i miei appunti qui:
http://xoomer.alice.it/luca.lussardi/
dispense di Geometria differenziale di curva sopra una superficie.
Per trovare le curvature principali puoi sempre usare la teria super-classica delle curve sopra su una superficie. Ovvero uno traccia il piano tangente, le sezioni normali, va a tracciare l'indicatrice di Eulero, che è una conica a centro con due assi (tranne il caso della parabola degenere) che sta sul piano tangente. Le direzioni dei due assi ti danno le sezioni normali principali.
Guarda caso tutte queste cose le ho fatte nel corso di esercitazioni di Geometria differenziale a Brescia lo scorso anno; trovi i miei appunti qui:
http://xoomer.alice.it/luca.lussardi/
dispense di Geometria differenziale di curva sopra una superficie.
Ma una volta trovato il piano tg, come si fa a trovare "a mano" quale siano le direzioni principali su infinite possibilità? perchè una volta individuate le direzioni principali si considera la sezione normale alla superficie e si estrapola la curva, da li in poi si può utilizzare il metodo descritto da te per le curve, ma è su come riconoscere le direzioni principali il vero caos!
In più volevo chiederti, ma la curva:
z=t^2
y=t^3/2
x=t
non credo abbia un problema di parametrizzazione, perchè anche dal punto di vista cartesiano, dovrebbe presentare curvatura infinita, cosa ne pensi?
In più volevo chiederti, ma la curva:
z=t^2
y=t^3/2
x=t
non credo abbia un problema di parametrizzazione, perchè anche dal punto di vista cartesiano, dovrebbe presentare curvatura infinita, cosa ne pensi?
Beh, l'operatore di Weingarten non è ben definito se non c'è lo spazio tangente alla superficie in un punto. Quindi non si possono trovare le curvature principali come autovalori dell'operatore di Weingarten.
Diverso invece è il caso analogo a quanto esposto sulle curve: lo spazio tangente c'è, ma non è l'immagine del differenziale della parametrizzazione, in quanto la parametrizzazione non è regolare in un punto. Stesso discorso: uno deve trovare a mano lo spazio tangente, non potendo rifarsi alle formule classiche.
Diverso invece è il caso analogo a quanto esposto sulle curve: lo spazio tangente c'è, ma non è l'immagine del differenziale della parametrizzazione, in quanto la parametrizzazione non è regolare in un punto. Stesso discorso: uno deve trovare a mano lo spazio tangente, non potendo rifarsi alle formule classiche.
Scusami Luca,
mi stavo chiedendo se capita il problema precedente (ossia non differenziabilità o non regolarità) però in una superficie, come ci si comporta per trovare la curvatura totale?
Si possono comunque usare le forme quadratiche fondamentali e le formule di Weingarten per calcolarla o anche qui potrebbero esserci dei problemi?
mi stavo chiedendo se capita il problema precedente (ossia non differenziabilità o non regolarità) però in una superficie, come ci si comporta per trovare la curvatura totale?
Si possono comunque usare le forme quadratiche fondamentali e le formule di Weingarten per calcolarla o anche qui potrebbero esserci dei problemi?
Si...io generalmente cerco di utilizzare comunque le formule standard, se poi mi "incarto" in qualcosa, oppure trovo un qualcosa che non mi convince allora mi ripiego sulle definizioni.
Grazie per tutto il tempo che ti ho fatto perdere!
Alla prox.
Alex
Grazie per tutto il tempo che ti ho fatto perdere!
Alla prox.
Alex
Sì è vero, nella maggioranza dei casi funziona così, anche se non è rigoroso. Ora non ti so dire se in tutti i casi uno se la cava con trucchi, ma comunque sia quando non sono soddisfatte le ipotesi per usare la teoria regolare, uno cerca di appoggiarsi alle definizioni, fino a che esse sono così semplici da maneggiare come queste.
OK.....ci sono arrivato!!!!
ma problemi nell'utilizzo delle formule "standard" li si hanno solo con funzioni (come nel tuo esempio) non differenziabili, oppure anche con funzioni differenziabili, ma non regolari (per esempio funzioni che hanno vettore tangente nullo)?
Con funzioni che hanno il vettore tangente nullo, se si cerca la tg unitaria raccogliendo e semplificando (per esperienza di quello che mi è capitato) si dovrebbe comunque riuscire!
A te la sentenza!
ma problemi nell'utilizzo delle formule "standard" li si hanno solo con funzioni (come nel tuo esempio) non differenziabili, oppure anche con funzioni differenziabili, ma non regolari (per esempio funzioni che hanno vettore tangente nullo)?
Con funzioni che hanno il vettore tangente nullo, se si cerca la tg unitaria raccogliendo e semplificando (per esperienza di quello che mi è capitato) si dovrebbe comunque riuscire!
A te la sentenza!
Ho corretto.
Scusami, ma non ho capito il passaggio!
Data la curva di parametrizzazione $x(t)=t,y(t)=t^(3/2),z(t)=t^2$, il vettore tangente vale $(1,3/2\sqrt(t),2t)$, e dunque il versore tangente in $t=0$ vale $(1,0,0)$.
Andiamo a trovare il piano che passa quindi per l'asse delle $x$ (retta tangente alla curva in $P(0)$) e per un generico punto $P(t)$ della curva. La famiglia di tutti i piani passanti per l'asse $x$ ha equazione $ay+bz=0$, con $a,b \in \RR$; il piano voluto deve passare per $P(t)=(t,t^(3/2),t^2)$ e quindi sarà $at^(3/2)+bt^2=0$ e quindi $a=-b \sqrt(t)$. Dunque il piano voluto ha equazione cartesiana $bz=b\sqrt(t)y$, ovvero $z=\sqrt(t)y$. Passando al limite $t -> 0$ si ha che il piano osculatore in $t=0$ esiste per definizione ed è il piano $z=0$.
Andiamo a trovare il piano che passa quindi per l'asse delle $x$ (retta tangente alla curva in $P(0)$) e per un generico punto $P(t)$ della curva. La famiglia di tutti i piani passanti per l'asse $x$ ha equazione $ay+bz=0$, con $a,b \in \RR$; il piano voluto deve passare per $P(t)=(t,t^(3/2),t^2)$ e quindi sarà $at^(3/2)+bt^2=0$ e quindi $a=-b \sqrt(t)$. Dunque il piano voluto ha equazione cartesiana $bz=b\sqrt(t)y$, ovvero $z=\sqrt(t)y$. Passando al limite $t -> 0$ si ha che il piano osculatore in $t=0$ esiste per definizione ed è il piano $z=0$.
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