Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
scusate, solo per chiarezza: la definizione che ho "proposto" non è affatto "mia"
è un tool piuttosto standard in ottimizzazione
e non a caso fa venire in mente a luca il sottodifferenziale!
ciao
è un tool piuttosto standard in ottimizzazione
e non a caso fa venire in mente a luca il sottodifferenziale!
ciao
potresti farmi vedere la costruzione del piano osculatore (utilizzando la definizione che mi hai dato) della seguente curva in t=0 ?
z=t^2
y=t^3/2
x=t
(Scusa se mi permetto di darti del tu, ma ho "sbirciato" nella tua homepage ed ho visto che siamo quasi coetanei)
Alex
z=t^2
y=t^3/2
x=t
(Scusa se mi permetto di darti del tu, ma ho "sbirciato" nella tua homepage ed ho visto che siamo quasi coetanei)
Alex
Certo, confermo, se perdi la regolarità potrebbe succedere, questo e altro.
Le motivazioni che ti ho scritto all'inizio del mio precedente post le reputi valide per ritenere che il metodo classico della geometria differenziale non è utilizzabile per risolvere il tuo esercizio?
Già, è un peccato; tra l'altro l'usicita di Fioravante mi fa venire in mente il sottodifferenziale delle funzioni convesse, strumento molto potente proprio in ottimizzazione; ricordo il bellissimo corso di Lucchetti, che è stato il mio prof. di Analisi 4, proprio su queste cose.
Per Alexp: non ho ben capito cosa hai fatto, ma quello che è da fare è:
1) prendere la retta tangente $r$ alla curva in un suo punto fissato $P(t_0)$;
2) prendere un punto mobile $P(t)$ sulla curva;
3) scrivere l'equazione del piano che contiene $r$ e $P(t)$.
4) passare al limite nell'equazione del piano trovato per $t -> t_0$.
Questa è la costruzione del piano osculatore; se tutto è regolare, un colpo di Taylor e uno trova la formuletta con le derivate seconde.
Per Alexp: non ho ben capito cosa hai fatto, ma quello che è da fare è:
1) prendere la retta tangente $r$ alla curva in un suo punto fissato $P(t_0)$;
2) prendere un punto mobile $P(t)$ sulla curva;
3) scrivere l'equazione del piano che contiene $r$ e $P(t)$.
4) passare al limite nell'equazione del piano trovato per $t -> t_0$.
Questa è la costruzione del piano osculatore; se tutto è regolare, un colpo di Taylor e uno trova la formuletta con le derivate seconde.
Bella definizione, Fioravante, e molto generale !!!
La si può applicare a spazi normati di qualunque tipo (magari meglio ancora se di Banach). Così, per esempio, si possono immaginare funzioni tangenti ad insiemi di funzioni, ...
Se poi si rinuncia alla norma e ci si accontenta della distanza, la definizione la si potrebbe applicare a spazi metrici su cui basterebbe definire giusto un'algebra "elementare" per potere fare la differenza fra due punti ...
Oppure considerare solo spazi topologici (con anch'essi una adatta struttura algebrica) ...
Potenza e vera "essenza" della matematica ... la possibilità di trattare oggetti di tipo diverso con le stesse regole ...
Peccato che queste cose non vengono mostrate ai giovani già alle scuole medie ...
Arrigo.
La si può applicare a spazi normati di qualunque tipo (magari meglio ancora se di Banach). Così, per esempio, si possono immaginare funzioni tangenti ad insiemi di funzioni, ...
Se poi si rinuncia alla norma e ci si accontenta della distanza, la definizione la si potrebbe applicare a spazi metrici su cui basterebbe definire giusto un'algebra "elementare" per potere fare la differenza fra due punti ...
Oppure considerare solo spazi topologici (con anch'essi una adatta struttura algebrica) ...
Potenza e vera "essenza" della matematica ... la possibilità di trattare oggetti di tipo diverso con le stesse regole ...
Peccato che queste cose non vengono mostrate ai giovani già alle scuole medie ...
Arrigo.
Ho provato a risolvere l'esercizio che hai proposto tu, utilizzando le formule classiche della geometria differenziale ed effettivamente ho ottenuto una contraddizione che mi fa capire che non è risolvibile in quel metodo......la contradizione che ho incontrato è:
sono riuscito a calcolare la tangente unitaria che mi è risultata essere posizionata sull'asse x e di conseguenza essendo tra loro ortogonali ho ottenuto che la normale deve essere posizionata sull'asse y, però passando al calcolo della curvaturA utilizzando la formula di Frenet ho ottenuto un vettore (-2,2) il che è assolutamente impossibile in quanto non è parallelo alla normale posta sull'asse y.......da qui ho dedotto che il metodo delle formule "tradizionali" non è utilizzabile!
per quanto riguarda il piano osculatore (di una ipotetica curva) da calcolare nel punto (0,0,0), se ho il vettore tg (0,0,1) nell'ordine (z,y,x) ed un punto per esempio (1,1,1) della curva posso fare così?:
a*0+b*0+c*1=0 da qui deduco che c=0
a(z-1)+b(y-1)=0
dunque az-a+by-b=0 ---> z=(a+b-by)/a
ora ponendo il limite di y che tende a zero avrò: z=1+(b/a) , ma dovendo passare per (0,0,0) b/a sarà -1 così per esempio l'equazione del piano può essere z=y con y che tende a zero avrò l'equazione limite z=0.
E' corretto?
sono riuscito a calcolare la tangente unitaria che mi è risultata essere posizionata sull'asse x e di conseguenza essendo tra loro ortogonali ho ottenuto che la normale deve essere posizionata sull'asse y, però passando al calcolo della curvaturA utilizzando la formula di Frenet ho ottenuto un vettore (-2,2) il che è assolutamente impossibile in quanto non è parallelo alla normale posta sull'asse y.......da qui ho dedotto che il metodo delle formule "tradizionali" non è utilizzabile!
per quanto riguarda il piano osculatore (di una ipotetica curva) da calcolare nel punto (0,0,0), se ho il vettore tg (0,0,1) nell'ordine (z,y,x) ed un punto per esempio (1,1,1) della curva posso fare così?:
a*0+b*0+c*1=0 da qui deduco che c=0
a(z-1)+b(y-1)=0
dunque az-a+by-b=0 ---> z=(a+b-by)/a
ora ponendo il limite di y che tende a zero avrò: z=1+(b/a) , ma dovendo passare per (0,0,0) b/a sarà -1 così per esempio l'equazione del piano può essere z=y con y che tende a zero avrò l'equazione limite z=0.
E' corretto?
Una volta che hai la retta tangente in un punto, prendi un punto mobile sulla curva e scrivi l'equazione del piano che contiene la retta tangente e quel punto mobile; meglio che passi alla cartesiana, e vedi se ha un'equazione limite quando il punto mobile va verso il punto in cui c'è la tangente. Se l'equazione limite c'è quella è l'equazione del piano osculatore.
Ok!!!!! Grazie mille!!!!!!!!!!
Un'ultima cosa, per trovare il piano osculatore come limite del piano passante per la tangente e per un punto della curva che formula si usa?
Si usa un sistema a due equzioni in cui decido subito un coefficiente del piano e poi risolvendo il sistema trovo gli altri due?
Un'ultima cosa, per trovare il piano osculatore come limite del piano passante per la tangente e per un punto della curva che formula si usa?
Si usa un sistema a due equzioni in cui decido subito un coefficiente del piano e poi risolvendo il sistema trovo gli altri due?
Sì, avete tutti perfettamente ragione, ci sono varie alternative.
Ho scelto la strada diretta perchè volevo mettere in risalto un esercizio risolto usando solo la definizione, e far vedere che è possibile andare avanti solo con quella. La strada più diretta è senza dubbio quella di Arrigo, se uno non vuole riparametrizzare la curva globalmente.
Molto carina l'interpretazione di Fioravante; questo sì che è fare Matematica.
Ho scelto la strada diretta perchè volevo mettere in risalto un esercizio risolto usando solo la definizione, e far vedere che è possibile andare avanti solo con quella. La strada più diretta è senza dubbio quella di Arrigo, se uno non vuole riparametrizzare la curva globalmente.
Molto carina l'interpretazione di Fioravante; questo sì che è fare Matematica.
ad arriama:
certo che può essere un'alternativa. Si tratta di un approccio "unilatero" che ha senso (e il punto di vista "unilatero", broadly speaking, ha avuto molto successo in ottimizzazione)
rimane da vedere poi quali proprietà abbiano le tangenti, la curvatura, le normali, etc. così definite
stesso dicasi per un altro approccio possibile ("generale") che descrivo qui sotto e che ha il pregio di essere "coordinate free"
dato $E \subseteq RR^n$, sia $x \in E$ un punto di accumulazione per $E$.
dico che $t$ è un "vettore unitario tangente ad $E$ in $x$" se esiste $x_n \in E$ t.c.
- $x_n -> x$
- $ (x_n - x )/( || x_n - x ||) -> t$
i vettori del tipo $\lambda t$ con $\lambda \ge 0$ e con $t$ "vettore unitario tangente ad $E$ in $x$"
descrivono il cosiddetto cono tangente ad $E$ nel punto $x$ (notare che è un cono $C$ di vertice l'origine, ma se serve si può considerare il cono "traslato", $x + C$)
la retta tangente ad una curva regolare è un caso particolare di "cono tangente"
a luca:
certo che può essere un'alternativa. Si tratta di un approccio "unilatero" che ha senso (e il punto di vista "unilatero", broadly speaking, ha avuto molto successo in ottimizzazione)
rimane da vedere poi quali proprietà abbiano le tangenti, la curvatura, le normali, etc. così definite
stesso dicasi per un altro approccio possibile ("generale") che descrivo qui sotto e che ha il pregio di essere "coordinate free"
dato $E \subseteq RR^n$, sia $x \in E$ un punto di accumulazione per $E$.
dico che $t$ è un "vettore unitario tangente ad $E$ in $x$" se esiste $x_n \in E$ t.c.
- $x_n -> x$
- $ (x_n - x )/( || x_n - x ||) -> t$
i vettori del tipo $\lambda t$ con $\lambda \ge 0$ e con $t$ "vettore unitario tangente ad $E$ in $x$"
descrivono il cosiddetto cono tangente ad $E$ nel punto $x$ (notare che è un cono $C$ di vertice l'origine, ma se serve si può considerare il cono "traslato", $x + C$)
la retta tangente ad una curva regolare è un caso particolare di "cono tangente"
a luca:
Per non rinunciare alle "comode" formule della geometria differenziale, si potrebbe in questo caso (ed in quelli analoghi) spezzare la curva in due, cercare delle parametrizzazioni regolari (sperando ...) su intervalli aperti e poi guardare i limiti di tangenti, curvature ecc.
Potrebbe questa essere una alternativa ?
Nel nostro caso, avremmo le curve (t^(1/3),t^(2/3)) su ]-1,0[ ed ancora (t^(1/3),t^(2/3)) su ]0,1[. Su queste applico il diffeomorfismo u = t^(1/3) separatemante (siccome agisco per le due curve separate che non hanno 0 nel dominio, u è veramente un diffeomoefismo !).
Ottengo così le curve (u,u^2) su ]-1,0[ e (u,u^2) su ]0,1[ su cui faccio i limiti delle cose che mi interessano in u = 0 .
Magari, in questo semplice caso, avendo ottenuto le stesse formule per le due curve, potrei fare una sorta di "saldatura" su ]-1,1[ fra le due curve avvalendomi del fatto che per u = 0 le derivate coincidono (sempre al limite) per tutti gli ordini ...
Può andare ?
Ciao. Arrigo.
Potrebbe questa essere una alternativa ?
Nel nostro caso, avremmo le curve (t^(1/3),t^(2/3)) su ]-1,0[ ed ancora (t^(1/3),t^(2/3)) su ]0,1[. Su queste applico il diffeomorfismo u = t^(1/3) separatemante (siccome agisco per le due curve separate che non hanno 0 nel dominio, u è veramente un diffeomoefismo !).
Ottengo così le curve (u,u^2) su ]-1,0[ e (u,u^2) su ]0,1[ su cui faccio i limiti delle cose che mi interessano in u = 0 .
Magari, in questo semplice caso, avendo ottenuto le stesse formule per le due curve, potrei fare una sorta di "saldatura" su ]-1,1[ fra le due curve avvalendomi del fatto che per u = 0 le derivate coincidono (sempre al limite) per tutti gli ordini ...
Può andare ?
Ciao. Arrigo.
Avevo in mente un esempio istruttivo, ma nel piano, per cui non si vede la costruzione del cerchio osculatore; lascio a te generalizzare quanto farò per una curva spaziale, ma le idee si vedono già in questo esercizio che farò.
Sia data la curva piana parametrizzata da $x(t)=t^(1/3)$ e $y(t)=t^(2/3)$, con $t \in [-1,1]$. In realtà si tratta di un arco di parabola di equazione cartesiana $y=x^2$, ma ignoriamo tutto ciò, se non alla fine per verificare i risultati ottenuti.
La parametrizzazione data non è regolare in $t=0$, per cui per $t=0$ non è possibile usare le formule di Geometria differenziale per trovare retta tangente, retta normale e curvatura, che è quello che faremo.
Si ha $x(0)=y(0)=0$; sia $P(t)=(x(t),y(t))$ un punto generico della curva data, e andiamo a cercare la retta tangente in $P(0)=(0,0)$ con la definizione, ovvero come retta limite della secante. In altre parole sarà una retta passante per $(0,0)$ e di coefficiente angolare pari al limite del coefficiente angolare della secante, che vale $t^(2/3)/(t^(1/3))=t^(1/3)$, che tende a $0$, per $t -> 0$. Dunque la retta tangente in $(0,0)$ esiste ed ha equazione cartesiana $y=0$, e quindi il versore tangente è dato da $e_1$.
Il piano osculatore, come già detto, è il piano della curva, e quindi la retta normale principale sarà l'asse delle $y$, ed il versore normale sarà $e_2$.
Andiamo a trovare la curvatura, osservando che dobbiamo ancora una volta usare la vera definizione: la curvatura in un punto è il limite del rapporto tra l'angolo formato dai vettori tangenti e la lunghezza di arco sotteso.
Se ci spostiamo da $P(0)$ a $P(t)$ allora l'angolo formato dai vettori tangenti vale $arctan(2t^(1/3))$, mentre la lunghezza dell'arco sotteso vale $\int_0^(t^(1/3))sqrt(1+4x^2)dx$ (formula lunghezza arco); quindi la curvatura è data da
$\lim_(t -> 0)(arctan(2t^(1/3)))/(\int_0^(t^(1/3))sqrt(1+4x^2)dx)$
che può essere risolto usando de l'Hopital. Derivando si ha che la curvatura per $t=0$ vale
$\lim_(t ->0)(2/(1+4t^(2/3))d/dt(t^(1/3)))/(sqrt(1+4t^(2/3))d/dt(t^(1/3)))=2$.
Andiamo a controllare tutto sapendo che la curva è il grafico della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $[-1,1]$. Chiaramente la retta tangente in $0$ è l'asse $x$, e la retta normale è l'asse delle $y$. Passiamo al controllo della curvatura, usando la formula $(||P'(t)xP''(t)||)/(||P'(t)||^3)$, dove stavolta la parametrizzazione scelta è regolare, $P(t)=(t,t^2)$.
Il numeratore di tale formula risulta $2$, mentre il denominatore risulta pari a $(\sqrt(1+4t^2))^3$, per cui la curvatura in $t=0$ vale $2$.
Sia data la curva piana parametrizzata da $x(t)=t^(1/3)$ e $y(t)=t^(2/3)$, con $t \in [-1,1]$. In realtà si tratta di un arco di parabola di equazione cartesiana $y=x^2$, ma ignoriamo tutto ciò, se non alla fine per verificare i risultati ottenuti.
La parametrizzazione data non è regolare in $t=0$, per cui per $t=0$ non è possibile usare le formule di Geometria differenziale per trovare retta tangente, retta normale e curvatura, che è quello che faremo.
Si ha $x(0)=y(0)=0$; sia $P(t)=(x(t),y(t))$ un punto generico della curva data, e andiamo a cercare la retta tangente in $P(0)=(0,0)$ con la definizione, ovvero come retta limite della secante. In altre parole sarà una retta passante per $(0,0)$ e di coefficiente angolare pari al limite del coefficiente angolare della secante, che vale $t^(2/3)/(t^(1/3))=t^(1/3)$, che tende a $0$, per $t -> 0$. Dunque la retta tangente in $(0,0)$ esiste ed ha equazione cartesiana $y=0$, e quindi il versore tangente è dato da $e_1$.
Il piano osculatore, come già detto, è il piano della curva, e quindi la retta normale principale sarà l'asse delle $y$, ed il versore normale sarà $e_2$.
Andiamo a trovare la curvatura, osservando che dobbiamo ancora una volta usare la vera definizione: la curvatura in un punto è il limite del rapporto tra l'angolo formato dai vettori tangenti e la lunghezza di arco sotteso.
Se ci spostiamo da $P(0)$ a $P(t)$ allora l'angolo formato dai vettori tangenti vale $arctan(2t^(1/3))$, mentre la lunghezza dell'arco sotteso vale $\int_0^(t^(1/3))sqrt(1+4x^2)dx$ (formula lunghezza arco); quindi la curvatura è data da
$\lim_(t -> 0)(arctan(2t^(1/3)))/(\int_0^(t^(1/3))sqrt(1+4x^2)dx)$
che può essere risolto usando de l'Hopital. Derivando si ha che la curvatura per $t=0$ vale
$\lim_(t ->0)(2/(1+4t^(2/3))d/dt(t^(1/3)))/(sqrt(1+4t^(2/3))d/dt(t^(1/3)))=2$.
Andiamo a controllare tutto sapendo che la curva è il grafico della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $[-1,1]$. Chiaramente la retta tangente in $0$ è l'asse $x$, e la retta normale è l'asse delle $y$. Passiamo al controllo della curvatura, usando la formula $(||P'(t)xP''(t)||)/(||P'(t)||^3)$, dove stavolta la parametrizzazione scelta è regolare, $P(t)=(t,t^2)$.
Il numeratore di tale formula risulta $2$, mentre il denominatore risulta pari a $(\sqrt(1+4t^2))^3$, per cui la curvatura in $t=0$ vale $2$.
Caspita, la cosa è molto interessante!!!
Potresti cortesemente farmi un esempio veloce di come calcolare il piano osculatore e il cerchio osculatore, nel senso io so come calcolarli nel metodo "standard", ma in questi casi no!
(Giuro che è l'ultima domanda!)
Grazie!
Potresti cortesemente farmi un esempio veloce di come calcolare il piano osculatore e il cerchio osculatore, nel senso io so come calcolarli nel metodo "standard", ma in questi casi no!
(Giuro che è l'ultima domanda!)
Grazie!
Può comunque esistere tutto, ma per il calcolo del vettore normale e della curvatura ti devi appoggiare alla definizione e non alle regole di calcolo che vogliono fino alla derivata terza se non sei in parametrizzazione intrinseca.
Per esempio per trovare il vettore tangente, fai la retta secante e passi al limite; poi trovi il piano osculatore facendo il piano per la tangente e un punto della curva a passando al limite, quindi trovi il vettore normale, il cerchio osculatore, la curvatura, ecc....
Per esempio per trovare il vettore tangente, fai la retta secante e passi al limite; poi trovi il piano osculatore facendo il piano per la tangente e un punto della curva a passando al limite, quindi trovi il vettore normale, il cerchio osculatore, la curvatura, ecc....
Ahh..ho capito!
Però ho letto che se una curva come quella in esame esiste in un punto (t=0) ed è continua, anche se la sua derivata nel punto non esiste, gli si associa comunque una tangente verticale (ad esempio in dimensione due ad una circonferenza nei punti estremi gli si associano tangenti verticali, anche se la tangente non esiste), dunque io su quella base ho considerato esistente la tangente e via via ho provato a "costruire" il resto.......
Allora in casi come questi in cui una funzione è definita in un punto ed è continua nell'intorno di quel punto, ma non esiste la sua derivata prima, non esiste neanche la curvatura oppure la curvatura la si può calcolare, ma non esiste normale principale e dunque piano osculatore?
Però ho letto che se una curva come quella in esame esiste in un punto (t=0) ed è continua, anche se la sua derivata nel punto non esiste, gli si associa comunque una tangente verticale (ad esempio in dimensione due ad una circonferenza nei punti estremi gli si associano tangenti verticali, anche se la tangente non esiste), dunque io su quella base ho considerato esistente la tangente e via via ho provato a "costruire" il resto.......
Allora in casi come questi in cui una funzione è definita in un punto ed è continua nell'intorno di quel punto, ma non esiste la sua derivata prima, non esiste neanche la curvatura oppure la curvatura la si può calcolare, ma non esiste normale principale e dunque piano osculatore?
Credevo ti riferissi all'iperbole del post sui vettori.
Nel caso di questa curva non hai la differenziabilità in $t=0$ quindi tutta la teoria cade, o meglio, la devi applicare su un aperto che non contiene $t=0$.
Per $t=0$ hai solo un punto della curva, ma lì non hai vettore tangente, normale... non hai nulla, almeno se tieni la parametrizzazione così.
Nel caso di questa curva non hai la differenziabilità in $t=0$ quindi tutta la teoria cade, o meglio, la devi applicare su un aperto che non contiene $t=0$.
Per $t=0$ hai solo un punto della curva, ma lì non hai vettore tangente, normale... non hai nulla, almeno se tieni la parametrizzazione così.
No, ho capito, ma io sto parlando di una curva continua nel dominio, solo che non differenziabile, come ad esempio:
z=t^2
y=t^3/2
x=t
La curva in t=0 è definita, ma la sua derivata no, qui mi risulta dai conti che ha curvatura infinita......la domanda che ti ho fatto precedentemente si riferisce a casi come questo non in casi in cui la funzione già in partenza non è definita.
Ti prego illuminami!
z=t^2
y=t^3/2
x=t
La curva in t=0 è definita, ma la sua derivata no, qui mi risulta dai conti che ha curvatura infinita......la domanda che ti ho fatto precedentemente si riferisce a casi come questo non in casi in cui la funzione già in partenza non è definita.
Ti prego illuminami!
Non puoi usare nessuna formula se cade la regolarità; per il valore $t=0$ la curva non ha un punto corrispondente, per esempio con $y=+\infty$. Quindi non è definito il vettore normale per $t=0$, non è definita la curvatura, non è definito niente.
Si scusami hai ragione, non capiterà più!!!
Il dilemma mi è sorto proprio per calcolare una curvatura, dunque se il vettore che ottengo dalla formula di Frenet per la curvatura é 2,8/9,00 (nell'ordine z,x,y) significa che la curvatura è infinita e la normale principale giace sull'asse y?
Scusa ancora!
Il dilemma mi è sorto proprio per calcolare una curvatura, dunque se il vettore che ottengo dalla formula di Frenet per la curvatura é 2,8/9,00 (nell'ordine z,x,y) significa che la curvatura è infinita e la normale principale giace sull'asse y?
Scusa ancora!
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