Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
In genere non è una cosa fatta in corsi universitari, ma soprattutto in corsi di dottorato o scuole di avviamento alla ricerca scientifica. Prima di affrontare argomenti di livello così alto però, come il Calcolo delle variazioni, ti consiglio di rivedere (o vedere) l'Analisi Matematica di base in dimensione finita e almeno le basi dell'Analisi funzionale.
Il calcolo variazionale, in che corso di analisi matematica lo si affronta?
Sì, anche la rotazione degli assi va bene.
Il libro che ti ho segnalato fa tutto a livello elementare, quindi non hai problemi. Non fa nulla di Calcolo delle variazioni però, questo non è un argomento di Geometria differenziale, bensì è Analisi Matematica.
Il libro che ti ho segnalato fa tutto a livello elementare, quindi non hai problemi. Non fa nulla di Calcolo delle variazioni però, questo non è un argomento di Geometria differenziale, bensì è Analisi Matematica.
Grazie ad entrambi (Luca ed Arriama) è davvero molto affascinante vedere in quante cose è applicabile la teoria dei tensori!!! solo che è anche molto molto complessa (almeno per me).
Una cosa a Luca......sapresti se il libro che mi hai consigliato tratta bene anche la parte sul tensore curvatura di Riemann, simboli di Christoffel, calcolo variazionale e tutta la parte sui covarianti e controvarianti? (la paura è che, dovendo far tutto da solo, sia un libro rivolto a chi abbia già famigliarità con questi argomenti).
P.S: Nel cambiamento di coordinate con un diffeomorfismo in se stesso, intendi un classico cambiamento di coordinate tipo rotazione degli assi,ecc.....?
Una cosa a Luca......sapresti se il libro che mi hai consigliato tratta bene anche la parte sul tensore curvatura di Riemann, simboli di Christoffel, calcolo variazionale e tutta la parte sui covarianti e controvarianti? (la paura è che, dovendo far tutto da solo, sia un libro rivolto a chi abbia già famigliarità con questi argomenti).
P.S: Nel cambiamento di coordinate con un diffeomorfismo in se stesso, intendi un classico cambiamento di coordinate tipo rotazione degli assi,ecc.....?
Due parole sulla definizione di tensore in base alle informazioni in mio possesso.
Storicamente il tensore è un oggetto che nasce per descrivere le deformazioni dei corpi continui solidi ("stretch tensor", tensore degli sforzi). Il nome "tensore" sta proprio ad indicare questa origine.
Poi c'è la definizione in base alle regole di cambiamento di coordinate (credo che in questa direzione Ricci-Curbastro diede un importante apporto). La distinzione fra componenti covarianti e quelle controvarianti nasce proprio da questo "filone" di studi. Nella relatività generale, grazie ad Einstein, "passa" proprio questa definizione. Einstein stesso affermò che doveva proprio a Ricci-Curbastro e Levi-Civita la soluzione dei propri assillanti problemi matematici ...
Se un tensore è nullo in un sistema di coordinate, lo sarà, grazie alle regole di trasformazione dei tensori, anche in ogni altro sistema di coordinate e questo è la base matematica del principio di relatività generale che afferma appunto che le leggi della fisica devono essere le stesse in ogni sistema di riferimento.
Ogni legge fisica del tipo T = 0 (dove T è un tensore) soddisfa allora il principio di relatività generale e l'equazione gravitazionale di Einstein è proprio di questo tipo ...
Poi c'è l'utilizzo dei tensori in geometria differenziale con la definizione (più coerente all'impostazione della geometria differenziale) data da Luca che utilizza gli spazi tangente alle varietà.
C'è infine, mi risulta, un'altra definizione diciamo più "algebrica".
Una applicazione multilineare T:VxVxVx ... xV --> R è un k-tensore sullo spazio vettoriale V (k è il numero dei fattori che entrano nel prodotto cartesiano).
In questa definizione :
un funzionale lineare su V è un 1-tensore
un prodotto interno su V è un 2-tensore
un determinante nxn è un n-tensore ...
ecc. ecc.
Allora mi viene spontaneo ... che oggetto veramente versatile !!!
Ciao. Arrigo.
Storicamente il tensore è un oggetto che nasce per descrivere le deformazioni dei corpi continui solidi ("stretch tensor", tensore degli sforzi). Il nome "tensore" sta proprio ad indicare questa origine.
Poi c'è la definizione in base alle regole di cambiamento di coordinate (credo che in questa direzione Ricci-Curbastro diede un importante apporto). La distinzione fra componenti covarianti e quelle controvarianti nasce proprio da questo "filone" di studi. Nella relatività generale, grazie ad Einstein, "passa" proprio questa definizione. Einstein stesso affermò che doveva proprio a Ricci-Curbastro e Levi-Civita la soluzione dei propri assillanti problemi matematici ...
Se un tensore è nullo in un sistema di coordinate, lo sarà, grazie alle regole di trasformazione dei tensori, anche in ogni altro sistema di coordinate e questo è la base matematica del principio di relatività generale che afferma appunto che le leggi della fisica devono essere le stesse in ogni sistema di riferimento.
Ogni legge fisica del tipo T = 0 (dove T è un tensore) soddisfa allora il principio di relatività generale e l'equazione gravitazionale di Einstein è proprio di questo tipo ...
Poi c'è l'utilizzo dei tensori in geometria differenziale con la definizione (più coerente all'impostazione della geometria differenziale) data da Luca che utilizza gli spazi tangente alle varietà.
C'è infine, mi risulta, un'altra definizione diciamo più "algebrica".
Una applicazione multilineare T:VxVxVx ... xV --> R è un k-tensore sullo spazio vettoriale V (k è il numero dei fattori che entrano nel prodotto cartesiano).
In questa definizione :
un funzionale lineare su V è un 1-tensore
un prodotto interno su V è un 2-tensore
un determinante nxn è un n-tensore ...
ecc. ecc.
Allora mi viene spontaneo ... che oggetto veramente versatile !!!
Ciao. Arrigo.
Fondamentalmente sì; per cambiare le coordinate puoi o cambiare la parametrizzazione, oppure cambiare proprio le coordinate stesse, ovvero trasformare $\RR^n$ in se stesso con un diffeomorfismo.
Ok 
Il cambiamento di parametrizzazione corrisponde ad un cambiamento di coordinate perchè, per uno stesso valore del parametro, nella nuova parametrizzazione possono corrispondere valori diversi delle coordinate cartesiane rispetto ai valori che si ottenevano con la precedente parametrizzazione?
Il cambiamento di parametrizzazione corrisponde ad un cambiamento di coordinate perchè, per uno stesso valore del parametro, nella nuova parametrizzazione possono corrispondere valori diversi delle coordinate cartesiane rispetto ai valori che si ottenevano con la precedente parametrizzazione?
Sì, tutto non lo so, ma che un sistema di numeri formino un tensore sta dicendo che quel sistema di numeri deriva da un oggetto che è "invariante" rispetto ai sistemi di coordinate, per definizione stessa di tensore.
Non a caso il calcolo tensoriale ha avuto grandissima applicazione in teoria della relatività dove è fondamentale avere scrivere le leggi come qualcosa che non dipende dai sistemi di riferimento.
Non a caso il calcolo tensoriale ha avuto grandissima applicazione in teoria della relatività dove è fondamentale avere scrivere le leggi come qualcosa che non dipende dai sistemi di riferimento.
Grazie per il libro!!!
Una cosa, ma allora i vettori covarianti e controvarianti sono sempre proprietà intrinseche?
Nel senso, distinguono solo nel modo in cui si trasformano al cambiare delle coordinate, ma esprimono comunque proprietà invarianti, (come tg, gradiente) giusto?
Ed in più, il tensore quindi è solamente una "forma" con cui si possono riscrivere altri enti per svincolarsi dal sistema di coordinate in cui sono stati espressi?
Tensorialmente si può esprimere tutto? (vettori, matrici, funzioni scalari)
Una cosa, ma allora i vettori covarianti e controvarianti sono sempre proprietà intrinseche?
Nel senso, distinguono solo nel modo in cui si trasformano al cambiare delle coordinate, ma esprimono comunque proprietà invarianti, (come tg, gradiente) giusto?
Ed in più, il tensore quindi è solamente una "forma" con cui si possono riscrivere altri enti per svincolarsi dal sistema di coordinate in cui sono stati espressi?
Tensorialmente si può esprimere tutto? (vettori, matrici, funzioni scalari)
Sì, i cambiamenti di coordinate fanno cambiare le componenti dei vettori.
Il vettore gradiente è uno solo, è lui e se ne sta lì. In coordinate si scrive in un certo modo, e al cambiare delle coordinate cambia in modo tensoriale.
Ho poi trovato un valido testo in italiano, di calcolo tensoriale: Barry Spain, Calcolo tensoriale, Edizioni Cremonese-Roma.
Il vettore gradiente è uno solo, è lui e se ne sta lì. In coordinate si scrive in un certo modo, e al cambiare delle coordinate cambia in modo tensoriale.
Ho poi trovato un valido testo in italiano, di calcolo tensoriale: Barry Spain, Calcolo tensoriale, Edizioni Cremonese-Roma.
Si, avevo in mente la sfera e forse mi sono confuso con le coordinate sferiche.....quelle mutano la funzione in un vettore, giusto?
Tornando al gradiente, quindi le coordinate polari sono un cambiamento di coordinate che comportano una trasformazione del vettore gradiente nel modo in cui mi hai scritto tu?
(Devo riuscire a crearmi degli esempi concreti e verificare le trasformazione di cui parli, altrimenti, mi conosco, faccio solo confusione!)
Tornando al gradiente, quindi le coordinate polari sono un cambiamento di coordinate che comportano una trasformazione del vettore gradiente nel modo in cui mi hai scritto tu?
(Devo riuscire a crearmi degli esempi concreti e verificare le trasformazione di cui parli, altrimenti, mi conosco, faccio solo confusione!)
Sorry per il lapsus, grazie Fioravante. Ho anche corretto covarianza con controvarianza... faccio sempre confusione a capire chi dei due è covariante e chi è controvariante.....
No, stai facanedo confusione; il cambiamento di coordinate polari influisce solo sul dominio della funzione, che non diventa a valori vettoriali, ma si può ridefinire non su $x$ e $y$ ma su $r$ e $\theta$.
Luca, una precisazione......il gradiente di una superficie scalare (dunque vettore controvariante) in che senso cambiare le coordinate, perchè se ad esempio passo alle coordinata polari, la funzione non è più scalare, ma diventa vettoriale.
piccolo lapsus. La $p$ è ovviamente una applicazione multilineare
Sia $M$ una varietà differenziabile, sia $p \in M$. Sia $T_pM$ lo spazio tangente ad $M$ in $p$ e sia $T_p'M$ lo spazio vettoriale duale di $T_pM$.
Un tensore $(r,s)$ ($r$ controvariante $s$ covariante) nel punto $p$ è un'applicazione multilineare
$T : (T_pM)^r x (T_p'M)^s \to \R$.
Fissate le basi "canoniche" in $T_pM$ e in $T_p'M$, che indicherò, per brevità, con $e_1,....,e_n$ e $f_1,...,f_n$ (sono i vettori derivate parziali e differenziali delle coordinate rispettivamente), si è soliti identificare un tensore con le sue componenti rispetto a tali basi. Quindi in coordinate si ha
$T_(i_1,...,i_r)^(j_1,...,j_s)=T(e_(i_1),...,e_(i_r),f_(j_1),...,j_(j_s))$.
Un tensore $(r,s)$ ($r$ controvariante $s$ covariante) nel punto $p$ è un'applicazione multilineare
$T : (T_pM)^r x (T_p'M)^s \to \R$.
Fissate le basi "canoniche" in $T_pM$ e in $T_p'M$, che indicherò, per brevità, con $e_1,....,e_n$ e $f_1,...,f_n$ (sono i vettori derivate parziali e differenziali delle coordinate rispettivamente), si è soliti identificare un tensore con le sue componenti rispetto a tali basi. Quindi in coordinate si ha
$T_(i_1,...,i_r)^(j_1,...,j_s)=T(e_(i_1),...,e_(i_r),f_(j_1),...,j_(j_s))$.
Luca, mi daresti la definizione corretta di tensore?
Grazie
Alex
Grazie
Alex
Giusto.
Ah scusa, ma tornando al prodotto scalare tra i vettori della prima forma fondamentale:
E=pu*pu
F=pu*pv
G=pv*pv
Ora la "normalizzazione" è da fare solo ad F ? Essendo che pu*pv=|pu|*|pv|*cos(alfa), dunque normalizzando pu e pv e dividendo trovo cos(alfa), giusto?
E=pu*pu
F=pu*pv
G=pv*pv
Ora la "normalizzazione" è da fare solo ad F ? Essendo che pu*pv=|pu|*|pv|*cos(alfa), dunque normalizzando pu e pv e dividendo trovo cos(alfa), giusto?
Azz...come non è sempre retto??? se le coordinate scelte sono ortogonali, le due derivate parziali sono ortogonali.......non capisco!?!
Ahhhh si, ho capito, io banalmente commettevo l'errore di associare alle coordinate curvilinee gli assi x e y, ma dipende da come si parametrizza......certo!!!
P.S: Vi tranquillizzo tutti, sono di sesso maschile, ma a breve devo sposarmi, quindi Luca non corri alcun rischio........a proposito, capisco che l'avatar non si addica a me, ma l'intento era di rendere omaggio al grande Gauss!
Ahhhh si, ho capito, io banalmente commettevo l'errore di associare alle coordinate curvilinee gli assi x e y, ma dipende da come si parametrizza......certo!!!
P.S: Vi tranquillizzo tutti, sono di sesso maschile, ma a breve devo sposarmi, quindi Luca non corri alcun rischio........a proposito, capisco che l'avatar non si addica a me, ma l'intento era di rendere omaggio al grande Gauss!
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