Per Luca Lussardi
Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!
Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!
Risposte
Luca, forse parli di prodotto scalare tra vettori tg?
Azz..... 
Non ho capito!
Non ho capito!
Per Thomas: il primo è più classico, il secondo è più specialistico. Se non sai nulla di quello fatto nel primo corso, è inutile che segui il secondo. Se invece consoci già un po' di Geometria differenziale della curva e della superficie (non serve tutto il programma descritto) allora puoi buttarti anche direttamente sul secondo corso, di vera Geometria differenziale. L'ideale sarebbe un corso di Geometria differenziale vera, su varietà, che richiamassa al suo interno parte di quella classica. Un tale corso forse lo terrò io il prossimo anno a Brescia, e sto scrivendo, nel caso me lo assegnino, delle dispense. Le troverai per Settembre sulla mia home; magari senza seguire un corso potresti studiarti quelle.
Per Alexp: il tensore metrico $g_(ij)$ ti dà l'invariante $g_(ij)v^iw^j$ se $v$ e $w$ sono due vettori tangenti. Tale invariante ti permette di definire $||v||^2=eg_(ij)v^iv^j$, dove il fattore $e$ di correzione vale $1$ o $-1$ per rendere il secondo membro positivo.
Per Alexp: il tensore metrico $g_(ij)$ ti dà l'invariante $g_(ij)v^iw^j$ se $v$ e $w$ sono due vettori tangenti. Tale invariante ti permette di definire $||v||^2=eg_(ij)v^iv^j$, dove il fattore $e$ di correzione vale $1$ o $-1$ per rendere il secondo membro positivo.
Per Thomas: i due programmi non sono equivalenti.......io seguirei il corso del primo link, il secondo è più avvanzato.
mi state incuriosendo... già prima avevo intenzione di seguire un corso di geometria differenziale o qualcosa di simile... se l'anno prox volessi farmi del male, quale di questi due corsi mi consigliate di seguire? Ed a vostro parere per me (che studio fisica: questi sono esami di matematica) saranno utili? Ecco i programmi: non capisco quale fra i due è quello più "iniziale", sempre che ve ne sia uno ... cosa ne pensate???
http://www.dm.unipi.it/cluster-pages/se ... nziale.pdf
http://www.dm.unipi.it/cluster-pages/se ... 6abate.pdf
Io non è che rispetti tanto i requisiti, soprattutto per quanto riguarda calcolo in più variabili, che dovrei affrontare (cmq parallelamenete) l'anno prox nel corso di analisi... anche da questo punto di vista, vi paiono corsi abbordabili senza troppi problemi per i requisiti???
http://www.dm.unipi.it/cluster-pages/se ... nziale.pdf
http://www.dm.unipi.it/cluster-pages/se ... 6abate.pdf
Io non è che rispetti tanto i requisiti, soprattutto per quanto riguarda calcolo in più variabili, che dovrei affrontare (cmq parallelamenete) l'anno prox nel corso di analisi... anche da questo punto di vista, vi paiono corsi abbordabili senza troppi problemi per i requisiti???
Scusa Luca, ma in che senso il tensore metrico applicato ad un punto ti dice quanto è lungo il vettore tangente?
Nel senso il determinante del tensore metrico equivale a |Pu ^ Pv|^2 cioè al modulo al quadrato del vettore normale.........in che senso fornisce la lunghezza del vettore tangente?
Nel senso il determinante del tensore metrico equivale a |Pu ^ Pv|^2 cioè al modulo al quadrato del vettore normale.........in che senso fornisce la lunghezza del vettore tangente?
1) non è che la superficie è un campo tensoriale; il campo tensoriale è definito sulla superficie, punto per punto hai un tensore che ti dice, moralmente, quanto sono lunghi i vettori tangenti. Con questo puoi dire quanto è lungo un pezzettino di curva, facendo finta, come ti diceva Arrigo, che il trattino di curva sia un trattino di vettore tangente.
Parlare di metrica nel punto è sì improprio, secondo me. La metrica classicamente definita associa sempre a due punti un numero reale positivo; nel punto c'è il tensore metrico che dè un'informazione puntuale, la quale estesa al punto infinitamente vicino ti dà la metrica.
2) direi di sì; forse non sono sufficienti però solo rotazioni e traslazioni. Pensa al cono sviluppato sul piano: non è sufficiente ruotarlo o traslarlo, va "disteso".
Parlare di metrica nel punto è sì improprio, secondo me. La metrica classicamente definita associa sempre a due punti un numero reale positivo; nel punto c'è il tensore metrico che dè un'informazione puntuale, la quale estesa al punto infinitamente vicino ti dà la metrica.
2) direi di sì; forse non sono sufficienti però solo rotazioni e traslazioni. Pensa al cono sviluppato sul piano: non è sufficiente ruotarlo o traslarlo, va "disteso".
Luca o Arrigo per piacere verificate se quanto affermo è corretto:
1) Non si parla di metrica del punto, ma di tensore metrico applicato al punto.....dunque si vede la superficie come un campo tensoriale, in cui in ogni punto è associato un tensore metrico......ma da quello che ho capito parlare di metrica del punto è sbagliato o perlomeno improprio, giusto?
2) Dire che due superfici hanno localmente la stessa metrica, e dunque "applicabili l'una sull'altra localmente" significa (dato che è dimostrato che la curvatura dipende solamente dai coefficienti della prima forma quadratica fondamentale e dalle loro derivate prime e seconde) che con opportune trasformazioni (traslazioni e rotazioni) apportate ad una superficie per arrivare a "sovrapporla" localmente all'altra, la superficie trasformata ottenuta deve avere punto per punto (ovviamente per l'intera "zona" di applicabilità) gli stessi tensori metrici dell'altra superficie o in modo equivalente, la "nuova" superficie (dopo aver subito la trasformazione) deve avere uguale locamente la prima f. q. f. ?
1) Non si parla di metrica del punto, ma di tensore metrico applicato al punto.....dunque si vede la superficie come un campo tensoriale, in cui in ogni punto è associato un tensore metrico......ma da quello che ho capito parlare di metrica del punto è sbagliato o perlomeno improprio, giusto?
2) Dire che due superfici hanno localmente la stessa metrica, e dunque "applicabili l'una sull'altra localmente" significa (dato che è dimostrato che la curvatura dipende solamente dai coefficienti della prima forma quadratica fondamentale e dalle loro derivate prime e seconde) che con opportune trasformazioni (traslazioni e rotazioni) apportate ad una superficie per arrivare a "sovrapporla" localmente all'altra, la superficie trasformata ottenuta deve avere punto per punto (ovviamente per l'intera "zona" di applicabilità) gli stessi tensori metrici dell'altra superficie o in modo equivalente, la "nuova" superficie (dopo aver subito la trasformazione) deve avere uguale locamente la prima f. q. f. ?
Provo a risponderti ...
Mi rifaccio alle definizioni.
1) la prima forma fondamentale è la norma quadra di un vettore del piano tangente alla superficie in un suo punto
2) la metrica è "la possibilità di definire una distanza fra due punti"
Se prendo due punti "molto vicini" di una superfice e traccio il vettore che li congiunge, questo vettore è "praticamente" tangente alla superficie e questo è tanto più vero quanto più i due punti sono vicini.
La norma di questo vettore "infinitesimo" mi dà inoltre la distanza fra questi due punti. In questo modo, essendo i punti "infinitamente vicini", ho costruito una metrica SULLA superfcie.
Chiamo la norma quadra di questo vettore con $ds^2$ ed esso è la prima forma fondamentale calcolata in quel punto per quel vettore.
Ecco come, secondo me, si legano i concetti di prima forma fondamentale e metrica !!
Ovviamente, siccome questi "oggetti" sono funzioni delle coordinate curvilinee, si tratta di oggetti locali ...
Ancora due parole. Storicamente si è cominciato prima a studiare il $ds^2$ in modo "ingenuo" e poi, per formalizzare la teoria ed eliminare i "pericolosi" infinitesimi, si è passati a definizioni più esatte che invocano concetti di topologia, algebra lineare ecc.
Un esempio fra tutti : l'utilizzo del differenziale come opertore lineare ...
ps. scusa Luca, mentre scrivevo la mia risposta ho visto che avevi già risposto. Nel dubbio se cancellare la mia, ho preferito postarla ... giusto per mettermi alla prova se ho capito ...
ps. sì, Luca, il calcolo variazionale è la base della fisica classica (anche la relatività è classica !!). Pensa che per definire il campo gravitazionale si ricorre ancora la principio di minima azione (e quindi al calcolo variazionale). Si suppone che il campo gravitazionale possa distribuirsi nello spazio con una "densità" tale da soddisfare il suddetto principio ... Si fa la stessa cosa col campo elettromagnetico di Maxwell ma ancora non ho capito come i principi variazionali entrino nella meccanica quantistica (a parte il fatto evidente che la MQ si basa sull'hamiltoniano che si basa a sua volta sul principio di minima azione) ...
Mi rifaccio alle definizioni.
1) la prima forma fondamentale è la norma quadra di un vettore del piano tangente alla superficie in un suo punto
2) la metrica è "la possibilità di definire una distanza fra due punti"
Se prendo due punti "molto vicini" di una superfice e traccio il vettore che li congiunge, questo vettore è "praticamente" tangente alla superficie e questo è tanto più vero quanto più i due punti sono vicini.
La norma di questo vettore "infinitesimo" mi dà inoltre la distanza fra questi due punti. In questo modo, essendo i punti "infinitamente vicini", ho costruito una metrica SULLA superfcie.
Chiamo la norma quadra di questo vettore con $ds^2$ ed esso è la prima forma fondamentale calcolata in quel punto per quel vettore.
Ecco come, secondo me, si legano i concetti di prima forma fondamentale e metrica !!
Ovviamente, siccome questi "oggetti" sono funzioni delle coordinate curvilinee, si tratta di oggetti locali ...
Ancora due parole. Storicamente si è cominciato prima a studiare il $ds^2$ in modo "ingenuo" e poi, per formalizzare la teoria ed eliminare i "pericolosi" infinitesimi, si è passati a definizioni più esatte che invocano concetti di topologia, algebra lineare ecc.
Un esempio fra tutti : l'utilizzo del differenziale come opertore lineare ...
ps. scusa Luca, mentre scrivevo la mia risposta ho visto che avevi già risposto. Nel dubbio se cancellare la mia, ho preferito postarla ... giusto per mettermi alla prova se ho capito ...
ps. sì, Luca, il calcolo variazionale è la base della fisica classica (anche la relatività è classica !!). Pensa che per definire il campo gravitazionale si ricorre ancora la principio di minima azione (e quindi al calcolo variazionale). Si suppone che il campo gravitazionale possa distribuirsi nello spazio con una "densità" tale da soddisfare il suddetto principio ... Si fa la stessa cosa col campo elettromagnetico di Maxwell ma ancora non ho capito come i principi variazionali entrino nella meccanica quantistica (a parte il fatto evidente che la MQ si basa sull'hamiltoniano che si basa a sua volta sul principio di minima azione) ...
Per Arrigo: già, il problema geodetiche non è affatto banale, e si inquadra in un problema molto più ampio che è il problema superfici minime.
E' meglio parlare di tensore metrico, o sarebbe meglio dire, campo tensoriale metrico. Il tensore 2-covariante $g_(ij)$ è tale che $g_(ij)v^iw^j$ è un invariante, essendo $v$ e $w$ due vettori tangenti (controvarianti). Tale invariante è un quindi il prodotto scalare punto per punto. La metrica è invece, formalmente, $ds^2=g_(ij)dx^idx^j$ e rappresenta la distanza tra due punti infinitamente vicini sulla varietà. Essa sussiste solo come scrittura formale; per trovare la vera distanza uno deve ovviamente integrare.
La prima forma fondamentale è circa sinonimo di tensore metrico; è una dicitura classica per la superficie immersa nello spazio euclideo.
La prima forma fondamentale è circa sinonimo di tensore metrico; è una dicitura classica per la superficie immersa nello spazio euclideo.
Chiedo aiuto a Luca o Arrigo.......ma precisamente quando si parla di metrica del punto di una superficie si parla di metrica locale, ossia la distanza tra quel punto e un qualsiasi punto percorsa sulla superficie ? Mentre per metrica della superficie, si intende la prima forma quadratica fondamentale?
Sì. La metrica della varietà a 4 dimensioni che descrive lo spaziotempo secondo la relatività generale in effetti è una pseudometrica.
Già nel caso più semplice, in assenza di materia, la metrica è (in 2 dimensioni) :
$ds^2 = c^2dt^2 - dx^2$
(il segno meno si può mettere sia davanti al tempo che allo spazio e poi procedere di conseguenza).
Questo a causa del fatto che due punti distinti della varietà, se collegati da un raggio di luce, si considerano a distanza nulla. Infatti in questo caso $c^2 = dx^2/dt^2$.
Addirittura, se la differenza è negativa, si hanno distanze immaginarie !!!
In presenza di materia, il tensore metrico ovviamente si complica, ma presenta sempre un determinante negativo !!
Questo complica molto le cose quando si calcolano le geodetiche dei punti materiali che si muovono nella varietà e complica anche la definizione della triettoria di un raggio di luce.
Un punto materiale, per il principio di minima azione (la natura sceglie sempre la "fatica" minore) segue una linea per cui l'integrale di ds è minimo.
Un raggio di luce, invece, segue una traietoria per cui l'integrale di ds risulta nullo.
Complicatissime questioni di calcolo variazionale, ... il tuo settore, caro Luca ...
Già nel caso più semplice, in assenza di materia, la metrica è (in 2 dimensioni) :
$ds^2 = c^2dt^2 - dx^2$
(il segno meno si può mettere sia davanti al tempo che allo spazio e poi procedere di conseguenza).
Questo a causa del fatto che due punti distinti della varietà, se collegati da un raggio di luce, si considerano a distanza nulla. Infatti in questo caso $c^2 = dx^2/dt^2$.
Addirittura, se la differenza è negativa, si hanno distanze immaginarie !!!
In presenza di materia, il tensore metrico ovviamente si complica, ma presenta sempre un determinante negativo !!
Questo complica molto le cose quando si calcolano le geodetiche dei punti materiali che si muovono nella varietà e complica anche la definizione della triettoria di un raggio di luce.
Un punto materiale, per il principio di minima azione (la natura sceglie sempre la "fatica" minore) segue una linea per cui l'integrale di ds è minimo.
Un raggio di luce, invece, segue una traietoria per cui l'integrale di ds risulta nullo.
Complicatissime questioni di calcolo variazionale, ... il tuo settore, caro Luca ...
Cavolo, molto interessante. Arrigo, qual è il $ds^2$ più usato per descrivere una varietà spazio temporale in tal caso? E' forse simile a quello "classico" euclideo nello spazio e con un segno meno nel tempo?
Scusate se può sembrare fuori tema, ma la notizia è troppo importante ed è l'ennesimo "trionfo" della geometria differenziale.
Da oggi l'ipotesi dell'esistenza della materia oscura è una realtà !!!
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap060824.html
Questa notizia ha un'importanza paragonabile alla scoperta dell'America ... e tutti ne dovrebbero essere a conoscenza ...
La varietà spaziotemporale resa fortemente non euclidea dalla presenza della materia oscura si comporta come una lente per i laggi di luce che la attraversano ...
La strada aperta da Gauss, Riemann, Ricci-Curbastro, Levi-Civita ecc. si dimostra sempre più importante e decisiva per la comprensione delle leggi che regolano l'universo !!!
Da oggi l'ipotesi dell'esistenza della materia oscura è una realtà !!!
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap060824.html
Questa notizia ha un'importanza paragonabile alla scoperta dell'America ... e tutti ne dovrebbero essere a conoscenza ...
La varietà spaziotemporale resa fortemente non euclidea dalla presenza della materia oscura si comporta come una lente per i laggi di luce che la attraversano ...
La strada aperta da Gauss, Riemann, Ricci-Curbastro, Levi-Civita ecc. si dimostra sempre più importante e decisiva per la comprensione delle leggi che regolano l'universo !!!
Sì, e l'altro potente strumento per descrivere la realtà fisica è l'analisi funzionale.
La geometria differenziale, per la relatività generale (l'infinitamente grande) e l'analisi funzionale, per la meccanica quantistica (l'infinitamente piccolo).
Però due descrizioni incomunicanti sia a livello fisico che a livello matematico.
La teoria della stringhe costituisce un tentativo di unificazione delle due visioni del mondo e la matematica che ci sta dietro è, come è giusto che sia, una fusione di geometria differenziale ed analisi funzionale ...
La geometria differenziale, per la relatività generale (l'infinitamente grande) e l'analisi funzionale, per la meccanica quantistica (l'infinitamente piccolo).
Però due descrizioni incomunicanti sia a livello fisico che a livello matematico.
La teoria della stringhe costituisce un tentativo di unificazione delle due visioni del mondo e la matematica che ci sta dietro è, come è giusto che sia, una fusione di geometria differenziale ed analisi funzionale ...
Ah, non lo sapevo che gli avessi scritto; bene, del resto per come scrive si poteva immaginare la persona che effettivamente è.
In effetti la Geometria differenziale è, a parer mio, il linguaggio geometrico naturale della Scienza fisica.
In effetti la Geometria differenziale è, a parer mio, il linguaggio geometrico naturale della Scienza fisica.
Concordo con Luca al 100% !!! ... a parte quando mi definisce "esperto di geometria differenziale" ... Ne sono solo un grande "appassionato" (anche se nel mio sito mi presento come tale ... ma è solo una sfida a me stesso ...) anche per le implicazione fisiche. Grazie alla geometria differenziale l'umanità è in grado per la prima volta nella sua storia di indagare sull'universo su larga scala.
I due testi del Do Carmo (anche quello sulla geometria riemanniana già citato) sono veramente stupendi ed illuminanti.
E l'autore Manfredo P. Do Carmo, come persona, non è da meno !!!
Tempo fa gli scrissi per esternargli tutta la mia stima e per ringraziarlo per l'enorme "bene" che egli fa all'umanità con i suoi libri. Egli mi rispose (addirittura, con grande squisitezza d'animo, in italiano, lingua che sa leggere bene ma non scrivere con esattezza, per cui si avvalse di una collega italiana che lavora in Brasile) poco tempo dopo mostrandosi ancora più emozionato di me e felice che il suo sforzo poteva servire a molti per capire. Quindi, non lo scienziato chiuso nella propria "torre d'avorio", ma un uomo in cammino con gli altri e felice di "dare" ...
Direi allora un grande maestro di scienza e di umanità ...
I due testi del Do Carmo (anche quello sulla geometria riemanniana già citato) sono veramente stupendi ed illuminanti.
E l'autore Manfredo P. Do Carmo, come persona, non è da meno !!!
Tempo fa gli scrissi per esternargli tutta la mia stima e per ringraziarlo per l'enorme "bene" che egli fa all'umanità con i suoi libri. Egli mi rispose (addirittura, con grande squisitezza d'animo, in italiano, lingua che sa leggere bene ma non scrivere con esattezza, per cui si avvalse di una collega italiana che lavora in Brasile) poco tempo dopo mostrandosi ancora più emozionato di me e felice che il suo sforzo poteva servire a molti per capire. Quindi, non lo scienziato chiuso nella propria "torre d'avorio", ma un uomo in cammino con gli altri e felice di "dare" ...
Direi allora un grande maestro di scienza e di umanità ...
Grazie Luca.....Grazie Arrigo!
Alexp
Alexp
Sì, in generale non credo ci sia una direzione di curvatura totale; in certi casi ovviamente sì, basti pensare al caso di curvature principali uguali, allora ogni direzione è di curvatura totale.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo