Problemino di PROBABILITA'
In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.
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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!
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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!
Risposte
"Martino":
Non capisco. Perché b=1-a ?
Non intendevo $b=$, scusa, ma:
chiedevo se $P(a>b)$ sarebbe come dire $1-P(a<=b)$? E domandavo se fosse questa l'area richiesta.
Cioé l'area totale meno l'area gialla del triangolino dà a>b? Scusami Martino ma sono negato a fare sti problemini... Perché poi è proprio il complementare? Io immaginavo che a>b fosse la parte di piano sopra a=b... Poi stavo ragionando sulle altre prob che chiedevi e mi risulta difficile capire come diavolo si trovano... Tipo il prodotto tra a e b per essere positivo, devono entrambi essere o positivi (porzione compresa nella figura del 1 quadr) o entrambi negativi (porzione compresa nella figura del 3 quadr)?
tutto dipende dal nome degli assi di riferimento... 
ho visto ora che dal testo del problema si dice che b varia in -3 , 2 .; quindi l'asse di riferimento per b e' l'asse verticale.
ho visto ora che dal testo del problema si dice che b varia in -3 , 2 .; quindi l'asse di riferimento per b e' l'asse verticale.
Si non avevo specificato bene... Scusate. Ora è corretto?
Gli altri punti non li so fare....
Gli altri punti non li so fare....
Il punto $a*b>1$ potrebbe essere
Le condizioni che ho posto sono
a,b >1 e a,b<1...
Dove posso calcolare l'area bianca e fare:
Area richiesta (rossa) = 1 - area bianca
Le condizioni che ho posto sono
a,b >1 e a,b<1...
Dove posso calcolare l'area bianca e fare:
Area richiesta (rossa) = 1 - area bianca
No. E' sbagliato. Devi disegnare la curva (iperbole equilatera) y = 1/x e calcolare (con gli integrali) l'area compresa tra il rettangolo e la curva.
"MaMo":
Devi disegnare la curva (iperbole equilatera) y = 1/x e calcolare (con gli integrali) l'area compresa tra il rettangolo e la curva.
Esatto. Il problema di probabilità si traduce in "semplice" calcolo di integrali!
@Giova: l'area corrispondente ad a>b non è quella gialla ma quella ottenuta togliendo quella gialla! Il motivo è che per come hai fatto il disegno, l'asse y corrisponde a b, e quindi a>b diventa x>y, ovvero y
Ciao.
PS: ho scelto intervalli diversi appunto per creare problemi dovuti alla non-simmetria
Non me ne vogliate.
Ah: ovviamente i risultati devono essere espressi in termini di probabilità, non di aree.
Forse ora ho capito... Li avevo sottovalutati questi problemini di Martino... (Per non dire che non li so fare 
)
Dopo mi metto seriamente e li provo seguendo i vostri consigli.
Ma come fo con la densità di prob sulla quale calcolare gli integrali?
Non l'ho mai visto fare con intervalli diversi....
)Dopo mi metto seriamente e li provo seguendo i vostri consigli.
Ma come fo con la densità di prob sulla quale calcolare gli integrali?
Non l'ho mai visto fare con intervalli diversi....
"Giova411":
Non l'ho mai visto fare con intervalli diversi....
Non serve averlo visto fare per saperlo fare
Ricorda la definizione di probabilità uniforme!
Intuitivamente la cosa è chiara: dovrai semplicemente calcolare i "casi favorevoli" (area interessata) e poi dividere per i "casi possibili" (area totale). Il calcolo di tali aree si traduce essenzialmente in calcolo di integrali in una variabile (analisi 1).
Prova a disegnare le curve in questione e la cosa ti apparirà chiara (acc.. non posso dirti tutto, altrimenti dov'è il bello?)
Se proprio ti trovi in difficoltà posso scriverti come si risolve un caso... semmai chiedimelo.
Ciao
No, grazie. Provo a farlo solo oggi pome. Dopo mi metto. Poi scivo qui tutto...
Grazie per il "tutoraggio"!!!!
Grazie per il "tutoraggio"!!!!
Mi son messo seriamente!
Allora come diceva il saggio Martino $a>b$ è il contrario di quello che avevo disegnato (sono proprio un testona di beep)
e quindi la prob della prima richiesta mi viene $3/5$
Nel caso di $ab>0$ la prob mi viene $(P(X>0) nn P(Y>0)) uu (P(X<0) nn P(Y<0)) = 1/2$
Nel caso $ab>1$ le cose si complicano come giustamente ha detto Mamo.
Io ho pensato a:
$1/20 * int_(0)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^0 int_(0)^(1/x) (1*dy*dx) =$ ma mi viene $=1/5 - 1/10 ln|2|$
Aiuto
Allora come diceva il saggio Martino $a>b$ è il contrario di quello che avevo disegnato (sono proprio un testona di beep)
e quindi la prob della prima richiesta mi viene $3/5$
Nel caso di $ab>0$ la prob mi viene $(P(X>0) nn P(Y>0)) uu (P(X<0) nn P(Y<0)) = 1/2$
Nel caso $ab>1$ le cose si complicano come giustamente ha detto Mamo.
Io ho pensato a:
$1/20 * int_(0)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^0 int_(0)^(1/x) (1*dy*dx) =$ ma mi viene $=1/5 - 1/10 ln|2|$
Aiuto
Il caso ab>0 è giusto.
Per il caso ab>1... non ci siamo. Prova a pensarci ancora un po'... e ricorda che non è necessario integrare in 2 variabili..
Edito: per esempio se x è tra 0 e 1/2 allora y non è tra 1/x e 2.
Edito: poi bisogna correggere i segni...
Per il caso ab>1... non ci siamo. Prova a pensarci ancora un po'... e ricorda che non è necessario integrare in 2 variabili..
Edito: per esempio se x è tra 0 e 1/2 allora y non è tra 1/x e 2.
Edito: poi bisogna correggere i segni...
Io sto ragionando con questi grafichetti (scusa se sono rozzi)
Nel punto dove chiedi:
$(a-b)(a+b)>0$ ho ragionato così: $P((Y-X)) uu (P(Y>X) nn P(Y<-X)) = 2/5$
Martì nel punto $ab>1$ non ci sono allora... C'é qualcosa che non ho capito a livello concettuale... Come si fa a calcolarlo con un integrale solo? Si può fare?
Nel punto dove chiedi:
$(a-b)(a+b)>0$ ho ragionato così: $P((Y
Martì nel punto $ab>1$ non ci sono allora... C'é qualcosa che non ho capito a livello concettuale... Come si fa a calcolarlo con un integrale solo? Si può fare?
l'integrale di una funzione di una variabile ti da' l'area della superficie sottesa dalla curva che stai integrando.
tutto il resto e' noia.
tutto il resto e' noia.
Ok raga ma non so come altro farlo.
Io con l'integrale doppio pensavo di trovare la prob richiesta. Ma i grafichetti (le 3 opere d'arte...) sono corretti almeno? Le aree richieste sono quelle?
Abbiate pazienza che piano piano, e grazie a voi, ci arrivo....
Io con l'integrale doppio pensavo di trovare la prob richiesta. Ma i grafichetti (le 3 opere d'arte...) sono corretti almeno? Le aree richieste sono quelle?
Abbiate pazienza che piano piano, e grazie a voi, ci arrivo....
Sì, le aree richieste sono quelle.
Come vedi se trasli opportunamente le zone colorate della prima figura ti riduci a calcolare l'integrale di una funzione di una variabile in un intervallo. Per esempio se prendi la parte colorata sotto e la trasli in su di 3... e poi integri tra -2 e -1/3...
... e poi se prendi la parte colorata sopra, la rifletti rispetto all'asse x e la trasli in su di 2... e poi integri tra 1/2 e 2...
È ancora oscura la faccenda?
Come vedi se trasli opportunamente le zone colorate della prima figura ti riduci a calcolare l'integrale di una funzione di una variabile in un intervallo. Per esempio se prendi la parte colorata sotto e la trasli in su di 3... e poi integri tra -2 e -1/3...
... e poi se prendi la parte colorata sopra, la rifletti rispetto all'asse x e la trasli in su di 2... e poi integri tra 1/2 e 2...
È ancora oscura la faccenda?
Si è oscura, mi arrendo. Bandiera bianca!
Non ho mai imparato a traslare... Ma con l'integrale doppio è molto + difficile il calcolo? Il discorso di traslare sicuro facilita le cose ma non lo so fare.
Nel terzo grafichetto (a dx) con opportune traslazioni mi troverò a dover calcolare l'area di un cerchietto, giusto?!
Non ho mai imparato a traslare... Ma con l'integrale doppio è molto + difficile il calcolo? Il discorso di traslare sicuro facilita le cose ma non lo so fare.
Nel terzo grafichetto (a dx) con opportune traslazioni mi troverò a dover calcolare l'area di un cerchietto, giusto?!
Con l'integrale doppio il calcolo non è più difficile. Riprova se vuoi, ma attento agli estremi di integrazione.
"Giova411":
Ma con l'integrale doppio è molto + difficile il calcolo?
io per esempio con l'integrale doppio non lo saprei fare, mentre con l'integrale singolo ed un po' di impegno ce la dovrei fare in questo caso... cmq credo sia una buona cosa saperlo fare in entrambi i modi (ma io gli esami con esercizi di analisi li ho gia' fatti tutti....
)saluti.
$1/20 * int_(1/2)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^(0) int_(1/x)^(0) (1*dy*dx) =...$
Ma mi hai messo la pulce nell'orecchio della traslazione che facilita le cose... Sul libro di analisi non trovo nulla...
Graficamente la traslazione che consigliavi non riesco a vederla...
Il ragionamento del cerchietto nell'ultimo caso e con la traslazione è giusto? Li unisco con le traslazioni ed ho un cerchio. Poi calcolo l'area.
Ma mi hai messo la pulce nell'orecchio della traslazione che facilita le cose... Sul libro di analisi non trovo nulla...
Graficamente la traslazione che consigliavi non riesco a vederla...
Il ragionamento del cerchietto nell'ultimo caso e con la traslazione è giusto? Li unisco con le traslazioni ed ho un cerchio. Poi calcolo l'area.
"Giova411":
$1/20 * int_(1/2)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^(0) int_(1/x)^(0) (1*dy*dx) =...$
Sbagliato. Scritto giusto è così:
$1/20 * int_(1/2)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^(-1/3) int_(-3)^(1/x) (1*dy*dx)$
Il ragionamento del cerchietto nell'ultimo caso e con la traslazione è giusto? Li unisco con le traslazioni ed ho un cerchio. Poi calcolo l'area.
Se li unisci con le traslazioni perché dovresti ottenere un cerchio?
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