Problemino di PROBABILITA'

[Giova411]

In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.

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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!

[Piera4]

Ciao Giova! Quanto tempo che non ci si sente, vero?
Quell'integrale è abbastanza difficile.
Si dimostra che
$intsqrt(x^2-1)dx=1/2(xsqrt(x^2-1)-ln|x+sqrt(x^2-1)|)$.

[Giova411]

Pièèèèèèè!!!
E che fine hai fatto?!
Per più di un momento ho pensato che Martino fossi tu!!! Giuro! Ho detto: "sto Martino è un genio, o è Luca.B o è Piera..."

Insomma sto Martino esiste veramente... E' un fenomeno sto ragazzo!


PS: grazie per l'integrale! Si è troppo difficile, il prof di prob se ne inventa di tutti i colori, ma integrazioni così difficili non ne ha mai chieste... Per fortuna sto ad Info e fa il buono in questo...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Giova411":Ho usato quella regola che dice:

$int[f(x)]^(alpha) * f^{\prime}(x) = ([f(x)]^(alpha+1)) / (alpha +1) + c$ non picchiarmi, sono ignorante... La ricordo male?
Quindi quel $2x$ è la derivata interna... Dovevo usare un altro metodo?

Ho capito che il 2x è la derivata interna, ma se non c'è non è che te lo puoi inventare!

Io ho fatto la sostituzione $x=\cosh (t)$ e qualcosa mi è venuto...

Edito: con $x=\cosh(t)$ viene

$4\int_1^2 \sqrt{x^2-1}dx = 4\int_0^{\log(2+\sqrt{3})}\sinh^2(t)dt = \int_0^{\log(2+\sqrt{3})}(e^{2t}+e^{-2t}-2)dt$

Ecc.

PS: Sì, esisto veramente ..
comunque conta che faccio matematica, e queste cose a matematica sono assolutamente da conoscere e saper fare!

Riedito: se vuoi esercitarti puoi inventarti condizioni a volontà tra i prodotti e le somme di due numeri casuali... per esempio nel nostro caso puoi domandarti qual è la probabilità che il prodotto sia maggiore della somma... ma magari non qui è utile (anzi essenziale) che tu faccia esercizio da solo.
Come prima cosa ti consiglierei di riprendere l'esercizio da te proposto in questo thread e provare a ragionarci su alla luce di tutto questo, magari cambiando alcuni parametri.

...io mi chiamo fuori

[Giova411]

Martì allora quando pubblicherai il tuo libro di "Esercizi Svolti su Variabili Casuali Continue" edito dalla "Martino & C"

Metterai questo problemino con i relativi risultati:

"Martino":Se ne possono inventare a volontà. Te ne scrivo uno:

Si scelgano a caso (in modo uniforme) due numeri reali $a \in [-2,2]$ e $b \in [-3,2]$. Qual è la probabilità che:

1) $a > b$,

RIS: $3/5$

"Martino":
2) $a = b$,

RIS: $0$ ma perché? Forse perché siamo in $R$?

Cmq non c'é nessuna area da calcolare giusto?

"Martino":
3) il prodotto $ab$ sia positivo,

RIS: $1/2$

"Martino":
4) il prodotto $ab$ sia maggiore di 1,

RIS: $0.24$

"Martino":
5) il prodotto $(a-b)(a+b)$ sia positivo,

RIS: $2/5$

"Martino":
6) il prodotto $(a-b)(a+b)$ sia maggiore di 1.

RIS: $4*1/20 int_1^2 (sqrt(x^2-1))dx =1/5 * " risultato di Piera" = 1/10(xsqrt(x^2-1)-ln|x+sqrt(x^2-1)|)$

[Giova411]

"Martino":se vuoi esercitarti puoi inventarti condizioni a volontà tra i prodotti e le somme di due numeri casuali... per esempio nel nostro caso puoi domandarti qual è la probabilità che il prodotto sia maggiore della somma... ma magari non qui è utile (anzi essenziale) che tu faccia esercizio da solo.
Come prima cosa ti consiglierei di riprendere l'esercizio da te proposto in questo thread e provare a ragionarci su alla luce di tutto questo, magari cambiando alcuni parametri.

...io mi chiamo fuori

Sì, tranquillo.. Lo so che ti ho distrutto...
Ora ho le basi per lavorare da solo con qualcosina di + semplice...

Cmq era da tanto che non postavo..... Perdonatemi


PS: GRAZIE MARTINO!

PS2: La battuta che dovrebbero farti S. Martino non la faccio che è scontata

[Giova411]

"Martino":

Io ho fatto la sostituzione $x=\cosh (t)$ e qualcosa mi è venuto...

Edito: con $x=\cosh(t)$ viene

$4\int_1^2 \sqrt{x^2-1}dx = 4\int_0^{\log(2+\sqrt{3})}\sinh^2(t)dt = \int_0^{\log(2+\sqrt{3})}(e^{2t}+e^{-2t}-2)dt$

Ecc.

Prima avevo provato invano di risolvere l'integrale...
Non avevo mai visto prima queste funzioni trigonometriche iperboliche...

$4*1/20 *int_1^2 (sqrt(x^2-1) )dx=$
Sostituzione consigliata da Martino:
$x=cosh(t)$
$dx=sinh(t)dt$
estremi:
per $x=1$ ho $1=cosh(t)$ quindi $t=0$ visto che $cosh(0)=1$ OK
per $x=1$ ho $2=cosh(t)$ ma non so andare avanti... $2=(e^t+e^(-t))/2$ poi?

Arrivo fino a:
$1/5 int_0^("non so") (sqrt(cosh^2t -1)*sinht)dt = 1/5 int_0^("non so") (sinh^2t)dt="..."$ qui campa cavallo che l'erba cresce....

[Giova411]

"Martino":
$4\int_1^2 \sqrt{x^2-1}dx = 4\int_0^{\log(2+\sqrt{3})}\sinh^2(t)dt = \int_0^{\log(2+\sqrt{3})}(e^{2t}+e^{-2t}-2)dt$

Capito l'estremo alto $log(2+\sqrt{3})$ mi ci è voluta una corsetta scaccia pensieri... E il libro delle superiori che parlasse degli esponenziali... Memoria rinfrescata.
Ora mi rimane da capire come arrivare a quel $e^{2t}+e^{-2t}-2$...

[Camillo]

Basta ricordare la definizione di $ sinh t =(e^t-e^(-t))/2 $ da cui $sinh^2t = (1/4)(e^2t+e^(-2t)-2) $ .

[Giova411]

Ué Camillone!!
Grazie!
E pensare che ieri ce l'avevo sotto il naso (qui) sta formula e non ho avuto l'elasticità mentale di adattarla a ciò che veniva richiesto...

Cmq alla fine la prob cercata $[4*1/20 int_1^2 (sqrt(x^2-1))dx ]$ dell'ultimo punto dovrebbe venire sui $0.215$ cioé il 21.5% che, ad occhio mi sembra giusta S.E.O.