Problemino di PROBABILITA'
In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.
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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!
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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!
Risposte
ciao giova.
direi che la Var. Aleatoria che descrive la posizione di ciascuno dei 2 punti abbia densita' di probabilita' uniforme sull'intervallo scelto.
e' la scelta + semplice mi sembra...
direi che la Var. Aleatoria che descrive la posizione di ciascuno dei 2 punti abbia densita' di probabilita' uniforme sull'intervallo scelto.
e' la scelta + semplice mi sembra...
Ciao Codino!!! 
Ok.
Sicuro sarà una cavolata ma proprio non lo so risolvere... Non ci sto dentro
Povero me!
Ok.
Sicuro sarà una cavolata ma proprio non lo so risolvere... Non ci sto dentro
Povero me!
proverei con la forza bruta e col 'solito' disegnino con 2 assi.
ti abbasta?
ti abbasta?
No Codì... L'avevo fatto il disegnetto, ma non lo capisco...
Tanto lo sappiamo entrambi che finirò col costringerti a fotografare i tuoi preziosi calcoli...
Non riesco proprio con sti problemi... E non solo...
Il disegno almeno è giusto? Avevo fatto quello quando ho provato a farlo ma poi m'incasino con distribuzioni e compagnia bella.
Tanto lo sappiamo entrambi che finirò col costringerti a fotografare i tuoi preziosi calcoli...
Non riesco proprio con sti problemi... E non solo...
Il disegno almeno è giusto? Avevo fatto quello quando ho provato a farlo ma poi m'incasino con distribuzioni e compagnia bella.
"Giova411":
In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.
certo, come già detto da codino75, la distribuzione è uniforme
potrei suggerire un percorso grafico (naturalmente! Noto con piacere che ti sei già messo a disegnare da solo...)
disegna il grafico della funzione (di due variabili) che ad $a,b \in [0,1]$ associa la misura del più piccolo intervallo individuato da $a$ e $b$.
Poi prova a "vedere" dove questa funzione assume valore minore di $1/5$ (tra l'altro, minore stretto o minore o uguale non dovrebbe fare differenza, come si dovrebbe vedere dal disegno)
non è la strada ortodossa, presumo
ma chi non risica...
Graficamente non riesco a vederli mai... Assurdo! Se ho una tipologia nuova di problemi non ce la FO mai...
Avevo provato ad impostarlo così ma mi blocco porcaccia la ....
Per il minimo tra i tre intervalletti:
$U=min(T_1, T_2, T_3)$
$P(U=t) = [P(T_1 = t)P(T_2 = t)P(T_3 = t)] + [P(T_1 > t) P(T_2 = t) P(T_3 = t) ]+[P(T_1 = t) P(T_2 > t) P(T_3 = t)] + [P(T_1 = t) P(T_2 = t) P(T_3 > t)] = $
$=[P(T_1 = t) P(T_2 = t) P(T_3 = t)] + [(1-P(T_1 <= t)) P(T_2 = t) P(T_3 = t)] +[P(T_1 = t) (1-P(T_2 <= t)) P(T_3 = t) ]+[P(T_1 = t) P(T_2 = t) (1-P(T_3 <= t))] $
Concettualmente mi sembra corretto ancora adesso ma non so che numerelli ficcargli dentro per ottenere la prob del minimo dei tre.
Avevo provato ad impostarlo così ma mi blocco porcaccia la ....
Per il minimo tra i tre intervalletti:
$U=min(T_1, T_2, T_3)$
$P(U=t) = [P(T_1 = t)P(T_2 = t)P(T_3 = t)] + [P(T_1 > t) P(T_2 = t) P(T_3 = t) ]+[P(T_1 = t) P(T_2 > t) P(T_3 = t)] + [P(T_1 = t) P(T_2 = t) P(T_3 > t)] = $
$=[P(T_1 = t) P(T_2 = t) P(T_3 = t)] + [(1-P(T_1 <= t)) P(T_2 = t) P(T_3 = t)] +[P(T_1 = t) (1-P(T_2 <= t)) P(T_3 = t) ]+[P(T_1 = t) P(T_2 = t) (1-P(T_3 <= t))] $
Concettualmente mi sembra corretto ancora adesso ma non so che numerelli ficcargli dentro per ottenere la prob del minimo dei tre.
puoi spiegare meglio l'ultima formula da te scritta, che non l'ho capita molto.
inoltre, ho provato a seguire il mio consiglio di fare il grafico, ma in effetti risulta alquanto incasinato...
i'm very sorry for the wrong advice
inoltre, ho provato a seguire il mio consiglio di fare il grafico, ma in effetti risulta alquanto incasinato...
i'm very sorry for the wrong advice
Don't worry about it! However I thank you the same one!
Eh... sto corso di lingue de-agostini è fantastico...
Quella formula l'avevo usata spesso per risolvere i problemini di var discrete. Funzionava...
Ma qui è un pacco!
Non so proprio come si fa... O forse lo so ma non so che so farlo...
Alla fine sarà una cavolatina magari che si risolve con un sistemino tranquillo...
Lascio la parola a chi sa farlo....
Eh... sto corso di lingue de-agostini è fantastico...
Quella formula l'avevo usata spesso per risolvere i problemini di var discrete. Funzionava...
Ma qui è un pacco!
Non so proprio come si fa... O forse lo so ma non so che so farlo...
Alla fine sarà una cavolatina magari che si risolve con un sistemino tranquillo...
Lascio la parola a chi sa farlo....
mi permetto due suggerimenti:
- metodo grafico (contrariamente a quanto affermavo nel mio ultimo post)
- il problema NON CHIEDE LA DENSITA' DI PROBABILITA' del minimo tra i 3 intervalli, ma solo QUANDO ESSO E' MINORE DI 1/5 (cio' semplifica molto la trattazione geometrico-matematica)
saluti
- metodo grafico (contrariamente a quanto affermavo nel mio ultimo post)
- il problema NON CHIEDE LA DENSITA' DI PROBABILITA' del minimo tra i 3 intervalli, ma solo QUANDO ESSO E' MINORE DI 1/5 (cio' semplifica molto la trattazione geometrico-matematica)
saluti
Il risultato potrebbe essere 21/25 ?
Io ho fatto così: ho chiamato x e y le due variabili aleatorie, trattando il problema su un usuale piano cartesiano. La probabilità cercata è allora quella dell'unione dei seguenti eventi:
1) x
5)x>y, x-y<1/5
6)x>y, 1-x<1/5
Tali sei eventi si traducono in zone del piano cartesiano non disgiunte a due a due. Ho disegnato tali zone e ho ottenuto il seguente disegno.
(!attenzione!: nel disegno dove ho scritto "x=1", "y=1" intendevo "x=1/5", "y=1/5")
La parte rossa indica che siamo nella zona y>x, quella verde indica la zona x>y. La probabilità cercata è l'area della zona colorata. Poiché l'area di ognuno dei triangolini bianchi vale 2/25 (tra l'altro basta contare i quadretti ), la probabilità cercata è 1-2/25-2/25=21/25.
In effetti mi pare un po' alta, spero che sia giusta
Ciao.
Io ho fatto così: ho chiamato x e y le due variabili aleatorie, trattando il problema su un usuale piano cartesiano. La probabilità cercata è allora quella dell'unione dei seguenti eventi:
1) x
5)x>y, x-y<1/5
6)x>y, 1-x<1/5
Tali sei eventi si traducono in zone del piano cartesiano non disgiunte a due a due. Ho disegnato tali zone e ho ottenuto il seguente disegno.
(!attenzione!: nel disegno dove ho scritto "x=1", "y=1" intendevo "x=1/5", "y=1/5")
La parte rossa indica che siamo nella zona y>x, quella verde indica la zona x>y. La probabilità cercata è l'area della zona colorata. Poiché l'area di ognuno dei triangolini bianchi vale 2/25 (tra l'altro basta contare i quadretti
), la probabilità cercata è 1-2/25-2/25=21/25.In effetti mi pare un po' alta, spero che sia giusta
Ciao.
Il risultato purtroppo non ce l'ho... Per questo ho postato...
Ma sai che mi sa che sei un fenomeno Martino mio bello?!
Credo sia giusta la tua sol.
Come diceva Codino, mi era fissato a cercare il minimo dei tre (che cmq ancora NON so fare...) e poi a porre tale minimo <1/5....
GraziE Martino!!!!
A proposito... Ma come diavolo si trova la probl del $min(a,b,c)$?
Qualcuno lo sa fare?
Ma sai che mi sa che sei un fenomeno Martino mio bello?!
Credo sia giusta la tua sol.
Come diceva Codino, mi era fissato a cercare il minimo dei tre (che cmq ancora NON so fare...) e poi a porre tale minimo <1/5....
GraziE Martino!!!!
A proposito... Ma come diavolo si trova la probl del $min(a,b,c)$?
Qualcuno lo sa fare?
Macché genio... quando facevo probabilità gli esercizi di variabili aleatorie uniformi non discrete erano più o meno di questo tipo... quindi ho una vaga idea di come fare. Purtroppo questo metodo appare facile nel caso di due punti, ma se per esempio ne segni quattro è un'altra storia...C'è una formula che date le funzioni di ripartizioni di alcune variabili aleatorie sputa fuori la funzione di ripartizione del massimo, e una analoga per il minimo.
Se interessa, ricordando che la funzione di ripartizione di X è $F_X(x)=P(X \le x)$, cito testualmente:
Siano $X_1,...,X_n$ variabili aleatorie reali indipendenti. Definiamo $Z:=max(X_1,...,X_n)$, $W=min(X_1,...,X_n)$. Allora
$F_Z(x)=\prod_{k=1}^nF_{X_k}(x)$
$F_W(x)=1-\prod_{k=1}^n(1-F_{X_k}(x))$
Poi volendo trovi la densità con la formula $p_X(x)=F_X(x)-F_X(x^-)$ (ma credo che sia più facile a dirsi che a farsi).
Ah: ovviamente nel tuo caso particolare dovrai tener conto del fatto che i punti x e y possono capitare.. non nell'ordine! Quindi magari dovrai usare la formula della probabilità totale (condizionando con prima un caso poi l'altro), o che so io
Ciao
Grazie Martino. Ho rivisto la soluzione e mi sembra giusta. L'ho capito ma non ci sarei mai arrivato da solo....
Grazie a Codino e Fioravante che spesso mi tolgono le castagne dal fuoco, ma si sbagliano se pensano che con qualche consiglio io riesca a risolvere sti cavoli di problemini di prob... Se li riporto sul Forum vuol dire che proprio non ci arrivo...
A tal proposito, qualcuno potrebbe consigliarmi, o postare, qualche problemino di questa tipologia? Dove si cerca la probab in modo geometrico? Se ne avete a portata di mano... Io non ne trovo e vorrei esercitarmi....
Grazie a Codino e Fioravante che spesso mi tolgono le castagne dal fuoco, ma si sbagliano se pensano che con qualche consiglio io riesca a risolvere sti cavoli di problemini di prob... Se li riporto sul Forum vuol dire che proprio non ci arrivo...
A tal proposito, qualcuno potrebbe consigliarmi, o postare, qualche problemino di questa tipologia? Dove si cerca la probab in modo geometrico? Se ne avete a portata di mano... Io non ne trovo e vorrei esercitarmi....
Se ne possono inventare a volontà. Te ne scrivo uno:
Si scelgano a caso (in modo uniforme) due numeri reali $a \in [-2,2]$ e $b \in [-3,2]$. Qual è la probabilità che:
1) $a > b$,
2) $a = b$,
3) il prodotto $ab$ sia positivo,
4) il prodotto $ab$ sia maggiore di 1,
5) il prodotto $(a-b)(a+b)$ sia positivo,
6) il prodotto $(a-b)(a+b)$ sia maggiore di 1.
Ecc ecc..
Si scelgano a caso (in modo uniforme) due numeri reali $a \in [-2,2]$ e $b \in [-3,2]$. Qual è la probabilità che:
1) $a > b$,
2) $a = b$,
3) il prodotto $ab$ sia positivo,
4) il prodotto $ab$ sia maggiore di 1,
5) il prodotto $(a-b)(a+b)$ sia positivo,
6) il prodotto $(a-b)(a+b)$ sia maggiore di 1.
Ecc ecc..
Ok, Martino caro ti ringrazio!
Ora mi metto a fare questi che hai proposto...
Se stanotte becco una stella cadente desidererò di diventare capace di risolvere questi problemini probabilistici-geometrici-rompi-capo-rompi-palle...
Per me è un'utopia ormai....
Già vedendo quelli che hai proposto mi è venuta la febbrina, notando gli intervalli diversi tra loro... (non il solito [0,1] )
Ora mi metto a fare questi che hai proposto...
Se stanotte becco una stella cadente desidererò di diventare capace di risolvere questi problemini probabilistici-geometrici-rompi-capo-rompi-palle...
Per me è un'utopia ormai....
Già vedendo quelli che hai proposto mi è venuta la febbrina, notando gli intervalli diversi tra loro... (non il solito [0,1]
)
dai giova che il punto 2) e' immediato 
Sono appena tornato a casa e niente stelle...
Questo disegnino va bene per i primi 2 punti? (Fatto veloce e male.. Ho pure sonno...
)
Per $a>b$ conviene calcolare l'area gialla, giusto? (Ad occhio per far veloce direi $(4*(5-1))/2$)
E' immediato a=b? Boh... Forse zero?
Codì prepara la digitale
Questo disegnino va bene per i primi 2 punti? (Fatto veloce e male.. Ho pure sonno...
)Per $a>b$ conviene calcolare l'area gialla, giusto? (Ad occhio per far veloce direi $(4*(5-1))/2$)
E' immediato a=b? Boh... Forse zero?
Codì prepara la digitale
Ho paura che a>b corrisponda non all'area gialla ma al suo complementare.
"Martino":
Ho paura che a>b corrisponda non all'area gialla ma al suo complementare.
Dici $a>b = 1 - a<=b$?
"Giova411":
[quote="Martino"]Ho paura che a>b corrisponda non all'area gialla ma al suo complementare.
Dici $a>b = 1 - a<=b$?[/quote]
Non capisco. Perché b=1-a ?
Dicevo solo che la zona corrispondente a a>b è la zona di rettangolo complementare a quella gialla.
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