Problemino di PROBABILITA'
In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.
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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!
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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!
Risposte
Codì sei troppo forte! Mi fai ammazzare dalle risate! Dico veramente!
Potevi pure scrivere... "Io li ho fatti tutti, peperepé gné gné...
"
Il mio prof di prob non ha mai chiesto cose così difficili cmq.
Ma grazie a Martino sto capendo cose che prima non capivo!
Martì ma come cavolo sei riuscito ad invertarti sti problemini?!
Non è che alla fine scopro che sei il mio prof?!
Potevi pure scrivere... "Io li ho fatti tutti, peperepé gné gné...
"Il mio prof di prob non ha mai chiesto cose così difficili cmq.
Ma grazie a Martino sto capendo cose che prima non capivo!
Martì ma come cavolo sei riuscito ad invertarti sti problemini?!
Non è che alla fine scopro che sei il mio prof?!
Beh li ho inventati sulla base di una vaga idea del significato geometrico (un rettangolo tagliato da un po' di curve strane).
"Martino":
1/20 * int_(1/2)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^(-1/3) int_(-3)^(1/x) (1*dy*dx)$
Ma allora il grafichetto a sx (dei tre) è cannato. Perché $... int_(-3)^(1/x) (1*dy)$ qui vuoi la parte sottostante la curva in basso. O no?
PS: lascia perdere la cavolata del cerchio mi sono reso conto di averla sparata grossa
Sì, e la parte sottostante la curva in basso è la parte colorata. Ed è quella che voglio.. no?
Edito: che ci faccio qui di sabato sera a pensare agli integrali doppi?
Meglio che esca un po' va.
A dopo.
Edito: che ci faccio qui di sabato sera a pensare agli integrali doppi?
Meglio che esca un po' va.
A dopo.
SONO UN IDIOTA!!!!
CONTINUO A GUARDARE SUL FOGLIO DOVE AVEVO SBAGLIATO A COLORARE CON LA MATITA L'AREA RICHIESTA.... sUL DISEGNINO CHE HO POSTATO QUI INFATTI E' GIUSTA (ok smetto di scrivere grande...)
Ok, capito l'integrale doppio. Ma ora mi son fissato con le traslazioni...
Beato te!
Divertiti... Anzi mi sa che pure io...
CONTINUO A GUARDARE SUL FOGLIO DOVE AVEVO SBAGLIATO A COLORARE CON LA MATITA L'AREA RICHIESTA.... sUL DISEGNINO CHE HO POSTATO QUI INFATTI E' GIUSTA (ok smetto di scrivere grande...)
Ok, capito l'integrale doppio. Ma ora mi son fissato con le traslazioni...
Beato te!
Divertiti... Anzi mi sa che pure io...
Oggi provo da solo le traslazioni e poi scrivo....
Martì solo una cosa:
$ab>1$ alla fine risulta $2/5 + 1/20 *ln(1/6)=0.31$
E' così grande l'area richiesta? Ad occhio mi sembrava meno del 31%
Fammi sapere perfavore!
Martì solo una cosa:
$ab>1$ alla fine risulta $2/5 + 1/20 *ln(1/6)=0.31$
E' così grande l'area richiesta? Ad occhio mi sembrava meno del 31%Fammi sapere perfavore!
Per vedere simmetrie e traslazioni, fai un passaggio negli integrali doppi di cui sopra:
$1/20 * int_(1/2)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^(-1/3) int_(-3)^(1/x) (1*dy*dx) = 1/20 * int_(1/2)^(2) (2-1/x) dx + 1/20 * int_(-2)^(-1/3) (1/x+3) dx$
Osserva il secondo membro qui sopra. Come vedi il primo integrale riguarda la funzione 2-1/x, e se la guardi bene ti accorgi che:
1/x funzione originaria,
$\rarr$ -1/x funzione originaria ribaltata rispetto all'asse x,
$\rarr$ -1/x+2 funzione originaria ribaltata rispetto all'asse x e poi traslata in su di 2.
Ovvero, la funzione che manda x in 2-1/x è ottenuta dalla funzione che manda x in 1/x dopo una simmetria rispetto all'asse x seguita da una traslazione del vettore $((0),(2))$ ("traslazione in su di 2").
Allo stesso modo, osservando il secondo integrale hai:
1/x funzione originaria,
$\rarr$ 1/x+3 funzione originaria traslata in su di 3.
Ovvero, la funzione che manda x in 1/x+3 è ottenuta dalla funzione che manda x in 1/x dopo una traslazione del vettore $((0),(3))$ ("traslazione in su di 3").
Tutto ciò il procedere con gli integrali doppi non lo vede, per questo se posso non li utilizzo: a volte se li uso sfugge il significato geometrico (spesso molto semplice).
Ovviamente la cosa divertente è andare a prendere il disegno e fare mentalmente o fisicamente queste trasformazioni per vedere come si possa tradurre il problema in "aree sottese" soltanto.
Edito: ho letto solo adesso il tuo post. A me viene $(8-\log 24)/20$ (cioè circa il 24%).
Edito: credo di aver trovato il punto in cui hai sbagliato: $[-\log(|x|)]_{1/2}^2 = -\log(2)-(-\log(1/2)) = -2 \log(2)$, probabilmente tu qui hai fatto confusione coi segni e hai ottenuto 0. Lo dico perché in tal caso si spiega il tuo risultato.
$1/20 * int_(1/2)^(2) int_(1/x)^(2) (1*dy*dx) + 1/20 * int_(-2)^(-1/3) int_(-3)^(1/x) (1*dy*dx) = 1/20 * int_(1/2)^(2) (2-1/x) dx + 1/20 * int_(-2)^(-1/3) (1/x+3) dx$
Osserva il secondo membro qui sopra. Come vedi il primo integrale riguarda la funzione 2-1/x, e se la guardi bene ti accorgi che:
1/x funzione originaria,
$\rarr$ -1/x funzione originaria ribaltata rispetto all'asse x,
$\rarr$ -1/x+2 funzione originaria ribaltata rispetto all'asse x e poi traslata in su di 2.
Ovvero, la funzione che manda x in 2-1/x è ottenuta dalla funzione che manda x in 1/x dopo una simmetria rispetto all'asse x seguita da una traslazione del vettore $((0),(2))$ ("traslazione in su di 2").
Allo stesso modo, osservando il secondo integrale hai:
1/x funzione originaria,
$\rarr$ 1/x+3 funzione originaria traslata in su di 3.
Ovvero, la funzione che manda x in 1/x+3 è ottenuta dalla funzione che manda x in 1/x dopo una traslazione del vettore $((0),(3))$ ("traslazione in su di 3").
Tutto ciò il procedere con gli integrali doppi non lo vede, per questo se posso non li utilizzo: a volte se li uso sfugge il significato geometrico (spesso molto semplice).
Ovviamente la cosa divertente è andare a prendere il disegno e fare mentalmente o fisicamente queste trasformazioni per vedere come si possa tradurre il problema in "aree sottese" soltanto.
Edito: ho letto solo adesso il tuo post. A me viene $(8-\log 24)/20$ (cioè circa il 24%).
Edito: credo di aver trovato il punto in cui hai sbagliato: $[-\log(|x|)]_{1/2}^2 = -\log(2)-(-\log(1/2)) = -2 \log(2)$, probabilmente tu qui hai fatto confusione coi segni e hai ottenuto 0. Lo dico perché in tal caso si spiega il tuo risultato.
Martì ma sono su una candid camera?! Dove sono le telecamere?! 
Ho proprio sbagliato lì...
Ma ieri per fare le traslazioni non capivo il tuo consiglio... Forse l'avevi scritto pensando che io sapessi di cosa si stava parlando
Cioé non sapevo quale di questi grafici prendere:
Il rettangolo rimane fisso, giusto?
(arietta bassa)
Questo $y=1/x+3$ su asse y
oppure $y=1/(x+3)$ su asse x
(arietta alta)
Questo $y=-1/x + 2$
oppure $-1/(x+2)$
Quali devo prendere per poi avere i "benefici" dell'integrazione ad 1 var?
Ho proprio sbagliato lì...
Ma ieri per fare le traslazioni non capivo il tuo consiglio... Forse l'avevi scritto pensando che io sapessi di cosa si stava parlando
Cioé non sapevo quale di questi grafici prendere:
Il rettangolo rimane fisso, giusto?
(arietta bassa)
Questo $y=1/x+3$ su asse y
oppure $y=1/(x+3)$ su asse x
(arietta alta)
Questo $y=-1/x + 2$
oppure $-1/(x+2)$
Quali devo prendere per poi avere i "benefici" dell'integrazione ad 1 var?
Ho letto, hai già risposto su...
Mi leggi il pensiero pure...
Mi leggi il pensiero pure...
$y=1/x+3$
Questo.
$y=-1/x + 2$
Questo.
Scusa se avevi già capito
Sì sopra hai spiegato tutto alla grande!
Dopo mi metto a fare l'ultima prob che chiedevi (mi hai fatto sudà 2 giorni
)
e poi non ti disturbo più...
Per l'ultima hai consigli da darmi? Le aree richieste le ho "azzeccate" nel grafichetto (il + a dx) ora nn mi resta che scegliere due strade per trovarle: integr doppi o proiezioni+integr semplice. Giusto?
Ce la si fo?
PS: ho sudato ma sto avendo grandi soddisfazioni! Grazie 10000000!
Dopo mi metto a fare l'ultima prob che chiedevi (mi hai fatto sudà 2 giorni
)e poi non ti disturbo più...
Per l'ultima hai consigli da darmi? Le aree richieste le ho "azzeccate" nel grafichetto (il + a dx) ora nn mi resta che scegliere due strade per trovarle: integr doppi o proiezioni+integr semplice. Giusto?
Ce la si fo?
PS: ho sudato ma sto avendo grandi soddisfazioni! Grazie 10000000!
Martì l'ultimo punto è difficilissimo perché la funzione non è valida in $x= +- 1$ visto che $-sqrt(x^2-1)
Avevo pensato a :
$4*1/20 * int_1^2 sqrt(x^2-1) *dx$ però non ha significato in $x=+-1$... Che faccio?
Avevo pensato a :
$4*1/20 * int_1^2 sqrt(x^2-1) *dx$ però non ha significato in $x=+-1$... Che faccio?
Dici che non ha significato perché implica $01$ puoi trovare la probabilità che $(x-y)(x+y) \ge 1$. Tali due probabilità sono uguali in quanto le zone interessate differiscono per un insieme di misura nulla.
Quindi risulta $-\sqrt{x^2-1} \le y \le \sqrt{x^2-1}$ che ha senso anche per $x= \pm 1$.
Ririedito: Detto $\alpha:=(2+\sqrt{3})^2$, a me risulta $1/20 ((\alpha^2-1)/(2\alpha) - \log (\alpha))$. Circa il 21.4 %
Quindi risulta $-\sqrt{x^2-1} \le y \le \sqrt{x^2-1}$ che ha senso anche per $x= \pm 1$.
Ririedito: Detto $\alpha:=(2+\sqrt{3})^2$, a me risulta $1/20 ((\alpha^2-1)/(2\alpha) - \log (\alpha))$. Circa il 21.4 %
Ok, ci sono.
Ma quindi questo è giusto:
$4*1/20 * int_1^2 sqrt(x^2-1) *dx$:?
Visto che ho 4 parti uguali.
Ho provato a farlo e mi viene: $2/5(sqrt(3))~= 0.69$ che mi sembra altina
Ma quindi questo è giusto:
$4*1/20 * int_1^2 sqrt(x^2-1) *dx$:?
Visto che ho 4 parti uguali.
Ho provato a farlo e mi viene: $2/5(sqrt(3))~= 0.69$ che mi sembra altina
Che sostituzione hai fatto?
Riesci a postare il procedimento?
Riesci a postare il procedimento?
Si ora lo scrivo.
Ma se in X=0 non risulta vera, o no? Ho la raice di -1..
Ma se in X=0 non risulta vera, o no? Ho la raice di -1..
"Giova411":
Si ora lo scrivo.
Ma se in X=0 non risulta vera, o no? Ho la raice di -1..
Nell'integrale la x va da 1 a 2, quindi non passa da zero.
E' vero sono un cretino....
$"...."1/5 int_1^2 ((x^2-1)^(1/2) *1/2*(x^2-1)^(1/2-1)*2x )*dx= 1/5 * [ ((x^2-1)^(3/2))/(3/2) ]_(1)^(2) = 1/5 [2/3 * (x^2-1)*sqrt(x^2-1)]_(1)^(2)$
Possibile che nn ricordo + come si fanno?!
$"...."1/5 int_1^2 ((x^2-1)^(1/2) *1/2*(x^2-1)^(1/2-1)*2x )*dx= 1/5 * [ ((x^2-1)^(3/2))/(3/2) ]_(1)^(2) = 1/5 [2/3 * (x^2-1)*sqrt(x^2-1)]_(1)^(2)$
Possibile che nn ricordo + come si fanno?!
Scusa ma l'integrale è
$1/5 \int_1^2 \sqrt{x^2-1}dx$
Tu invece lo hai calcolato come se fosse
$1/5 \int_1^2 2x \sqrt{x^2-1}dx$
Da dove viene quel 2x ?
$1/5 \int_1^2 \sqrt{x^2-1}dx$
Tu invece lo hai calcolato come se fosse
$1/5 \int_1^2 2x \sqrt{x^2-1}dx$
Da dove viene quel 2x ?
Ho usato quella regola che dice:
$int[f(x)]^(alpha) * f^{\prime}(x) = ([f(x)]^(alpha+1)) / (alpha +1) + c$ non picchiarmi, sono ignorante... La ricordo male?
Quindi quel $2x$ è la derivata interna... Dovevo usare un altro metodo?
$int[f(x)]^(alpha) * f^{\prime}(x) = ([f(x)]^(alpha+1)) / (alpha +1) + c$ non picchiarmi, sono ignorante... La ricordo male?
Quindi quel $2x$ è la derivata interna... Dovevo usare un altro metodo?
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